趣味数学147：“数码与9的魔术”节选.doc

选自数论妙趣数学女王的盛情款待第八章数码与9的魔术（节选）数码9的奇异性质常被魔术家与术数家利用，是一些戏法的基础。如，有一个等式2A995613(523A)2，要求在60秒内求出数码A。乍一看似乎根本不可能，可是，如果发现等式右边含有因数329，根据“弃九法”，等式左边应该能被9整除。除A以外，2A99561其余数码之和是29956132，32395，也可以325，所以，A4，也就立即可以算出了。所谓“弃九法”，就是说，求一个数的数字和时，如果超过9，可以弃去9或9的倍数，直到小于9为止，也可以反复求数字和，结果相同。而一个数除以9的余数，与这个数用弃九法得到的数字和相同。用弃九法，可以检验四则运算是否正确。如，4671219874225611110521007。这些加数的弃九数字和是：467118，18290，或者189,990；219820，20292，或者202；742215，1596，或者156；561113，1394，或者134；11057。这些加数的弃九数字和相加，得0264719，19181；而21007的弃九数字和是2100710，1091，二者相等，说明计算正确。再如，53276493457223。两个因数的弃九数字和分别是：532717，178；64919，19181。两个因数弃九后的数字和相乘，得818；而3457223的弃九数字和是345722326，268，二者相等，说明计算正确。有一种类似的戏法：“随便你写出一个很大的数，从中抹掉一个数码，我再填入一个数字，就能使这个大数能被9整除。”例如：所写的数是53219645*2789，因为已知数码的弃九数字和是53219645278961，617，于是，填入的数码应该是972。* * *下面是一个数字宝塔：1921112931111239411111234951111112345961111111234569711111111234567981111111112345678991111111111234567899101111111111如果把等式左边的一般项（第n项）写作(10n1210n2310n3n)(101)(n1)。上述现象的秘密就显而易见了。因为，在把括号乘出并化简后，即得：(10n1210n2310n3n)(101)(n1)(10n1210n2310n3n)10(10n1210n2310n3n)(n1)10n210n1310n210n10n1210n2310n3n)(n1)10n10n110n210n1用普通的写法，就是1重复出现(n1)次。下面是另外一些神奇的数字宝塔：9978899968889999588889999948888899999938888889999999288888889999999918888888899999999908888888881819128298123839871234849876123458598765123456869876541234567879876543123456788898765432123456789899876543211111111121111111123211111111112343211111111111123454321111111111111123456543211111111111111112345676543211111111111111111123456787654321111111111111111111123456789876543217749676744896676674448896667666744448889666676666744444888896666676666674444448888896666667666666744444448888889441634341156334334111556333433341111555633334333341111155556998199999801999999998001999999999998000199999999999999800001999999999999999998000001999999999999999999998000000179637799762377799977663777799997776663777779999977776666377777799999977777666663173101472100142761000142874100001428575100000142857711000000142857173100000001428571472100000000142857142761000000000142857142874100000000001428571428575100000000000142857142857711000000000000* * *下面是两个奇妙的数型：987654321 9 88888888899876543211817777777778987654321272666666666798765432136355555555569876543214544444444445987654321545333333333498765432163622222222239876543217271111111112987654321818000000000112345679 911111111112345679182222222221234567927333333333123456793644444444412345679455555555551234567954666666666123456796377777777712345679728888888881234567981999999999利用最后一个数型的数量关系，可以表演一个戏法：先写下12345679，然后，请对方挑一个他喜欢的数字。你心算出他选定的数与9的乘积，把它写出来。让对方把两个数乘起来。很快，戏剧性的结果出现了，得数就是一连串他所喜欢的数字。比如，他选定的数字是4，你就写出36，结果，1234567936444444444。另一个奇妙的数型与37有关：337111，而1113637222，而2226937333，而33391237444，而444121537555，而555151837666，而666182137777，而777212437888，而888242737999，而99927再介绍一个奇妙的数型： 71587311111114158732222222115873333333281587344444435158735555554215873666666491587377777756158738888886315873999999另外，一个三位数，乘7，再乘11，再乘13，只需将是这个三位数连写两遍；一个四位数，乘73，再乘137，只需将这个四位数连写两遍；一个五位数，乘11，再乘9091，只需将这个五位数连写两遍。* * *数9还有一个神奇的性质：除去2和5以外，任意一个质数都能整除由一连串9组成的数。用N表示除了2、5以外的质数。用n表示能被质数N整除的，由一串9组成的数中，数字9的个数。下面是100以内的质数和另外一些较大的质数，整除由一连串9组成的数的情况： Nn N n N n 31 47 46 269 268 76 53 13 271 5 11 2 59 58 4647 7 13 6 61 60 4651 4650 17 16 67 33 9091 1019 18 71 35 9103 9102 23 22 73 8 29 28 79 13 31 15 83 41 37 3 89 44 41 5 97 96 43 21 101 4* * *下面的算式中，9个数码全都出现：124835796421385796182975346271985346391867254481597632281574396417386952419637852下面算式的两边，9个数码全都出现：5124987631537496281