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文档简介

2012年第8期数学通讯（上半月）8-12处理函数双变量问题的六种解题思想吴享平（福建省厦门第一中学）361000在解决函数综合题时，我们经常会遇到在某个范围内都可以任意变动的双变量问题，由于两个变量都在变动，因此不知把那个变量当成自变量进行函数研究，从而无法展开思路，造成无从下手的之感，正因为如此，这样的问题往往穿插在试卷压轴题的某些步骤之中，是学生感到困惑的难点问题之一，本文笔者给出处理这类问题的六种解题思想，希望能给同学们以帮助和启发。一、改变“主变量”思想例.已知恒成立，求实数的取值范围.分析：从题面上看，本题的函数式是以x为主变量，但由于该题中的“恒”字是相对于变量而言的，所以该题应把当成主变量，而把变量x看成系数，我们称这种思想方法为改变“主变量”思想。解：恒成立，即关于m为自变量的一次函数在时的函数值恒为非负值得。对于题目所涉及的两个变元，已知其中一个变元在题设给定范围内任意变动，求另一个变元的取值范围问题，这类问题我们称之为“假”双变元问题，这种“假”双变元问题，往往会利用我们习以常的字母为变量的惯性“误区”来设计，其实无论怎样设计，只要我们抓住“任意变动的量”为主变量，“所要求范围的量”为常数，便可找到问题所隐含的自变量，而使问题快速获解。二、指定“主变量”思想 例.已知试比较与的大小，并给出证明. 分析：本题涉及到两个变量m,n，这里不妨把m当成常数，指定n为主变量，解答如下 解：构造函数，由在上恒成立，在上递增，于是，当时，即。 因此，有些问题虽然有两个变量，只要把其中一个当常数，另一个看成自变量，便可使问题得以解决，我们称这种思想方法为：指定“主变量”思想。三、化归为值域或最值思想例.已知函数，对，求实数a的取值范围。分析：该题虽然在区间，上有两个变量，但由于总有小于在区间上的最大值与最小值的差，因此该问题便可化归为求函数在区间上的最大值与最小值问题。解：由，当时，即在上递减；当时，即在上递增，；，又由，构造函数，在上递增，又，当时即。，因此，要题设中的不等式恒成立，只需成立便可，于是构造，由，在上递增，又，又，因此，所求实数a的取值范围为.四、化归为函数单调性思想 例4.已知，试比较的大小，并说明理由。 分析：要比较的大小，由可知，只要比较与的大小比较与的大小即可，因此，只要研究函数单调性便可，解答如下。 解：构造函数，在上恒成立，在上递减，由得.例的上述解法，并不是直接作差进行比较，而是通过作图引导，寻找到破解问题的“参照物”（），通过这一“参照物”搭起所要比较大小的两式之间的“桥梁”，从而使问题得以解决，我们将这一思想方法称之为：借助“参照物”,建构“桥梁”思想。当然，对于函数中的双变量问题是近年高考试卷中的“热门”试题之一，这类试题不仅形式多样，而联系到的知识面较广，构造思维能力要求较高，因此，解决这类问题的方法也是多种多样的，笔者给出处理这类问题的六种解题思想，其目的在于能给读者提供一定
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