行列式的概念(1).ppt

在现实世界中 变量与变量之间的依赖关系可分为线性的和非线性的两大类 线性代数主要是研究线性函数 把问题化为求解线性代数方程组之类的运算 特别在电子计算机出现之后 原来难以计算的高阶线性代数方程组的解可以很快地算出来 这就促进了线性代数的广泛应用和发展 行列式和矩阵是讨论和解线性方程组的重要工具 10 1n阶行列式 1 1二阶行列式设二元线性方程组为 1 二 三阶行列式 用消元法求得 当 时 可得该方程组的惟一解 化为 定义1 规定式 并称该式左端为二阶行列式 右端为二阶行列式的展开式 aij i 1 2 j 1 2 称为二阶行列式的元素 横排的称为行 竖排的称为列 其中i为行标 j为列标 3 5 2 4 例1计算下列行列式 解原式 解原式 15 8 1 2三阶行列式 定义2定义用32个数组成的记号 对角线法 例2计算下列三阶行列式 练习 书P233 1 3余子式和代数余子式 行列式中 将元素aij所在的行与列划掉 剩余的元素保持原来的位置所组成低一阶的行列式称为元素aij的余子式 记为Mij 定义元素aij的代数余子式为 如 三阶行列式 的代数余子式 练习 求下列行列式的代数余子式 1 2 解 解 2 阶行列式 定义3阶行列式已经定义 规定4阶行列式 2 n阶行列式 通常 把上述定义简称为按行列式的第1行展开 解因为a12 a13 0所以由定义 2 2 n阶行列式 一个三阶行列式可以用三个二阶行列式来表示 所以可以用二阶行列式来定义三阶行列式 可以用三阶行列式来定义四阶行列式 依此类推 一般地 可以用n个n 1阶行列式来定义n阶行列式 下面给出n阶行列式的定义 定义设n 1阶行列式已经定义 规定n阶行列式 其中A1j 1 1 jM1j j 1 2 n 这里M1j为元素a1j的余子式 即为划掉A的第1行第j列后所得的n 1阶行列式 A1j称为a1j的代数余子式 例4计算行列式 下三角行列式 解由定义 将Dn按第一行展开 得 行列式D与它的转置行列式DT的值相等 如果行列式的某一行 列 的每一个元素都是二项式 则此行列式等于把这些二项式各取一项作成相应的行 列 其余的行 列 不变的两各行列式的和 3 行列式的性质 性质1 性质2 如果把行列式D的某一列 行 的每一个元素同乘以一个常数k则此行列式的值等于kD 也就是说 行列式中某一列 行 所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面 如果把行列式的某两列 或两行 对调 则所得的行列式与原行列式的绝对值相等 符号相反 如果行列式的某两列 或两行 的对应元素相同 则此行列式的值等于零 如果行列式的某两列 或两行 的对应元素成比例 则此行列式的值等于零 行列式的两列对应元素成比例 就是指存在一个常数k 使ali kalj l 1 2 n 性质3 性质4 推论 性质5 如果把行列式的某一列 行 的每一个元素加上另一列 行 的对应元素的k倍 则所得行列式与原行列式的值相等 由于行列式的整个计算过程方法灵活 变化较多 为了便于书写和复查 在计算过程中约定采用下列标记方法 1 以 r 代表行 c 代表列 2 把第i行 或第i列 的每一个元素加上第j行 或第j列 对应元素的k倍 记作 ri k rj 或 ci k cj 3 互换i行 列 和j行 列 记作 ri rj 或 ci cj 性质6 0 4 3 2 0 1 1 1 0 4 4 7 0 0 1 6 0 0 0 11 行列式D等于它的任一行 列 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和 即D ai1Ai1 ai2Ai2 ainAin i 1 2 n 行列式D的一行元素分别与另一行对应的代数余子式之乘积的和等于零 即aj1Ai1 aj2Ai2 ajnAin 0 i j 1 2 n i j 例 按第三行展开