利用函数的导数求解“恒成立”问题的参数范围.doc

利用函数的导数求解“恒成立”求参数范围问题（1）恒成立问题求参数范围： 例1已知函数.（）若，求的取值范围；练习1.设函数在及时取得极值（1）求a,b的值,(2)若对于任意的0,3都有成立,求c的取值范围答案：1. 解: (1)a=-3,b=4 (2)9+8cc2,解得c9（2）恒成立问题求参数范围：分离参数法。例2. 已知函数 (1)时，求函数的单调区间和极值，(2)若函数在1，4是减函数，求实数的取值范围解得：(1)函数的单调递减区间是，单调递增区间是（，极小值是（2）由得依题意所以即又在1，4上是减函数，故（4）min=所以练习1.已知（1）若对任意的恒成立，求实数的取值范围。（2）求证：解：（1）(2)构造函数且则由（1）知当a=-1时，故h(x)在（0，1）上单调递减，h(x)0时，参考答案:1.解：1.2.令函数的图像恒在直线下方，等价于在区间上恒成立。令得（1）。若时，在区间上是增函数，在减函数，并且在区间上有，不合题意；（2）.当时，g(x)在区间上也是增函数，也不合题意；（3）.若，则有2a-1,此时在区间上是减函数，要使在此区间上恒成立，只需有此求得a的范围是.2.解: （）函数的定义域是，设则令则当时， 在（-1，0）上为增函数，当x0时，在上为减函数.所以h(x)在x=0处取得极大值，而h(0)=0,所以，函数g(x)在上为减函数.于是当时，当x0时，所以，当时，在（-1，0）上为增函数.当x0时，在上为减函数.故函数的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为.（）不等式等价于不等式由知， 设则由（）知，即所以于是G(x)在上为减函数.故函数G（x）在上的最小值为所以a的最大值为（4）恒成立问题求参数范围不等式放缩法例5.设函数 (1)若a=0,求的单调区间。（2）若当时，求a的取值范围。解：（1）在（单调递减，在单调增加。(2)由（1）知当且仅当x=0时等号成立。故当1-2a0即。由可得从而当时故当而于是不合题意，故例6. 设函数（）证明：当时，；（）设当时，求a的取值范围练习 1.设函数（）当曲线处的切线斜率（）求函数的单调区间与极值；（）已知函数有三个互不相同的零点0，且。若对任意的，恒成立，求m的取值范围。2.已知函数（），其中（）当时，讨论函数的单调性；（）若函数仅在处有极值，求的取值范围；（）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围参考答案1.（1解：当所以曲线处的切线斜率为1. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）解：，令，得到因为当x变化时，的变化情况如下表：+0-0+极小值极大值在和内减函数，在内增函数。函数在处取得极大值，且=函数在处取得极小值，且=（3）解：由题设， 所以方程=0由两个相异的实根，故，且，解得因为若，而，不合题意若则对任意的有则又，所以函数在的最小值为0，于是对任意的，恒成立的充要条件是,解得 w.w.w.k. 综上，m的取值范围是2.（）解：当时，令，解得，当变化时，的变化情况如下表：02000极小值极大值极小值所以在，内是增函数，在，内是减函数（）解：，显然不是方程的根为使仅在处有极值，必须成立，即有解些不等式，得这时，是唯一极值因此满足条件的的取值范围是（）解：由条件，可知，从而恒成立当时，；