材料力学 第四版chap7-第十六讲.ppt

主单元体 六个平面都是主平面 若三个主应力已知 求任意斜截面上的应力 7 5三向应力状态 本节只用图解法简单讨论三个主应力已知时任意斜截面上的应力情况 主应力 1 2 3 l m n分别为ABC的法线n的三个方向余弦 三个圆周方程式 因为l2 m2 n2 0 1 2 3 所以上式所确定的圆周在大圆之内 两个小圆之外 这三个圆的交点D即为斜面ABC上的应力在下图的阴影区域 单元体上与主应力之一平行的各个斜截面上的正应力和剪应力 可由三个应力圆圆周上各点的坐标来表示 特殊情况 这样 单元体上与主应力之一平行的各个斜截面上的正应力和剪应力 可由三个应力圆圆周上各点的坐标来表示 至于与三个主方向都不平行的任意斜截面 弹性力学中已证明 其应力 n和 n可由图中阴影面内某点的坐标来表示 主应力 1 2 3主切应力 最大切应力 在三向应力状态情况下 max作用在与 2平行且与 1和 3的方向成45 角的平面上 以 1 3表示 例7 5 1 求图示应力状态的主应力和最大剪应力 应力单位为MPa 解 例7 5 2 试作三向应力圆 并求已知 解 例7 5 3求图示应力状态的主应力和最大剪应力 应力单位为MPa 解 7 8广义胡克定律 一 拉 压 胡克定律 单向拉伸或压缩时 线弹性范围内 E 或 横向变形 2 15式 纯剪切 剪切胡克定律 实验结果表明 或 二 普遍情况 描述一点的应力状态需要9个应力分量 由切应力互等定理 9个分量中只有6个独立分量 这种普遍情况可以看作三组单向应力和三组纯剪切的组合 对于各向同性材料 在小变形 线弹性范围内 线应变只与正应力有关而与切应力无关 切应变只与切应力有关 而与正应力无关 由于 x单独作用 在x方向引起的线应变为 x E 由于 y和 z单独作用 在x方向引起的线应变则为 y E和 z E 三个切应力皆与x方向上的线应变无关 叠加以上结果可得 切应变和切应力之间仍为 与正应力分量无关 1 复杂状态下的应力 应变关系 依叠加原理 得 sz sy sx 当单元体三个平面皆为主平面时 分别为x y z方向的主应变 与主应力的方向一致 三主平面内的切应变等于零 对平面应力状态 z 0 2 各向同性材料的体积应变 体积应变 每单位体积的体积变化 用 表示 设单元体的三对平面均为主平面 其三个边长分别为dx dy dz 变形前体积 变形后体积 变形后三个棱边为 则体积应变为 广义胡克定律代入上式得 即 任一点处的体积应变与该点处的三个主应力之和成正比 在线弹性范围内 体积应变与平均应力成正比 此即为体积胡克定律 讨论 1 体积应变只与三个主应力之和有关 而与主应力之间的比例无关 因此 对不同的单元体 只要三个主应力之和相等 则体积应变相等 2 单元体的体积应变可用平均应力单元体来替代 例7 8 1已知一受力构件自由表面上某点处的两主应变值为 1 240 10 6 3 160 10 6 构件材料为Q235钢 弹性模量E 210GPa 泊松比 0 3 试求该点处的主应力数值 并求该点处另一主应变 2的数值和方向 解 由题意可知 点处于平面应力状态且 由广义胡克定律 可得 是缩短的主应变 其方向沿构件表面的法线方向 例7 8 2边长为0 1m的铜方块 无间隙地放入变形可略去不计的刚性凹槽中 已知铜的弹性模量E 100GPa 泊松比 0 34 当铜块受到F 300kN的均布压力作用时 试求铜块的三个主应力的大小 解 铜块横截面上的压应力为 由题意 按主应力的代数值顺序排列 得该铜块的主应力为 7 9复杂应力状态的应变能密度 三向应力状态下弹性应变能与外力做功数值上相等 只决定于外力和变形的最终数值 与加力次序无关 可以选择一个便于计算应变能的加力次序 所得应变能与其他加力次序相同 1 空间应力状态的应变能密度 将广义胡克定律代入上式 假定应力按比例同时从零增加到最终值 线弹性情况下每一主应力与相应主应变之间仍保持线性关系 因而每一主应力相应的应变能密度仍可用上式计算 单元体三个棱边变形不同 它将由正方体变为长方体 因此 单元体的变形一方面表现为体积的增加和减小 另一方面表现为形状的改变即由正方体变为长方体 因此应变能密度也被认为由两部分组成 1 体积改变能密度 V 体积变化而存储的应变能密度 指单元体棱边变化相等 变形后仍为正方体 只是体积变化 形状不变 2 畸变能密度 d 体积不变 形状改变 由正方体改变为长方体二存储的应变能密度 2 体积改变能密度和畸变能密度 应变能密度 体积改变能密度 V 畸变能密度 d 体积改变能密度 V 畸变能密度 d a 和 b 状态的主应力之和相等 故它们的体积应变相等 其也相等 所以只须把代入应变能密度公式即得 b 状态只有体积改变而无形状改变 称为体积改变能密度 V c 状态只有形状改变而无体积改变 称为畸变能密度 d 例7 9 11 设单元体的主应力为 则单元体只有体积改变而无形状改变的条件是 2 单元体只有形状改变而无体积改变的条件是 且不同时为零 例7 9 2用能量法证明三个弹性常数间的关系 纯剪单元体的比能为 纯剪单元体比能的主应力表示为 7 10强度理论概论 强度条件的建立 材料因强度不足而引起失效现象是不同的 它取决于 1 材料本身的性质 包括塑性材料和脆性材料 危险点是简单应力状态及纯剪切应力状态时 直接通过试验结果建立 单向拉压 纯剪切 2 材料的受力状态 包括简单应力状态 复杂应力状态 强度理论的基本思想 1 确认引起材料失效存在共同的力学原因 根据实验 经过推理 提出关于这一共同力学原因的假设 2 根据实验室中标准试件在简单受力情况下的破坏实验 如拉伸 结果 建立起材料在复杂应力状态下共同遵循的弹性失效准则和强度条件 3 实际上 当前工程上常用的经典强度理论都按脆性断裂和塑性屈服两类失效形式 分别提出共同力学原因的假设 一 最大拉应力 第一强度 理论 认为构件的断裂是由最大拉应力引起的 当最大拉应力达到单向拉伸的强度极限时 构件就断了 1 破坏判据 2 强度准则 3 实用范围 实用于破坏形式为脆断的构件 7 11四种常用强度理论 试验证明 这一理论与铸铁 岩石 砼 陶瓷 玻璃等脆性材料的拉断试验结果相符 这些材料在轴向拉伸时的断裂破坏发生于拉应力最大的横截面上 脆性材料的扭转破坏 也是沿拉应力最大的斜面发生断裂 这些都与最大拉应力理论相符 但这个理论没有考虑其它两个主应力的影响 二 最大伸长线应变 第二强度 理论 这一理论认为最大伸长线应变是引起断裂的主要因素 当最大伸长线应变达到单向拉伸试验下的极限应变时 构件就断了 1 破坏判据 2 强度准则 3 实用范围 适用于铸铁在拉 压二向应力 且压应力较大的情况 适用于石料 砼等脆性材料的单向压缩 三 最大剪应力 第三强度 理论 认为最大剪应力是引起构件屈服的主要因素 当最大剪应力达到单向拉伸试验的极限剪应力时 构件就破坏了 1 破坏判据 3 实用范围 实用于破坏形式为屈服的构件 2 强度准则 第三强度理论曾被许多塑性材料的试验结果所证实 且稍偏于安全 这个理论所提供的计算式比较简单 故它在工程设计中得到了广泛的应用 该理论没有考虑中间主应力 2的影响 其带来的最大误差不超过15 而在大多数情况下远比此为小 4 畸变能密度理论 第四强度理论 基本假设 畸变能密度是引起材料塑性屈服的主要因素 即认为无论什么应力状态 只要畸变能密度vd达到与材料性质有关的某一极限值 材料就发生屈服 复杂应力状态下 屈服准则 强度条件 单向拉伸屈服时 畸变能密度的极限值是 适用范围 由于机械 动力行业遇到的载荷往往较不稳定 因而较多地采用偏于安全的第三强度理论 土建行业的载荷往往较为稳定 安全系数的估计较准确 因而较多地采用第四强度理论 这个理论和许多塑性材料的试验结果相符 用这个理论判断碳素钢的屈服失效是相当准确的 四个强度理论的强度条件可写成统一形式 称为相当应力 第三强度理论可进行偏保守 安全 设计 第四强度理论可用于更精确设计 要求对材料强度指标 载荷计算较有把握 第二强度理论仅用于石料 混凝土等少数材料 第一强度理论用于脆性材料的拉伸 扭转 例7 10 1对于图示单元体 试分别按第三强度理论及第四强度理论求相当应力 110MPa 140MPa b 已知 1 140MPa 2 110MPa 3 0 例7 10 2两种应力状态分别如图所示 试按第四强度理论 比较两者的危险程度 解 一 判断由于各向同性材料 正应力仅产生线应变 剪应力仅产生剪应变 而两种情况下的正应力和剪应力分别相等 因此 其形状改变比能也相等 故两种情况下的危险程度相等 状态 b 设 则 二 核算 1 两种情况下的主应力为 状态 a 由第四强度理论的计算应力状态 a 状态 b 7 12莫尔强度理论 莫尔认为 最大剪应力是使物体破坏的主要因素 但滑移面上的摩擦力也不可忽略 莫尔摩擦定律 综合最大剪应力及最大正应力的因素 莫尔得出了他自己的强度理论 7 12莫尔强度理论