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第17讲 力矩 转动平衡问题1力臂：从转轴到力的作用线的F垂直距离2力矩：力F与力臂上的乘积即M=FL，力矩的单位是Nm3作用：反映力对物体的转动效果，是使物体的转动状态发生改变的原因4力矩的平衡：有固定转动轴的物体的平衡条件是力矩和等于零即M=0或M逆=M顺。5力矩的计算方法力对某转动轴的力矩，顺时针方向，规定为负力矩；逆时针方向，规定为正力矩当力与转轴平行时，力对该轴没有力矩，当力与转动轴成任意角度时，力对这一转动轴的力矩，可将力分解为与轴平行和垂直的两个分力，垂直于轴的分力对轴的力矩也就是该力的力矩6有固定转动轴物体受力分析的要点：首先认准转动轴，只分析作用线不通过转动轴的力，因作用线过转动轴的力的力矩为零，对物体的转动不产生影响.作受力分析图时，力的作用点、作用线不能随意移动，这与用共点力的平衡研究问题时的受力分析图有一定区别，共点力平衡问题讨论的是物体的平动问题，可以把物体视为质点看待，画受力图强调的是方向问题，作用力的作用点，作用线不作要求力矩的平衡问题讨论的是转动问题，物体不可以视为质点，则力的作用点，作用线要求准确，不能在物体上随意移动7一般物体的平衡 对一般物体来说，其平衡条件必是满足F=0，对任意轴的力矩有M=08利用力矩平衡条件解题的一般程序是： (1)确定研究对象，即明确要研究哪一个物体的转动趋势(2)确定转动轴转动平衡物体的转轴理论可任意选择，选轴的一般原则：使未知力尽可能多地通过轴，以减少方程数(3)对研究对象进行受力分析，并作出受力示意图(4)根据受力分析，确定每一个力对转动轴的力臂(5)计算每一个力对转动轴的力矩，并确定各个力矩的正、负号(6)根据力矩平衡列方程必要时要根据题给条件列出辅助方程(7)求解方程，并对所求结果进行必要的讨论，（一）力矩概念的考查1.如图所示，直杆OA可绕O点转动，图中虚线与杆平行，杆端A承受两个力F1、F2的作用，力的作用线跟OA杆在同一竖直面内，它们对转轴O的力距分别是M1、M2，则力矩间的大小关系是( ) AM1 M2 BM1= M2 CM1 M1= M3 M4 C. M1 M2 M3 M4； DM2 M1 M4 M33质量分布均匀，边长为a的正方体，重力为G在与水平成=450角的力F作用下将绕边棱M翻转，此时正方体共受4个力作用，如图1117所示，请说明各个力的力矩大小4如图所示，重为G的均匀立方体A端支在竖直墙的凸处，C端被一轻绳固定，绳的另一端固定在竖直墙上。已知绳子与BC边(水平)成角，求绳上张力。5如图所示，把长为0.1m的直棒的O端用铰链连在天花板上，在另一端施加10N的水平拉力F，使棒偏离竖直方向600而保持静止，求力F的力矩（二）力矩平衡条件的考查1如图所示，质量为m的匀质木杆，上端可绕固定轴O自由转动，下端搁在木板上，木板置于光滑的水平地面上，静止时杆与竖直方向的夹角为450，杆与木板间的动摩擦因数0.5今用水平力F匀速拉动木板，则 A向右匀速拉动木板时，Fmg/6 B向右匀速拉动木板时，Fmg/4 C向左匀速拉动木板时，Fmg/2 D向左匀速拉动木板时，Fmg/82如图所示是一种手控制动器，a是一个转动着的轮子，b是摩擦制动片，c是杠杆，O是固定转动轴，手在A点施加一个作用力F时，b将压紧轮子，使轮子制动，若使轮子制动所需的力矩是一定的，则下列说法正确的是 A轮a逆时针转动时，所需的力F较小 B轮a顺时针转动，所需的力F较小 C无论a逆逆时针转动还是顺时针转动，所需的力F相同 D无法比较F的大小 3如图所示，质量为ml的光滑球，置于竖直墙和倾斜木板ab之间，木板的质量不计，a端固定在墙壁的转轴上，b端受一竖直向上的力F作用，今保持F的方向不变，而让b端缓慢下降至木板水平，在这一过程中，下列说法正确的是 AF变大，其力矩不变 BF变大，其力矩也变大 CF不变，其力矩也不变 DF变小，其力矩也变小4如图所示，BO是一根质量均匀的横梁，重量G1=80N，BO的一端安在O点，可绕通过B点且垂直于纸面的轴转动，另一端用钢绳AO拉着。横梁保持水平，与钢绳的夹角=300。在横梁的O点挂一个重物，重量G2=240N。钢绳对横梁的拉力Fl=_5一个质量为m、半径为R的金属球上固定一根长为L的轻质细杆，细杆的左端用铰链与墙连接，球下边垫有一块木板，木板放在光滑的水平地面上，此时细杆恰好水平。如图所示，球与木板之间的动摩擦因数为，现将木板向右匀速拉出，则作用在木板上的水平拉力F_6如图所示，质量不计的杆O1B和O2A，长度均为l，O1和O2为光滑固定转轴，A处有一凸起物搁在O1B的中点，B处用绳系在O2A的中点，此时两短杆便组合成一根长杆，今在O1B杆有C点(C为AB的中点)悬挂一重为C的物体则A处受到的支承力大小为_，B处绳的拉力大小为_7如图所示，重30N的物体放在倾角为30o的光滑斜面上一根重24N的均匀直棒AB水平放置，A端用光滑铰链固定于竖直墙上，B端搁在物体上，若用平行斜面上的推力F20N推物体，使物体匀速向上运动，求棒与物体之间的动摩擦因数8如图所示，将重为mg的均匀木杆AB，一端用光滑铰链固定于墙上，另一端搁在一个表面光滑、半径为R、重Mg的半圆柱形物体上，此时杆AB处于水平，杆AB与地面的高度为hh/2，且都静止不动，则地面对半圆柱体的静摩擦力大小为多少?9图中是用电动砂轮打磨工件的装置，砂轮的转轴过图中O点垂直于纸面，AB是一长度l=0.60 m，质量m1=0.50 kg的均匀刚性细杆，可绕过A端的固定轴在竖直面(图中纸面)内无摩擦地转动工件C固定在AB杆上，其质量m2=1.5kg，工件的重心、工件与砂轮的接触点P以及O点都在过AB中点的竖直线上P到AB杆的垂直距离d=0.10mAB杆始终处于水平位置砂轮与工件之间的动摩擦因数=0.60(1)当砂轮静止时，要使工件对砂轮的压力F0=100N，则施于B端竖直向下的力FB应是多大?(2)当砂轮逆时针转动时，要使工件对砂轮的压力仍为F0=100N，则施于B端竖直向下的力FB应是多大?（三）力矩平衡中极值问题和临界问题1如图所示，A、B是两块相同的均匀长方形砖块，长为l，叠放在一起，A砖相对B砖右端伸出l/4的长度，B砖放在水平桌面上，砖的端面与桌边平行，为保持两砖都不翻倒，B砖伸出桌边的长度x的最大值是 ( )Al/8 Bl/4 C3l/8 Dl/22如图所示，一个质量m50kg的均匀圆柱体放在台阶旁边，圆柱体的半径为R，台阶高h是R的一半，圆柱体与台阶接触处摩擦力足够大，现在图中A点施加一力使圆柱体滚上台阶，则施加的力最小值为_N3 如图所示，质量为m的运动员站在质量为m的均匀长板AB的中点，板位于水平地面上，可绕通过A点的水平轴无摩擦转动，板的B端系有轻绳，轻绳的另一端绕过两个定滑轮后，握在运动员的手中，当运动员用力拉绳子时，滑轮的两侧的绳子都保持在竖直方向上，则要使板的B端离开地面，运动员作用于绳的最小拉力是_4如图所示，“L”形支架可绕固定轴C转动，AC=2R，BC=2R，其中R为球O的半径，悬绳长也为R，球重100N；为使支架BC保持水平，需在BC段施一作用力F，试求力F的最小值：5如图所示，某杆A一端与固定顶部铰链连接，另一端放在物块B上，现给B施一水平力F欲使之向左运动，杆与竖直方向夹角满足何种条件才可行?(杆与物块间动摩擦因数为)6如图所示，放在水平面上半径为r的光滑圆柱体轴水平固定，将一根长为L、重为G的均匀杆AB垂直于圆柱体的轴线斜靠在圆柱体上如果杆与水平面的夹角为时，AB刚好不发生滑动，则这时地面对杆的摩擦力是多大?7两根均匀的直短棒AB、CD都可绕其固定光滑转轴在竖直平面内转动，AB棒放在CD棒的上面且两棒互成直角，如图所示AB棒与地面成角，AB棒质量为M，CD棒质量为m，如果两棒均处于平衡，则两棒间动摩擦因数至少应为多少?8如图是一台起重机的示意图，机身和平衡体的重量G1=4.2105N，起重臂的重量G2=2.0104N。其他数量如图中所示。起重机最多能提起多重的货物?9质量m=2.0kg的小铁块静止于水平导轨AB，的A端，导轨及支架ABCD形状及尺寸如图它只能绕通过支架D点的垂直于纸面的水平轴转动，其重心在图中的O点，质量M=4.0kg，现用一细绳沿导轨拉铁块，拉力F=12N，铁块和导轨之间的动摩擦因数=0.5，重力加速度g=10m/s2从铁块运动时起，导轨(及支架)能保持静止的最长时间是多少？10如图所示，光滑斜面的底端a与一块质量均匀、水平放置的平板光滑相接,平板长为2L，L=1m，其中心C固定在高为R的竖直支架上，R=1m，支架的下端与垂直于纸面的固定转轴O连接，因此平板可绕转轴O沿顺时针方向翻转问： (1)在斜面上离平板高度为ho处放置一滑块A；使其由静止滑下，滑块与平板间的动摩擦因数=0.2，为使平板不翻转，ho最大为多少? (2)如果斜面上的滑块离平板的高度为h1=0.45m，并在h1处先后由静止释放两块质量相同的滑块A、B，时间间隔为t=0.2s，则B滑块滑上平板后多少时间平板恰好翻转(重力加速度g取10m/s2)11有三个质量相等、半径均为r的圆柱体，置于一块圆弧曲面上，为了使下面两个圆柱体不分开，则圆弧曲面的半径R最大是多少?整个装置如图所示，所有摩擦均不计。12两个半径为r、重为G的相同的光滑球放在圆柱形筒内，圆筒半径为R，且R2r，若圆柱形筒无底，筒重为何值时，筒才不会翻倒?（四）天平和杆秤问题1 如图所示杆秤，O点处为提纽，B点处为秤钩，秤钩和秤杆的重力为G0，C点处为其重心，秤砣重力为Gl.当秤钩上不挂重物时，秤砣放在A点处，杆秤水平平衡A点是刻度的起点，称为定盘星试分析杆秤的工作原理2有一没有游码的托盘天平，其最小砝码质量为100mg用该天平称量某物体，当右盘中加36.20g砝码时，天平指针向左偏1.0格，如图中实线所示若在右盘中再加100mg的砝码，天平指针则向右偏1.5格，如图中虚线所示试求待测物的质量3如图所示杆秤有甲、乙两个提纽；使用甲提纽时最大称量为5kg已知秤杆与秤砣的质量为1kg，OA=6cm，OB=4cm，问改用乙提纽时最大称量为多大?4天平的横梁(连同指针)是一个有固定转动轴的物体，转动轴过中央刀口O且与纸面垂直。横梁的自重为G，重心C在指针上离转动轴O为h的地方，天平两个盘中物体的质量相等时，作用在横梁两端的力F相等，横梁平衡，指针指在标尺的中央，即指针停在竖直方向。天平两盘中物体的质量稍有不等时，横梁就要倾斜，指针随着就要偏移到较轻的一方，自重G对转动轴O的力矩将阻止横梁的倾斜，最后横梁在某一倾斜的位置上达到平衡。设指针与竖直方向成角时横梁平衡，可以证明： tg=L(F1F2)/Gh=gL(m1m2)/Gh试应用有固定转动轴物体的平衡条件证明上式5有人设计了一种新型伸缩拉杆秤，结构如图，秤杆的一端固定一配重物并悬一挂钩，秤杆外面套有内外两个套筒，套筒左端开槽使其可以不受秤纽阻碍而移动到挂钩所在位置(设开槽后套筒的重心仍在其长度中点位置)，秤杆与内层套筒上刻有质量刻度。空载(挂钩上不挂物体，且套筒未拉出)时，用手提起秤纽，杆秤恰好平衡当物体挂在挂钩上时，往外移动内外套筒可使杆秤平衡，从内外套筒左端的位置可以读得两个读数，将这两个读数相加，即可得到待测物体的质量已知秤杆和两个套筒的长度均为16cm，套筒可移出的最大距离为15cm，秤纽到挂钩的距离为2cm，两个套筒的质量均为0.lkg取重力加速度g=l0m/s2求： (1)当杆秤空载平衡时，秤杆、配重物及挂钩所受重力相对秤纽的合力矩； (2)当在秤钩上挂一物体时，将内套筒向右移动5cm，外套筒相对内套筒向右移动8cm，杆秤达到平衡，物体的质量多大? (3)若外层套筒不慎丢失，在称某一物体时，内层套筒的左端在读数为l千克处杆秤恰好平衡，则该物体实际质量多大?（五）用力矩平衡条件求解共点力的平衡问题（含虚拟刚体法的应用）对于转动平衡的问题中，如果研究所受的力为共点力，我们可以将转动问题转化为共点力平衡问题，用共点力平衡的方法求解利用力矩平衡条件求共点力平衡时，应注意巧选转动轴，具体是：尽可能使较多的力通过转动轴；使较难分析求解的力通过转动轴；同一直线上等大反向的两个力对任何转动轴的合力矩为零，故列力矩平衡关系时可以不考虑这样的个力1 如下图所示，粗细均匀的木棒斜浮于水中，一端悬挂重为 G而体积可以不计的小铁球，另一端露出水面，其长度为棒长的1/n求木棒的质量是多少? 2如图所示，在竖直固定的光滑圆环上，套着质量为M和m的小球A和B，并用细线连接在一起当两球平衡时，细线对圆心(O)的张角为，求细线与竖直方向的夹角是多大?3如图所示，质量为 kg的A球和质量为3 kg的B球，被轻质细线连接后，挂在光滑的圆柱面上恰好处于静状态，已知AOB90o，求OB与竖直方向的夹角4如图所示，A球和B球用轻绳连接并静止在光滑圆柱面上。若A球的质量为m，则B球的质量为( )。 A3m/4 B2m/3 C3m/5 Dm/25如图所示，两个质量分别为m1、m2，带电量分别为q1、q2的金属小球，用两根等长的绝缘轻绳悬挂于同一点O。平衡时，轻绳与竖直方向夹角分别为、，则( )。A B C D6如图所示，两个质量分别为ml、m2，带电量分别为ql、q2的金属小球，用两根绝缘轻绳悬挂于同一点O。平衡时，两球