我们的数模.doc

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的电子文件名： 所属学校（请填写完整的全名）： 广西民族大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期：2010 年 9 月 13 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：储油罐的变位识别与罐容表标定摘 要本文为解决储油罐的变位识别与罐容表标定问题，对罐容表的标定做了模型分析。1.对第（1）问的两端平头的椭圆柱体，根据它的正面示意图知道此平头油罐是个柱面。为求得罐内油位高度与储油量的对应关系，我们的做法是先求出油面边线的曲线方程，再横向积分，求得油面的面积，然后再纵向积分求得油的体积。2.怎样将体积与高度建立起关系呢？我们的做法是首先求得平头油罐的柱面方程，然后用一个平面去截此柱面，这样就将高引入了，同时截得的曲线就是油边曲线的方程，再根据1中所述的操作下就可以得出罐内油位高度与储油量的对应关系。3.根据求得的对应关系列出相应的曲线公式、面积公式、体积公式，再用MATLAB软件进行软件编程求解，对所求得的解代入数据，并与题目中给的附件1中的小椭圆储油罐的实验数据进行对比，求出误差。然后即可给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。4.对第（2）问我们采用分割法来进行处理，将储油罐切分为中间的平头椭圆柱体和两端的球罐体。中间的平头椭圆柱体的求解方法同（1），两端的球罐体我们也给出了相应的方程，最后将这两部分加起来，即可得到整个储油罐的储油量与高度和变位参数的对应关系。关键词：定积分 变位识别 罐容表标定 MATLAB软件 油位高度 AbstractTo solve the storage tanks variable identification and tank capacity table calibration model analysis for the calibration of the tank capacity table.(1) ask (1) at both ends of the elliptical cylinder flat head, flat head tank is a cylinder according to its positive schematic. , Our approach is to first find the edge of the oil surface to obtain the corresponding relations of the oil height and oil storage tank volume of curve equation, and then horizontal integration, to obtain the oil surface area, then longitudinal integral to obtain the volume of oil .(2) how the size and height to establish relationship? Our approach is to first obtain a flat head tank cylinder equation, then use a flat surface to cut this cylinder, so that it will be high the introduction of the intercepted curve is the oil side of the curve equation, and then described according to the 1 the oil height and oil storage tank volume of correspondence between the operation can be drawn.3 lists the corresponding curve formula obtained correspondence between the area formula, the formula for the volume, then the MATLAB software, software programming for solving data into the obtained solution on behalf of and title to the annex 1 oval oil tank of the experimental data were compared to find the error. You can then give the tank after oil vertical separation between the calibration value of 1cm tank capacity table.4 (2) asked us to use the split method for processing, storage tanks cut into the middle of the flat head of the elliptical cylinder and the ball across the tank. The middle of the flat head of the elliptical cylinder method for solving (1), both ends of the ball tank also gives the corresponding equation Finally, these two parts are added together, can get the entire reservoir volume and height of the storage tanks and variable bit correspondence between parameters.Keywords: fixed integral variable to identify the tank capacity table calibration height of the oil level of the MATLAB software一、问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。有一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。同时给出其罐体纵向倾斜变位的示意图和罐体横向偏转变位的截面示意图。要求我们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用给出的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分析罐体无变位和倾斜角为a=4.10的纵向变位两种情况的实验数据，我们需要建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。（2）对于典型的实际储油罐（其主体为圆柱体，两端为球冠体），试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b ）之间的一般关系。请利用题目所给的罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据，根据所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用给出的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。二、问题分析第一问要求我们就储油罐变位后灌内油位的高度与储油量的对应关系作分析，由于我们的思想是用积分的方法来计算储油量，故由分割求和的思想，采用逆推法，就要先求得油面面积的表达式，而面是由线积分得到的，因而前提必须先求出油面边线的函数表达式。而由解析几何知可以用一个平面去截柱面就得到曲线的方程。如此我们再反推回去，经过两次积分即可求得储油量的表达式。第二问在第一问的基础上对储油罐两边的球罐体进行分析，主要思想还是和第一问相同，采用积分的方法处理。求得罐内油量与油位高度及变为参数之间的关系后，在根据题目给的实际检测数据来分析检验模型的正确性和方法的可靠性.三、模型假设及说明假设：（1）储油罐内各支架所占体积忽略不计。（2）油罐内壁所沾附的油量忽略不计。（3）油罐壁的厚度忽略不计。(4）忽略外界因素对油位探针的影响。（5）油浮子的中心总是浮在油面上。（6）油浮子的厚度不计。四、符号说明储油罐纵向倾斜的角度.储油罐横向偏转角度. 灌内油位高度.S油面的面积.V储油罐内油的体积.a图（4）（b）所示的小椭圆的长半轴.b图（4）（b）所示的小椭圆的短半轴.当油面高度在OABE区域时油罐中油的体积当油面高度在BEDC区域时油罐中油的体积当油面高度在CDPL区域时油罐中油的体积第（2）问左椭球罐截面的面积第（2）问右椭球罐截面的面积 E1油罐不旋转时油在高度为h的横截面积 f油罐不旋转时油在高度为h的体积 五、模型的求解5.1问题一的解答当油罐没有发生变体时，如图1所示建立三维直角坐标系，x轴与水平面平行，y轴垂直油罐横截面向外，z轴垂直水平面向上，坐标原点O为油罐左椭圆面的最低点。图1是油罐装有油高度为h的情况oyxL1l1L22h 图1油在罐中的椭圆的方程组为：当由在罐中高度为h时，此时油的横截面积为：E1=2油罐内装有高度为h的油的体积f相当于对图1中横截面面积E1对z的积分，即：运用MAPLE计算得：E1，f（参照附件1）当油罐发生变体时，小椭圆形油罐形状及尺寸示意图如下：(b) 小椭圆油罐截面示意图 油油浮子出油管油位探针注油口水平线2.05mcm0.4m1.2m1.2m1.78m(a) 小椭圆油罐正面示意图图4 小椭圆型油罐形状及尺寸示意图如图3所示，建立三维直角坐标系，取油罐变位后油位探针最下端所在点为坐标原点，x轴垂直油罐截面向外，y轴与水平面平行，z轴垂直水平面向上。yxo ABCDEFGHJKLNMPQZA小椭圆油罐的柱面方程为： （1）由于油位探针能显示油位的高度h，所以我们用一个平面z去截小椭圆油罐的柱面，所得曲线即为油面边线的曲线方程，即： （2） 结合得： 截面面积为： 油罐中油量：V=设油位探针探测到油的高度为h，如上图所示，当油位低于水平线OA时，油位探针测不到油位的高度，设此时储油罐中的油量为V1，若倾斜角度很小，则在误差允许的范围内可以忽略不计。假设倾斜角度很小，我们可以不考虑OA一下的部分。将OA以上的部分分为三部分，即四边形OABE、四边形BEDC、四边形CDPL设ON段的长为L1,OE段长为L2在区域OABE,(4)式的积分区间为：=,= (5)式的积分区间为：=0,=.在区域BEDC,(4)式的积分区间为：,= (5)式的积分区间为：= .=在区域CDPL,(4)式的积分区间为：=,= (5)式的积分区间为：=,=.设以上三个区域求得的油的体积分别为V1、V2、V3，则总的油量为： V=V1+V2+V3 (6)当油位高度超过水平线LP时油位探针的刻度一直指向最大值，此时油罐内的油量在V到maxV之间，其中maxV=0.882 用MAPLE软件进行求解得：参考附件1所以油罐在变位的情况下的容标量v=+ 5.2第二问的解答第二问的求解是在第一问的基础上在平头油罐的两边加上两个球冠体，设左边球冠体的体积为，右边球冠体的体积为，中间的体积为.油罐两头球罐体的截面示意图如下：设球的半径OA=r,AC=d,ED=h.由几何关系知： 解得： FBCDECAozy所截得的截面的表达式为：.其中=.另一边截面的表达式为： 其中.由方程组求的点、=.其中用MAPLE软件可算得：,，, , , ， (参考附件2)问题2的变位罐容公式为V=以下是的计算公式的推导：倾斜油罐及液面剖示如图5所示。图5为使计算公式推导方便，将圆柱体油罐经旋转后放入坐标系进行分析计算，如图6所示。y图6CBoAxRL设油罐倾斜度为K，即K=BC/AB；