第二节形函数.doc

第二节 形函数的性质在讨论常应变三角形单元时，提出形函数 (i,j,m轮换)式中其第一行、第一列元素的代数余子式为其第一行、第二列元素的代数余子式为其第一行、第三列元素的代数余子式为 同理可以证明第二行、第三行元素的代数余子式分别为 和 。同理 -第一列三个元素的代数余子式 -第二列三个元素的代数余子式 -第三列三个元素的代数余子式注： 行列式的性质1. 行列式的任一行（或任一列）的元素与其对应元素的代数余子式乘积之和=行列式的值2. 行列式的任一行（或任一列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和=零一、 形函数的性质1. 所以有 即形函数在节点i处的值为1同理 即形函数在节点j处的值为1 即形函数在节点m处的值为1又根据行列式性质2 同理综上，有 由此可见，形函数在节点i处的值等于1，而在其他节点处的值皆等于零 (i , j , m轮换)。2. 在单元任一点上三个形函数之和等于1。即 （3-16）证明如下：而 行列式的第一列的元素与第二列对应元素的代数余子式乘积之和=零同理有行列式的第一列的元素与第一列对应元素的代数余子式乘积之和=行列式的值所以由此可见，三个形函数中只有两个是独立的。3. 三角形单元ijm的任意一条边上，例如在ij边上，有 （3-17）即在ij边上的形函数只与该边两个端点及两点连线上的坐标有关，而与第三个节点的坐标无关。 证明： 因为ij边的直线方程为 所以 代入式（3-4） 和中，得 而 故有由形函数的性质2，得例题4： 证明当3节点三角形单元位移模式是坐标的线性函数时，相邻单元的位移在公共边上是连续的。证：在单元的ij边上，有 ，所以在单元的ij边上，有 ，所以 可见，在公共边上的位移u，v完全由公共边的两个节点i、j的位移所确定，所以相邻单元的位移在公共边上是连续的。二、面积坐标对于高阶三角形单元，若采用直角坐标的形函数，在计算单元刚度矩阵进行积分时会遇到很大困难。如果采用面积坐标的形函数，则可使积分计算大大简化。1. 面积坐标的定义如图所示的三角形单元ijm中，任意一点P（x，y）的位置可以表示为： ， ， （3-18）式中为三角形单元面积，i，j，m分别是三角形Pjm，Pmi，Pij的面积。称为P点的面积坐标， x0y整体坐标系2. 面积坐标的性质在直角坐标系中任意点的位置取决于x、y两个独立变量。当然，改用面积坐标后，三个面积坐标中也只能有二个是独立变量。这是因为所以有 （3-19）例如选择为独立变量，则由于面积都是正值，故3. 三角形单元内各特殊点的面积坐标（1）三个节点的面积坐标节点i 节点j 节点m （2）在单元三条边上的面积坐标 边 边 边 （3）三角形单元形心的面积坐标（4）在三角形单元内平行于jm边的直线KL上各点的相同。 直线KL与jm边的距离 节点i到jm边的距离对于直线KL上任意点，和 是不变的，故不变同理，可以证明：平行于mi边的直线上各点的相同。 平行于ij边的直线上各点的相同。4. 面积坐标与直角坐标的关系三角形单元ijm的面积三角形Pjm的面积所以 （3-20）同理，轮换i，j，m，可得 （3-21） （3-22）常应变三角形单元的形函数 （i，j，m轮换）（3-4）可见，就是面积坐标 （i,j,m轮换）。将（3-20）、（3-21）和（3-22）写成矩阵形式将（3-20）、（3-21）和（3-22）分别乘以 ， ，然后相加，得即同理 （3-23） 将式（3-19）和上式写成矩阵形式 4. 面积坐标的求导和积分（1）面积坐标的求导当面积坐标的函数对直角坐标求导时，可利用下式： （3-24）（2）面积坐标的积分在载荷处理中，常常会出现形函数或形函数之积对体积积分和面积积分问题。通常利用面积坐标的幂函数在三角形单元上的积分来求解。下面给出面积坐标的幂函数在三角形单元上积分公