线性代数第三章习题及解答.pdf

第三章练习题 1 已知R 1 2 3 2 R 2 3 4 3 证明 1 1能由 2 3线性表示 2 4不能由 1 2 3线性表示 证明 1 因为R 2 3 4 3 于是 1可由 2 3唯一的线 性表示 2 反证 若 4可由 1 2 3线性表示 则 4可由 2 3线 性表示 与R 2 3 4 3矛盾 2 a取什么值时下列向量组线性相关 1 a 1 1 T 2 1 a 1 T 3 1 1 a T 解 a11 1a 1 1 1a 01 a1 a2 01 a 1 a 1 1a 那么a 1或a 2 则三个向量线性相关 3 设 1 2线性无关 1 2 线性相关 求向量 用 1 2线性表示的表示式 解 因为 1 k 2 于是 1 k 1 1 k 1 k 2 4 举例说明下列各命题是错误的 1 若向量组 1 2 m是线性相关的 则 1可由 2 3 m 1 线性表示 解 例如 1 0 2 3为零向量 显然 1不能用其余向量线性 表示 2 若有不全为0的数 1 2 m 使得 1 1 2 2 m m 1 1 m m 0成立 则 1 m线性相关 1 2 m亦线性相关 解 取 1 1 0 0 T 2 0 1 0 T 1 1 0 0 T 2 0 1 0 1 2 1 2 0 但 1 2线性无关 且 1 2也线性无关 3 若只有当 1 m全为0时 等式 1 1 m m 1 1 m m 0才能成立 则 1 2 m线性无关 1 2 m 亦线性无关 解 取 1 1 0 0 T 2 1 0 0 T 3 0 0 0 T 1 0 1 1 T 2 0 0 1 T 3 0 0 1 T 4 若 1 2 m线性相关 1 2 m亦线性相关 则有 不全为0的数 1 m 使得 1 1 m m 0 1 1 m m 0同时成立 解 取 1 0 0 0 T 2 0 1 0 T 3 1 1 0 T 1 1 0 0 T 2 2 0 0 0 T 3 1 1 1 T 5 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大线性无关 组 并把其余列向量用最大线性无关组线性表示 1 25311743 759453132 759454134 25322048 解 25311743 759453132 759454134 25322048 1 2 3 4 25311743 0123 0135 0135 25311743 0123 0012 0000 100 8 5 010 1 0012 0000 于是最大线性无关向量组之一为 1 2 3 4 8 5 1 2 2 3 2 11221 0215 1 203 13 1104 1 解 11221 0215 1 203 13 1104 1 1 2 3 4 5 11221 0215 1 00203 00000 1104 1 0103 1 001 11 00000 10010 0103 1 001 11 00000 于是最大线性无关向量组之一为 1 2 3 4 1 3 2 3 5 3 2 3 6 设 1 2 n是一组n维向量 已知n维单位坐标向量 e1 e2 en能由它们线性表示 证明 1 2 n线性无关 证明 因为n R e1 en R 1 n n 于是R 1 n n 则 1 2 n线性无关 7 设向量组 1 2 m线性相关 且 1 0 证明 存在某 一个向量 k 2 k m 使得 k能由 1 2 k 1线性表示 证明 反证若 k都不能被 1 2 k 1线性表示 于是对 于k1 1 k2 2 km m 0 则km 0 若否 m可以被前面 m 1个向量线性表示以此类推k2 k3 km 1 km 0 由 于k1 k2 km不全为零 于是k1 0 那么 1 0与题设矛盾 因此命题成立 8 设向量组B 1 2 r能由向量组A 1 2 s线 性表示为 1 2 r 1 2 s K 其中K为s r矩阵 且A向量组线性无关 证明 向量组B 线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩为r 证明 因为向量组B线性无关 于是R 1 r r 注 意到r R B R K r那么R K r 4 若R K r 那么线性方程组KX 0只有零解 令 KX Y 注意到向量组A线性无关 于是线性方程组AY 0只 有零解 由于BX AY AKX 那么BX 0只有零解 于是 R B r 即向量组B线性无关 9 求下列齐次线性方程组的基础解系 1 x1 8x2 10 x3 2x4 0 2x1 4x2 5x3 x4 0 8x1 7x2 6x3 3x4 0 解 1 8102 245 1 876 3 100 20 83 010 17 83 001 5 83 20 17 5 83 T 2 2x1 3x2 2x3 x4 0 3x1 5x2 4x3 2x4 0 3x1 8x2 6x3 2x4 0 解 3 3 21 354 2 386 2 100 1 2 010 7 2 001 21 4 2 14 21 4 T 10 求下列非齐次线性方程组的一般解 1 2x1 7x2 3x3 x4 6 3x1 5x2 2x3 2x4 4 9x1 4x2 x3 7x4 2 解 27316 35224 94172 27416 1 2 11 2 1 24 113 22 1 2 11 2 0115 110 0 22 102 20 1 2 11 2 0115 110 00030 齐次方程的基础解系为 1 21 11 5 11 1 0 T 2 9 11 1 11 0 1 T 5 非齐次方程的一个解为 2 11 10 11 0 0 T 于是原方程组的通 解为 C1 1 C2 2 其中Cj j 1 2 为任意常数 2 x1 x2 x3 x4 x5 7 3x1 2x2 x3 x4 3x5 2 x2 2x3 2x4 6x5 23 5x1 4x2 3x3 3x4 x5 12 解 111117 3211 3 2 0122623 5433 112 111117 0122623 000000 000000 齐次方程的基础解系为 1 5 6 0 0 1 T 2 1 2 0 1 0 T 3 1 2 1 0 0 T 非齐次方程组的一个解为 16 23 0 0 0 T 于是原方程组的通解为 C1 1 C2 2 C3 3 其中Cj j 1 2 3 为任意常数 11 设n阶矩阵A满足 A2 A E为n阶单位矩阵 证 明 R A R A E n 证明 因为A A E 0 若A E 所证命题显然成立 若A E 则线性方程组AX 0有非零解 即矩阵A E的 列向量组是AX 0的解集 必然可以由其基础解系线性表示 那么 6 R A E n R A 即R A R A E n 又n R E R A E A R A R E A R A R A E 于是R A R A E n 12 设A为n阶矩阵 求A的伴随矩阵A 的秩R A 解 因为AA A E 若 A 0 则 A 0 所以R A R A n 若 A 0则R A n 1 当R A n 1时A的所有n 1 阶子式全为零 所以A 0故R A 0 当R A n 1时A至 少有一个n 1阶子式不为零 故A 0 则R A 1 而AA 0 即A a 1 a 2 a n 0这说明A 的列向量a j j 1 2 n 是方 程组AX 0的解 所以该列向量组可以被方程组AX 0的基础解 系线性表示 那么该向量组的秩R A 基础解系的秩 n R A n n 1 1 由以上分析得知R A 1 综上所述R A n A 0 0 R A n 1 1 R A n 1 13 设a a1 a2 a3 T b b1 b2 b3 T c c1 c2 c3 T 证明 三条直线 1 a1x b1y c1 0 2 a2x b2y c2 0 a3x b3y c3 0 a2 i b2 i 0 i 1 2 3 相交于一点的 充分必要条件是 向量组a b线性无关 且向量组a b c线性相关 7 证明 因为三条直线相交于一点 于是必有两条直线彼此 相交 不妨设 1 2相交 那么 a1 b1 a2 b2 于是向量a与向量b线性无关 注意到 齐次线性方程组xa yb 1c 0有非零解 x y 1 T 则向量 a b c线性相关 向量组a b线性无关 且向量组a b c线性相关 则向量 组 c可由向量组a b唯一的线性表示 即 xa yb c 0 中系数x y 1是唯一确定的 即三条直线 1 a1x b1y c1 0 2 a2x b2y c2 0 a3x b3y c3 0 相较于唯一点 14 1 2 m 1 0 i i 2 3 m 都不能由 1 2 i 1 线性表示 证明 1 2 m线性无关 证明 由k1 1 k2 2 km m 0 于是可以推证km km 1 k2 0 注意到 1 0 那么k1 0 由向量组线性无关 的定义 得 1 2 m线性无关 15 1 2 3线性无关 1 2 2 3 3 1线性无关 16 t1 t2 tr互不相等r n证明 i 1 ti t2 i t n 1 i Ti 1 2 r线性无关 证明 考虑k1 1 k2 2 k3 3 kr r 0代入 j的分量 8 得线性方程组 k1 k2 kr 0 t1k1 t2k2 trkr 0 t2 1k1 t 2 2k2 t 2 rkr 0 t3 1k1 t 3 2k2 t 3 rkr 0 tn 1 1 k1 tn 1 2 k2 tn 1 r kr 0 前r个方程由Gramer法则及Vandermonde行列式的性质得 k1 k2 kr 0 1 2 r线性无关 其中 i 1 ti t2 i t r 1 i T再由本节定理3知增加分量后该向量组依然线性 无关 于是命题得证 17 向量组 1 2 m m 2 m 0证明对任意k1 k2 km 1 1 k1 m 2 2 k2 m m 1 m 1 km 1 m线性无关 1 2 m线性无关 证明 因为向量组 1 2 m 1线性无关 若 1 2 m 线性相关 则存在不全为零的数l1 l2 lm 不妨设l1 0 使得l1 1 l2 2 lm m 0将 i i ki m i 9 1 2 m 1 代入该式得 l1 1 l2 2 lm 1 m 1 l1k1 l2k2 lm 1km 1 lm m 0 由于kj的任意性 取k1 l2k2 l3k3 lm 1km 1 lm l1 则有 l1 1 l2 2 lm 1 m 1 0 这与题设是矛盾的 由题设 1 2 m线性无关 考虑l1 1 l2 2 lm 1 m 1 0将 i i ki m i 1 2 m 1 代入该式得 l1 1 l2 2 lm 1 m 1 l1k1 l2k2 lm 1km 1 m 0 由 1 2 m线性无关 知 l1 l2 lm 1 0 l1k1 l2k2 lm 1km 1 0于是 得 1 2 m 1线性无关 18 设向量 可由向量组 1 2 m线性表示 证明线性表 示形式唯一的充分必要条件是 1 2 m线性无关 证明 因为存在唯一一组数k1 k2 km使得 k1 1 k2 2 km m 设 0 1 1 2 2 m m 那么 k1 1 1 k2 2 2 km m m 由于表示形式唯一所以 j 0 j 1 2 m 于是 1 2 m 10 线性无关 因为 1 2 m线性无关 向量组 1 2 m线 性相关 于是表示式是唯一的 19 设 1 2 m是某向量组A的部分向量 若A中任意 向量都可以被其线性表示 则该组向量线性无关 证明 不妨设向量组A的最大无关向量组为A0 且R A0 m 反证 若 1 2 m线性相关 则R 1 2 m m 注意到 1 2 m A 与A0等价 于是m R A0 R 1 2 m m矛盾 因此 1 2 m线性无关 20 设 1 2 m 是n维向量组 可由 1 2 m线 性表示 但不能由 1 2 m 1线性表示 证明 m可由 1 2 m 1 线性表示 证明因为 k1 1 k2 2 km m 那么km 0 若否则与 题设 不能由 1 2 m 1线性表示矛盾 那么 m 1 km k1 km 1 k2 km 2 km 1 km m 1 21 证明 若n阶方阵A的秩为r 则必有秩为n r的n阶矩 阵B 使得BA 0 证明 设R A r n 于是方程组ATX 0有非零解 其基 11 础解系为 1 2 n r 于是令BT 1 2 n