动量与动量矩.doc

第三章 动量和动量矩 （一）动量定理 牛顿自己在叙述牛顿第二定律时，不用加速度来表示，而是用的动量他将质点的质量 与质点的速度 的乘积定义为质点的动量，我们把它记作 按定义 （3l）动量K是矢量，以速度 的指向为其指向，动量的大小则等于质量 与速率 的乘积 在古典力学的适用范围内，质点的质量 是常数，因而牛顿第二定律可表为 （32）这是牛顿本人所采用的第二定律表达式，我们称它为质点动量定理的微分形式质点受到其他物体的作用力，则动量发生变化，质点动量的时间变化率就等于其他物体施于该质点的力为了研究力的时间累积效果，即力施加于质点而经历一段时间间所产生的效果，将上述动量定理对时间积分一次 (3. 3)这里 与 指质点在t1时刻的速度与动量， 与 则是t2时刻的，I为冲量，定义为 （34）式（33）即 （35）这称为动量定理的积分形式 冲量是矢量，对于不变的力 ， 如果力随时间而变，在短时间中力的变化还是很微小的，因而极短时间内的冲量也可以认为就是力与作用时间的乘积 积分形式的质点动量定理，特别适宜于研究冲击作用对质点运动的影响因为冲击作用历时极为短暂，质点在这短暂的时间内是来不及显著移动的，即它的位置几乎没有改变但质点的动量却由K1变为K2，速度 由变为 。而这种改变只取决于冲量I这个总的效果，无需深究力F随时间变化的细致情况这样，冲击作用对质点运动的影响完全可以用它的冲量表明 假如用 或微分形式的动量定理来研究冲击作用，就不得不考察力在短暂时间内的急剧变化情况，这无疑是很不方便的 若质点受的力F为零，此时I也等于零，则 ， （3. 6）如果质点不受其他物体作用，则动量不随时间而变，此即动量守恒原理 动量定理是矢量方程，应用时可写成分量式这样，如果质点所受的力 ，但F的某个分量，例如 分量 守恒，虽然动量K本身并不守恒 （二）质点组的动量定理 质点组由N个质点组成，组内成员之间的互相作用力叫内力，质点组以外的物体对质点组内的质点的作用力叫外力对质点组来说，如果写出每一个质点的运动方程来求解那是很困难的我们通过质点组的动量定理对它的运动总趋向加以研究。1. 质组的质心每个质点组都有一个质心，它的质量 是整个质点组质量之和，它的位置坐标为 （37） 如果质点组不是很大，组内各质点所受的重力都可以认为是竖直向下且互相平行的，那么质点组的质心就与它的重心相重合。 2质心运动定理 将各个质点的动量定理相加因为内力都是成对出现的，大小相等方向相反，作用在质点组内不同的质点上，相加后即互相抵消，因此可得质心运动定理 （38）式中 表示第i个质点受到的外力， 是质心的加速度质心运动定理说明了质点组质心的运动情况，也即是表明了这个质点组运动的总趋向它也可以表为质点组的动量定理 （39）式中K是质点组的总动量， （3。10）为各质点动量的矢量和这是质点组动量定理的微分形式将上式积分一次可得质点组动量定理的积分形式 （311）质点组动量的改变，等于组内各质点在这段时间内所受外力冲量的矢量和 3. 质点组的动量守恒原理如果作用于质点组的外力矢量和为零，则 （312）或 （313）这就是质点组的动量守恒原理至于质点组内各个质点的动量则不一定守恒，但它们的矢量和，即质点组的总动量则保持不变 此时，质心运动定理为 （314）即，质心动量守恒，我们从质心的定义可以看出质心的动量就是质点组的总动量三）动量矩定理下面研究质点相对于某一根指定的直线的运动，这根直线称为“轴线”这时着重的是力矩而不是力 1力对于轴线的力矩 图31 力F对轴线AB的力矩等于力F在垂直于轴线的平面S中的投影F再乘以其与轴线AB的垂直距离d（一般称之为力臂）如果力F本身就在与AB垂直的平面内，力矩就等于 F乘以F与AB的垂直距离d。力F对轴线AB的力矩记为 ， （315）通常按右手法则来规定力矩的指向，将右手的四指捏成拳状以表示力矩驱使物体转动的趋势，伸直的大拇指的指向即力矩的指向 2对于轴线的动量矩和动量矩定理 （1）质点与轴连结 如果质点与轴AB相连结，则质点必在垂直于AB的平面内作圆周运动质点所受外力对AB轴的力矩为 （316）是质点的动量，R是动量与轴AB间的垂直距离仿照力矩，我们将 与R的乘积称为质点对于AB轴的动量矩（角动量） ，即 （3. 17）这就是动量矩定理 （2）转动惯量 将上式中的 以质点绕轴转动的角速度 表示 （3. 18）称为质点对AB轴的转动惯量，记为IAB ，则 动量矩定理（317）即 （319）式中 是质点绕轴转动的角加速度，这与牛顿第二定律 多么相似！从这类比中还可以看出， 与 相对应， 反映绕轴转动的惯性，所以称为转动惯量 （3）质点并不与轴连结 图32 所讨论的质点并不与轴AB连结，也不一定是绕轴转圈，只是相对于轴来研究质点的运动情况为了方便，取AB为直角坐标系的Z轴如质点的动量 在 平面内，它相对于z轴的动量矩为 （320） 若动量 不在 平面内，我们可以将它分解为与 平面垂直和与 平面平行的分量，其中与 平面垂直的动量分量对Z轴的动量矩为零所以只要考虑在 平面内的动量分量 动量矩的正负和力矩一样，也用右手法则决定，和Z轴正指向相同者取正值，反之为负值 由牛顿第二定律可以导出一般情况下的动量矩定理 （321）这是它的微分形式 注意在一般情况下，此定理不宜表为 ，除非质点的转动惯量I是常数一般说来，质点运动时，它与转轴的距离不是常数，所以I也不是常数 我们还可以考察力矩的时间累积效果，将上式积分一次,得 （322）式中 与 分别表示质点在时刻 及 的动量矩，力矩对时间的积分称为冲量矩这就是对z轴动量矩定理的积分形式，适宜用来研究冲击作用 3动量矩守恒原理如果质点所受的力对于Z轴的力矩为零，这时冲量矩自然也为零，由动量矩定理可得出 或 = （323）上面两式的意义相同，它们指出如果质点所受的力对Z轴的力矩为零，则质点对该轴的动量矩守恒 如果质点与轴线连结而绕轴转动，则动量矩守恒原理为常数 （324）式中R为质点与轴线间的垂直距离， 为质点绕轴转动的角速度，上式意味着质点绕轴转动的角速度不变如果质点并非固定连结于轴上，则动量矩守恒原理为 常数 （325）例如在舞蹈或滑冰表演中，演员常绕自身的轴旋转略去摩擦，他所受的重力对转轴的力矩为零，动量矩守恒当演员将两手合抱于胸前，旋转就加快起来；演员将两臂伸展出去，旋转就减慢。 （四）质点组的动量矩定理 1对于轴线的动量矩定理 质点组包含N个质点考察各质点对于Z轴的动量矩，由各质点的动量矩定理得 （3. 26） 这里 为第 个质点对Z轴的动量矩， 为作用于 质点的外力对Z轴的力矩， 为质点k作用于质点i的内力对Z轴的力矩将上式累加起来注意内力 与 大小相等，指向相反，沿着同一条直线，它们在 平面中的投影必然也是大小相等，指向相反，沿着同一条直线，因而它们对Z轴的力矩之和为零这样，在累加的结果中只出现外力的力矩，不出现内力的力矩 （327）将质点组各质点对Z轴的动量矩之和定义为质点组对Z轴的动量矩J （3. 28）这就是质点组对轴线的动量矩定理的微分形式。将上式积分一次，就得到质点组对轴线的动量矩定理的积分形式。 （3. 29）质点组对Z轴的动量矩的改变，等于组内各质点在这段时间内所受外力对Z轴的冲量矩之和 2质点组的动量矩与质心的动量矩 前文已指出，质点组的动量就等于质心的动量，那么质点组的动量矩是否也等于质心的动量矩呢？这却未必，通过下面的例子很容易说明这一点 一物体绕通过其质心的Z轴转动，Z轴是固定不动的质心既然不动，它对Z轴的动