习题二答案.doc

习题二1.一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了房间，它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间.假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的.（1）以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X的分布律.（2）户主声称，他养的一只鸟，是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。以Y表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数，如户主所说是确实的，试求Y的分布律.解：（1）X的可能取值为1，2，3，n，P X=n=P 前n1次飞向了另2扇窗子，第n次飞了出去 =， n=1，2，（2）Y的可能取值为1，2，3 P Y=1=P 第1次飞了出去= P Y=2=P 第1次飞向 另2扇窗子中的一扇，第2次飞了出去 = P Y=3=P 第1，2次飞向了另2扇窗子，第3次飞了出去 =2.一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以X表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.解：X可以取值3，4，5，分布律为 也可列为下表X： 3， 4，5P：3.假设6名学生的考试成绩单中有一张有差错，现在随意一张一张地检查直到找出这张成绩单为止以X表示一共需要检查的张数，求X的概率分布解 对于任意k=1,2,3,4,5,6，（无论是还原还是非还原抽样）在第k次查出有错误的表的概率都等于1/6（见例1.10），因此X的概率分布为事实上，利用古典型概率的计算公式，可以得同样结果：对于任意k=1,2,3,4,5,6，有4.有甲、乙两种味道和颜色极为相似的名酒各4杯。如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次.（1）某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少？（2）某人声称他通过品尝能区分两种酒.他连续试验10次，成功3次.试问他是猜对的，还是他确有区分的能力（设各次试验是相互独立的.）解：（1）P (一次成功)=（2）P (连续试验10次，成功3次)= 。此概率太小，按实际推断原理，就认为他确有区分能力。5. 一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻t每个设备使用的概率为0.1，问在同一时刻（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？（2）至少有3个设备被使用的概率是多少？（3）至多有3个设备被使用的概率是多少？（4）至少有一个设备被使用的概率是多少？6.假设某物资站负责向15家化工企业供应硫酸，统计资料表明每家企业每周进料的概率为0.40试求该物资站每周实际供货家数的概率分布，以及每周最多有8家企业要求供货的概率解 以表示每周要求供货家数，可以视为=15 次伯努利试验“成功”（进货）的次数，每次试验成功的概率为因此服从参数为的二项分布：每周最多有8家企业要求供货的概率7.实力相当的二人进行某种对抗赛，假设每局都要决出胜负，问对于每个人，是“赛满五局至少三局获胜”的概率大，还是“赛满八局至少五胜获胜”的概率大？解 对于每个人，以表示“五局三胜”获胜的概率，以表示“八局五胜”获胜的概率；分别以和表示“五局三胜”获胜的次数和以“八局五胜”获胜的次数那么，服从参数为的二项分布，服从参数为的二项分布因此，由此可见赛满五局至少三局获胜的概率大8. 假设炮击命中目标的概率为0.2现在共发射了14发炮弹试求，(1) 命中目标的次数的概率分布；(2) 摧毁目标的概率，已知至少两发炮弹命中目标即可将其摧毁解 (1) 以表示14发炮弹命中目标的次数，可以视为=14次伯努利试验，每次试验成功的概率为=0.2，则服从参数为的二项分布：(2) 摧毁目标的概率为9.假设某药物产生副作用的概率为2试求在1000例服该药的患者中，(1) 恰好有0,1,2,3例出现副作用的概率，并利用泊松分布求其近似值；(2) 最少有一例出现副作用的概率，并利用泊松分布求其近似值解 设例服药者出现副作用的人数，=1000， =0.002，则服从参数为的二项分布；而根据泊松定理，近似服从参数为的泊松分布(1) 恰好有0,1,2,3例出现副作用的概率相应为(2) 最少有一例出现副作用的概率10.一台设备有2000个同型号可靠元件,每个元件的可靠性(无故障工作的概率)为0.9995假如只要三个元件发生故障就势必引起设备的故障试求该设备发生故障的概率p解 设是2000个元件中发生故障的个数，则该设备发生故障的概率为由于n=2000充分大，故由泊松定理知近似服从的泊松分布因此，11.电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求（1）每分钟恰有8次呼唤的概率法一：（直接计算）法二：P ( X= 8 )= P (X 8)P (X 9)（查= 4泊松分布表）。 = 0.0511340.021363=0.029771（2）每分钟的呼唤次数大于10的概率。 P (X10)=P (X 11)=0.002840（查表计算）十二 (2)每分钟呼唤次数大于3的概率。12.假设在一定时间内通过某交叉路口的救护车的辆数服从泊松分布，而且通过该交叉路口的救护车的平均辆数与时间的长度成正比已知一小时内没有救护车通过此交叉路口的概率为0.02，试求两小时内至少有一辆救护车通过该交叉路口的概率解 以表示在t小时内通过此交叉路口的救护车的辆数由条件知，其中是比例系数于是，服从参数为t的泊松分布由条件知，两小时内至少有两辆救护车通过的概率13.自集合1,2,3中先后抽出两个数，求抽到偶数的次数的概率分布和分布函数解 易见有1,2等两个可能值设，则于是的概率分布为随机变量的分布函数为14.盒子中有5个球，编号分别为从中随机取出3个球，令：取出的3个球中的最大号码 求随机变量的分布律 求随机变量的分布函数解： 的取值为且 ，所以，随机变量的分布律为：345 随机变量的分布函数为：15.已知离散型随机变量X的分布函数为，求X的概率分布，其中解 分布函数的间断点是离散型随机变量的可能值，因此X的可能值为0,1,2,3,3.5；分布函数在间断点上的跃度等于：于是X的概率分布为16. 设随机变量的分布函数为(1) 问随机变量是离散型的还是连续型的？(2) 求事件的概率解 (1) 由于区间的每一个数都是的可能值，可见不是离散型随机变量由可见也不是连续型随机变量，因为连续型随机变量等于任何给定值的概率都等于0这样，既不是离散型随机变量，也不是连续型随机变量，我们称之为离散-连续型的(2) 现在求事件的概率17.某加油站每周的销售量（千加仑）是一随机变量，其概率密度为该加油站每周初将油库充满假如一周内油库被吸干的概率为1%，试求油库的容积V解 由题意知，容积V满足条件由此可见（千加仑），即近似2736（升）18.一食盐供应站的月销售量X（百吨）是随机变量其概率密度为问每月至少储备多少食盐，才能以96%的概率不至于脱销？解 假设每月至少储备a吨食盐，那么满足条件由于可见（百吨），即每月至少储备80吨食盐19.某地区18岁的女青年的血压（收缩区，以mm-Hg计）服从在该地区任选一18岁女青年，测量她的血压X。求（1）P (X105)，P (100x) 0.05.解:20.假设无线电测距仪无系统误差，其测量的随机误差服从正态分布已知随机测量的绝对误差以概率0.95不大于20米，求未知分布参数解 由条件知，随机误差e服从正态分布，所以由，可见21.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分计）服从指数分布，其概率密度为：某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开。他一个月要到银行5次。以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律。并求P（Y1）。解：该顾客“一次等待服务未成而离去”的概率为因此22.某仪器上装有三只同样电气元件，其寿命同服从参数为=1/600的指数分布已知这各元件的状态相互独立，求在安装后工作的前200个小时里，至少有一只元件损坏的概率解 以表示第k只元件的寿命，都服从同一指数分布，参数为=1/600；从而的分布函数为以表示事件“第k只元件在仪器工作的前200个小时里损坏”，则23.假设一种电池的寿命服从服从参数为=1/200的指数分布有一只电池已经使用了80小时，求它至少还能再使用80小时的概率解 由条件知，这种电池的寿命服从参数为=1/200的指数分布，从而的分布函数为因此24.设随机变量服从区间上的均匀分布，求随