排列组合专题.doc

XXXX教育学科教师辅导讲义讲义编号 学员编号： 年 级：高三 课时数： 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 学科组长签名及日期学员家长签名及日期课 题排列组合授课时间： 备课时间： 教学目标排列组合的综合运用重点、难点分清排列组合，综合运用考点及考试要求排列、组合是每年高考必定考查的内容之一，纵观全国高考数学题，每年都有12道排列组合题，考查排列组合的基础知识、思维能力 教学过程：一、知识要点1 排列与组合的应用题，是高考常见题型，其中主要考查有附加条件的应用问题 解决这类问题通常有三种途径 (1)以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素 (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置 (3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数 前两种方式叫直接解法，后一种方式叫间接(剔除)解法 2 在求解排列与组合应用问题时，应注意 (1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题；(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；(4)列出式子计算和作答 3 解排列与组合应用题常用的方法有 直接计算法与间接(剔除)计算法；分类法与分步法；元素分析法和位置分析法；插空法和捆绑法等八种 4 经常运用的数学思想是 分类讨论思想；转化思想；对称思想 二、例题选讲一相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 【例1】五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，那么不同的排法种数有 【例2】（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A. 360 B. 188 C. 216 D. 96 二相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 种不同的插法（具体数字作答）【例2】 高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是 【例3】 某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是 【例5】某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目，但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变，则该晚会的节目单的编排总数为 种.【例6】.马路上有编号为1，2，3，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？【7】 3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种？【例8】 停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起，不同的停车方法有多少种？三元素分析法（位置分析法）：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。【例1】 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 （ ）A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种【例2】 1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？【例3】 有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？四多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。【例1】（1） 6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ）A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种（2）把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法种数为（A）（B） （C）（D） （3）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？五定序问题缩倍法（等几率法）：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.【例1】.五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ）【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有多少种不同的插法？【例3】将A、B、C、D、E、F这6个字母排成一排，若A、B、C必须按A在前，B居中，C在后的原则（A、B、C允许不相邻），有多少种不同的排法？ 六标号排位问题（不配对问题） 把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.【例1】 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）A、6种 B、9种 C、11种 D、23种【例2】 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（ ） A 10种 B 20种 C 30种 D 60种 【例3】：同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式共有( ) （A）6种（B）9种（C）11种（D）23种 【例4】：五个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，那么不同的站队方式共有( )（A）60种（B）44种（C）36种（D）24种 七不同元素的分配问题（先分堆再分配）：注意平均分堆的算法【例1】 有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？分成1本、2本、3本三组；分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；分成每组都是2本的三个组；分给甲、乙、丙三人，每个人2本；分给5人每人至少1本。【解析】 ：（1） （2） （3） （4） （5）【例2】将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）【例3】 5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有 （A）150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种 【例4】 将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（ ） A70B140C280D840 【例5】 将5名实习教师分配到高一年级的个班实习，每班至少名，最多名，则不同的分配方案有（ ）（A）种（B）种 （C）种（D）种【例6】 某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有（ ）种 A16种 B36种 C42种 D60种【例7】（1）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）A、480种 B、240种 C、120种 D、96种 （2）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有多少种？【例8】 有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ） A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种【例9】.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？高考资源网 【例10】 四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？八排数问题（注意数字“0”）【例1】（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）A、210种 B、300种 C、464种 D、600种（2）从1，2，3，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？九染色问题：涂色问题的常用方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论;（2）根据相对区域是否同色分类讨论;（3）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。【例1】 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是_. 规律小结 涂色问题的常用方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论;（2）根据相对区域是否同色分类讨论;（3）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。十“至多”“至少”问题用间接法或分类:十 几何中的排列组合问题:【例1】 已知直线（是非零常数）与圆有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有 条 学生巩固练习 一、优先考虑： 对有特殊元素（即被限制的元素）或特殊位置（被限制的位置）的排列，通常是先排特殊元素或特殊位置，再考虑其它的元素或其它的位置。例1（1）由0、1、2、3、4、可以组成 个无重复数字的三位数。（2） 由1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有 个。（3） 5个人排成一排，其中甲不排在两端也不和乙相邻排列的排列共有 种。二、“捆”在一起：有要求元素相邻（即连排）的排列问题，可以先将相邻的元素看作一个“整体”与其它元素排列，然后“整体”内部再进行排列。例2（1） 有3位老师、4名学生排成一排照相，其中老师必须在一起的排法共有 种。（2） 有2位老师和6名学生排成一排，使两位老师之间有三名学生，这样的排法共有 种。三、插空档：有要求元素不相邻（即间隔排）的排列问题，可以制造空档插空。例3（1）五种不同的收音机和四种不同的电视机陈列一排，任两台电视机不靠在一起，有 种陈列方法。（2）6名男生6名女生排成一排，要求男女相间的排法有 种。四、减去特殊情况（即逆向思考）：先算暂时不考虑限制条件的排列或组合种数，然后再从中减去所有不符合条件的排列或组合数。例4（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有 个。（2） 由0、1、2、3、4、可以组成 个无重复数字的三位数。（3）集合有8个元素，集合有7个元素，有4个元素，集合有3个元素且满足下列条件：的集合有几个。（4）从6名短跑运动员中选4人参加4100米的接力赛，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，共有多少种参赛方案？五、先组后排：排列、组合综合题，通常都是先考虑组合后考虑排列。例5（1）用1、2、3、9这九个数字，能组成由3个奇数数字、2个偶数数字的不重复的五位数有 个。（2）有8本不同的书，从中取出6本，奖给5位数学优胜者，规定第一名（仅一人）得2本，其它每人一本，则共有 种不同的奖法。（3）有五项工作，四个人来完成且每人至少做一项，共有 种分配方法。六、除以排列数：对某些元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制排列后，再除去规定顺序元素个数的全排列。例6（1）有4名学生和3位老师排成一排照相，规定两端不排老师且老师顺序固定不变，那么不同的排法有 种。（2）由0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字，十位数字小于百位数字，则这样的数共有 个。（3）书架上放有5本书（15册），现在要再插入3本书，保持原有的相对顺序不变，有 种放法。七、对象互调：有些排列或组合题直接就题论题很难入手，但换个角度去考虑便顺利求得结果又易理解。例7（1）一部电影在四个单位轮放，每单位放映一场，可以有 种放映次序。（2）一排有8个座位，3人去坐，要求每人左右两边都有空位的坐法有 种。（3）有6个座位3人去坐，要求恰好有两个空位相连的不同坐法有 种。八、分情况研究：分情况研究（即分类计算）复杂的排列、组合综合题，常常通过画简图、按元素的性质“分类”；按事件发生的连续过程“分步”等方法。分情况研究求得结果，尤其对含数字“0”的排列，常分“有0”及“无0”两种情况研究，在“有0”时，排列的“首位”又是“特殊”位置要优先考虑。例8（1）从编号为了1、2、3 9的九个球中任取4个球，使它们的编号之和为奇数，再把这四个球排成一排，共有多少种不同的排法？（2）用0、1、2、39这十个数字组成五位数，其中含有三个奇数字与两个偶数字的五位数有多少个？（3）用0、1、2、3、4五个数字组成的无重复的五位数中，若按从小到大的顺序排列23140是第几个数？排 列 与 组 合 (思考方法18训练)一优先考虑1现有6名同学站成一排：（1）甲不站排头也不站排尾有多少种不同的排法？（2）甲不站排头，且乙不站排尾有多少种不同的排法？2用，5组成无重复数字的5位数，共可以组成多少个？ 二插空3有6名同学站成一排：甲、乙、丙不相邻有多少种不同的排法？4有4男4女排成一排，要求（1）女的互不相邻有 种排法；（2）男女相间有 种排法。三捆在一起5由1、2、3、4、5组成一个无重复数字的5位数，其中2、3必须排在一起，4、5不能排在一起， 则不同的5位数共有_个。6有2位老师和6名学生排成一排，使两位老师之间有三名学生，这样的排法共有 种。四逆向思考7某小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1名女生入选时的不同选法有16种，则小组中的女生数为_。86名同学站成一排乙不站排尾有多少种不同的排法？五先组后排9有4名学生参加3相不同的小组活动，每组至少一人，有 种参加方式。10从两个集合和中各取两个元素组成一个四位数，可组成 个数。六除以排列数11书架上放有6本书，现在要再插入3本书，保持原有的相对顺序不变，有 种放法。129人（个子长短不同）排队照相，要求中间的最高，两旁依次从高到矮共有种 排法。 七对象互调：13某人射击8枪命中4枪，这4枪中恰有3枪连在一起的不同种数是 。14三个人坐在一排7个座位上，（1）若3个人中间没有空位，有 种坐法。（2）若4个空位中恰有3个空位连在一起，有 种坐法。八分情况（即分类）15用组成无重复数字的5位数，若按从小到大的顺序排列，则数12340是第_个数。16某车间有8名会车工或钳工的工人，其中6人会车工，5人会钳工，现从这些工人中选出 2人分别干车工和钳工，问不同的选法有多少种？九和、整除、倍数、约数问题。例9和：（1）用0、1、2、3、4、5、6这七个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？这些三位数的和是多少？整除：（2）用0、1、2、3、4、5组成无重复数字的五位数，其中、能被5整除的数有多少个？、能被3整除的数有多少个？、能被6整除的数有多少个？倍数：（3）在1、2、3 100这100个自然数中，每次取不等的两数相乘，使它们的积是7的倍数，这样的取法共有多少种？（取7,11与取11,7认为是同一种取法）（4）在1、2、3 30这三十个数中，每取两两不等的三个数，使它们的和是3的倍数，共有多少种不同的取法？约数：（5）数2160共有多少个正约数（包括1和本身在内）？其中共有多少个正的偶约数？十、分配、分组问题：解题时要注意“均匀”与“非均匀”的区别、分配与分组（分堆）的区别。例10（1）将12本不同的书、分给甲、乙、丙三人，每人各得4本有 种分法。、平均分成三堆，有 种分法。（2）7本不同的书、全部分给6个人，每人至少一本，共有 种不同的分法。、全部分给5个人，每人至少一本，共有 种不同的分法。（3）六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，若按下列分配方法，问各有多少种分法？a、甲一本、乙二本、丙三本；有 种分法。b、一人一本、一人二本、一人三本；有 种分法。c、甲一本、乙一本、丙四本；有 种分法。d、一人一本、一人一本、一人四本；有 种分法。排 列 与 组 合 (思考方法全训练)一八 ：15名男生和2名女生站成一列，男生甲必须站在正中间，2名女生必须站在甲前面，不同的站法共有 种(用数字作答)。2翰林39. 398人排成一排, 其中甲、乙、丙三人中有2人相邻,但这3人不同时相邻的排法有_种.3现有6张同排连座号的电影票, 分给3名老师与3名学生, 要求师生相间而坐, 则不同的分法数为_. 4在200件产品中有3件是次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有 种。5现从某校5名学生干部中选出4人分别参加上海市“资源”、“生态”、和“环保”三个夏令营，要求每个夏令营活动至少有选出的一人参加，且每人只参加一个夏令营活动，则不同的参加方案的种数是_.(写出具体数字)6将A、B、C、D、E、排成一排，其中按A、B、C顺序（即A在B前，C 在B 后）的排列总数为 。 1 2 3 4 57如果从一排10盏灯中关掉3盏灯，那么关掉的是互不相邻的3盏灯的方法有 。8（1）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻 地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着 色方法共有 种。（以数字作答）（2）同室人各写了一张贺年卡先集中起来，然后每人从中取回一张别人送出的贺卡，这张贺年卡不同的分配方式有_种。九和、整除、倍数、约数问题17(1) 由2、3、4、5组成无重复数字的四位数，求：这些数的数字之和；这些数的和。 （2）由0、2、5、7、9这5个数字可组成多少个无重复数字且能被3整除的四位数？18（1）在1、2、3、4 、50这50个自然数中，每次取出2个（无论先后），使他们的积是13的倍数，这样的取法有多少种？（2） 420共有多少个正约数？ 14175共有多少个正约数？十分配、分组问题：19六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，若按下列分配方法，问各有多少种分法？ 甲一本、乙二本、丙三本；有 种分法。 一人一本、一人二本、一人三本；有 种分法。 甲一本、乙一本、丙四本；有 种分法。 一人一本、一人一本、