函数的性质与带有绝对值的函数(教师).doc

函数的性质与带有绝对值的函数一、复习要点基本初等函数性质主要包含了函数的定义域、值域、奇偶性、单调性及周期性等，另外最值问题、含参问题、范围问题等是重点复习的内容，特别是含有绝对值的函数问题难度都比较大，当涉及到最值问题时，分类讨论与数形结合是常用方法.2、 基础训练1(1)若f(x)是R上的奇函数，且当x0时，f(x)1，则f(x) （2）若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(，0上是减函数，且f(2)=0，则f(x)0的x的取值范围是 【答案】（1）；（2）(2，2).2.已知函数，若当时恒有,则函数的递减区间是 .【答案】.3（1）若函数ylog2(x2)的图象与yf(x)的图象关于x1对称，则f(x)= （2）已知f(x)log2|ax3|关于x1对称，则实数a 【答案】（1）log2(4x)；（2）3或04.已知函数，若且，则的取值范围是 .【答案】.5.在上为增函数，则实数的取值范围是 .【答案】.6.关于的方程的实数解的个数为 .【答案】1个.7.有4个根，则实数的取值范围是 .【答案】.8.若不等式a在x(，2)上恒成立，则实数a的取值范围为 【答案】.3、 典型例题 例1已知函数（其中是实数常数，）（1） 若，函数的图像关于点（1，3）成中心对称，求的值；（2） 若函数满足条件（1），且对任意，总有，求的取值范围；（3） 若，函数是奇函数，且对任意时，不等式恒成立，求负实数的取值范围。 【分析】（1）转化为反比例函数模型；（2）考察反比例函数的单调性；（3）由条件可以确定各字母；然后等价转化.【解答】(1)，类比函数的图像，可知函数的图像的对称中心是又函数的图像的对称中心是， ，.证明：函数，,而，所以，即也在上.所以函数图像关于（-1，3）对称. (2)由(1)知，依据题意，对任意，恒有若，则，符合题意 若，当时，对任意，恒有，不符合题意所以，函数在上是单调递减函数，且满足 因此，当且仅当，即时符合题意 来源:学。科。网Z。X。X。K综上，所求实数的范围是(3)依据题设，有解得 于是，由，解得因此，考察函数，可知该函数在是增函数，故所以，所求负实数的取值范围是例2已知函数，且， （1）求、的值； （2）已知定点，设点是函数图象上的任意一点，求 的最小值，并求此时点的坐标； （3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围 【分析】（1）简单，依据条件解方程；（2）换元法求最值；（3）注意分类讨论. 【解答】（1）由，得， 解得： （2） 由（1），所以，令，则因为，所以，所以，当，所以，即的最小值是，此时，点的坐标是。（3）问题即为对恒成立，也就是对恒成立，要使问题有意义，或法一：在或下，问题化为对恒成立， 即对恒成立，即对恒成立，当时，或，当时，且对恒成立，对于对恒成立，等价于，令，则，递增，结合或，对于对恒成立，等价于令，则，递减，综上：。法二：问题即为对恒成立，也就是对恒成立，要使问题有意义，或故问题转化为对恒成立，令若时，由于，故，在时单调递增，依题意，舍去；若，由于，故，考虑到，再分两种情形：（），即，的最大值是，依题意，即，；（），即，在时单调递增，故，舍去。 综上可得，。【反思】恰当地转化是解决本题的关键，另外本题也是含参问题，涉及到分类讨论思想的运用.例题3已知.（1）当，时，问分别取何值时，函数取得最大值和最小值，并求出相应的最大值和最小值；（2）若在R上恒为增函数，试求的取值范围. 【分析】(1)是一个具体清晰的函数，讨论去掉绝对值就可以了，（2）必须结合图像进行分析.【解答】（1）当时， .()时，当时，；当时，.()当时，当时，；当时， .综上所述，当或4时，；当时， .（2），在上恒为增函数的充要条件是，解得 .【反思】对于既有自变量又有参变量的问题，应该充分利用数形结合思想进行分析.例2 已知函数，.（1） 若关于的方程只有一个实数解，求实数的取值范围；（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）求函数在区间-2,2上的最大值.【分析】本题是含有绝对值的二次型函数，涉及最值问题，去掉绝对值后，就属于二次函数（动轴定区间、定轴变区间）的最值问题了.【解答】(1)方程即，显然是方程的根，所以方程无解或者只有一个解（这种情况不成立），.（2）不等式对恒成立，即（*）对恒成立，当时，（*）显然成立，此时； 当时，（*）可变形为，令因为当时，当时，所以，故此时. 综合，得所求实数的取值范围是.（3）解法一：去掉绝对值后单独讨论.,当.（）当即时，；()当即时，；()当即时，.当.（）当即时，；()当即时，；()即时，.综上所述：当时，；当时，； 当时，； 当时，.解法二：考虑到对称轴是关于轴对称的，所以两个图像整体研究，注意到两个函数图像都经过（1,0）.（）当时，即，此时，.()当时，即，此时，在 单调递减，. ()当，即时，在 单独递减，.()当时，在 单独递减，.【反思】本题是改编题，分段函数的性质是高考考查的重要知识点，该试题立足基础考查了分类讨论、数形结合的思想方法.对学生思维能力以及灵活运用所学数学知识处理相关问题的能力较高.四、课后练习 1.函数的定义域是 .【答案】2.已知，若对，则实数的取值范围是 .【答案】.3设f(x)是R上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x，(1)则f(7.5) ；(2)当x4，6时，f(x) 【答案】（1）；（2）4.若关于的不等式至少有一个负数解，则实数的取值范围是 【答案】.5.设,已知函数的定义域是,值域是,若关于的方程有唯一的实数解,则= 【答案】1.6.函数在上是增函数，则实数的取值范围是 . 【答案】.7.已知t为常数，函数在区间上的最大值为2，则实数 【答案】1.8.已知f（x）=|x24|+x2+kx，若f(x)在(0,4)上有两个不同的零点x1，x2，则k的取值范围是 . 【答案】.9.已知函数，关于的方程，给出下列四个命题： 存在实数，使得方程恰有2个不同的实根； 存在实数，使得方程恰有4个不同的实根； 存在实数，使得方程恰有5个不同的实根； 存在实数，使得方程恰有8个不同的实根. 其中真命题的序号为 【答案】. 10.若关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是 【答案】.11.已知函数，为实数 (1) 当时，求函数的值域；(2) 设是两个实数，满足，若函数的单调减区间为，且.求的取值范围【分析】对进行换元，将问题化归为二次函数在给定区间的值域问题。第（2）题涉及到函数单调区间，重点考查学生分类讨论的能力。【解答】设，为实数。(2) a=1时，f(x)=，当时，为增函数，y的取值范围是当时，令，则，y的取值范围是又，所以当时，函数的值域为(3) 令，则a =0时，无单调减区间，故a=0不成立；时，在上单调递减，则在上单调递减，故不成立；时，仅当时，即时，在时，是减函数，即时，是减函数所以，即，所以综上得，的取值范围为【反思】本题以函数为载体，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，有一定的难度.12.设是实数，函数（）（1）求证：函数不是奇函数；（2）当时，求满足不等式的的取值范围；（3）求函数的值域（用表示）【分析】分类讨论没有统一的标准，可以理解为：“当运算不能进行时，需要讨论