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1 1 判断下面定义的变换 哪些是线性的 哪些不是 1 在R3中 x a1 a2 a3 T Tx a21 a2 a3 a23 T 第二章线性有界算子 2 给定A0 Rn n X Rn n TX A0X XA0 3 线性空间Rn x 中 T f x f x 1 f Rn x 2 在R3中 x1 1 0 2 T x2 0 1 2 T x3 3 1 0 T是一组基 线性变换T关于该基的象Tx1 5 0 3 T Tx2 0 1 6 T Tx3 5 1 9 T 求T在该基下的矩阵 2 3 已知线性变换T在基 下的矩阵为 求T在基 1 1 0 0 T 2 0 1 0 T 3 0 0 1 T下的矩阵 4 设T是线性空间V F 上的线性变换 证明 T的不同特征值对应的特征向量是线性无关的 证明 设 1 2 s为T的所有不同的特征值 相应的特征向量分别为x1 x2 xs 3 5 设U V是线性赋范空间 T U V是线性有界算子 证明 N T x U Tx 是U中闭子空间 7 设k x y 在区域0 x y 1上连续 证明 T C 0 1 C 0 1 是线性连续算子 4 8 设X Y是R上的线性赋范空间 证明 L X Y 是R上的线性空间 9 设V是线性赋范空间 T V V是线性算子 证明 T在V上连续 T在V上一致连续 10 设X Y为线性赋范空间 T X Y是线性有界算子 且是满射 若存在正数b 使对一切x X 有 5 11 设X是Hilbert空间 T L X X 证明 1 当T是正规算子时有 2 当T是自共轭算子时 T必为正规算子 12 设X是Hilbert空间 U L X X 证明 1 U是酉算子 U U UU I 2 U为酉算子时必为正规算子 3 U为酉算子时 U 1 6 13 设M是Hilbert空间H的闭子空间 P H M是正交投影算子 x0 H 证明 y M y Px0 有 x0 Px0 x0 y 即 14 证明 正交投影算子是自共轭算子 证明 设P是Hilbert空间H上的正交投影算子 15 设P1 P2是Hilbert空间H上的正交投影算子 证明 P2P1是H上的正交投影算子 7 16 设T是Hilbert空间H上的有界线性算
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