统计物理习题课.pdf

谢 鑫 粒子物理研究所 Chapter 6 Chapter 7 玻耳兹曼统计 7 1 7 4 7 9 7 10 7 13 7 16 7 17 7 19 7 20 7 23 Chapter 8 玻色统计和费米统计 8 1 8 2 8 3 8 4 8 5 8 7 8 8 8 15 8 18 2 2015 10 27 7 4 试证明 对于遵从玻耳兹曼分布的定域系统 熵函数可以表为 式中 是粒子处在量子态 的概率 1 对于满足经典极限条件的非 定域系统 熵的有何不同 解 玻耳兹曼统计下 处在能级为 量子态 上的平均粒子数 为 粒子处在量子态 上的概率为 1 1 3 2015 10 27 定域系统的熵为 1 1 利用 1 和 1 1 对于经典极限条件的非定域系统 1 1 1 1 4 2015 10 27 7 9 气体以恒定的速度沿z方向作整体运动 试证明 在平衡状态下分子 动量的最概然分布为 2 2 2 2 3 证明 气体满足经典极限条件 遵从玻耳兹曼分布 约束条件为 最概然分布是约束条件限制下 取极大值的分布 令 有 的变化 0 0 0 0 0 5 2015 10 27 在体积 内 动量 范围内分子数 为 2 2 2 2 3 2 2 2 02 3 Note that 2 2 2 0 2 2 2 2 2 0 0 2 2 0 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 0 6 2015 10 27 7 10 气体以恒定速率 0沿 方向做整体运动 求分子的平均平动能 解 利用7 9的结果 分子沿 方向的速度分布为 2 3 2 2 2 2 02 平均平动能为 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 02 2 3 2 1 2 2 2 2 2 02 2 2 2 2 02 2 2 2 2 02 利用积分公式 第一项对 求积得 2 1 2 1 2 2 2 2 7 2 2 4 0 2015 10 27 第二项对 求积 2 1 2 1 2 2 2 2 第三项对 求积 2 1 2 1 2 2 2 0 2 利用积分公式 第一项和第二项均为 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 平均平动能可简化为 2 1 2 1 2 2 2 0 2 8 2 0 I 0 2 1 2 1 1 2 2 2 4 3 2 2015 10 27 第三项中 2 1 2 1 2 0 2 2 0 2 2 0 2 0 2 0 2 2 0 2 2 1 2 1 2 2 2 3 2 2 0 2 2 0 2 2 1 2 1 2 0 2 所以 平均平动动能为 3 2 1 2 0 2 9 2 0 0 0 2 0 2 2015 10 27 7 13试证明 单位时间内碰到单位面积器壁上 速率介于 与 之间 的分子数为 2 3 2 2 2 3 证明 玻耳兹曼分布为 在体积 内 分子质心平动动量在 范围内的分子数为 3 1 2 2 2 2 上式求积后为 2 2 3 2 质心动量在 范围内 的分子数为 1 2 3 2 1 2 2 2 2 单位体积内 在 范围内的分子数为 2 3 2 2 2 2 2 10 2015 10 27 单位时间内沿 方向碰到单位面积器壁上 速度在 范围内的分 子数为 2 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 对 和 积分 2 0 2 0 1 2 2 单位时间内碰到单位面积器壁上 速率介于 与 之间的分子数 为 2 3 2 2 2 3 11 2015 10 27 7 17气柱的高度为 处在重力场中 试证明此气柱的内能和热容量为 0 1 0 2 1 2 1 证明 以单原子分子ideal gas为例 考虑平动能和势能 1 2 2 2 2 配分函数 1 1 3 2 2 2 2 1 3 2 3 2 0 1 3 2 3 2 5 2 1 内能 1 1 1 Z1 5 2 NkT NmgH e mgH 1 U0 NkT NmgH e mgH 1 12 2015 10 27 热容量 0 2 e mgH 1 2 1 2 13 2015 10 27 7 19对于双原子分子 常温下 远大于转动的能级间距 试求双原子分子 理想气体的转动熵 解 玻耳兹曼分布适用时 If 任意2个能级的能量差 远小于热运动能量 then variable 就可以看作准连续的variable The results of the internal energy and the heat capacity are the same under the quantum statistics and the classical statistics 双原子分子转动能量的经典表达式为 1 2 2 2 2 2 转动配分函数 1 2 2 1 sin2 2 0 2 1 0 2 2 0 0 2 2 2 2 2 1 0 2 2 0 0 2 8 2 0 2 2 2 转动熵 1 1 2 2 1 1 1 1 Where 2 2 转动特征温度 2 分子绕质心的转动惯量 14 2015 10 27 量子效应可 以忽略 计算双原子分子转动配分函数的另一中办法 对于异核双原子分子 转 动能级为 1 2 2 0 1 2 转动配分函数为 1 2 1 1 2 2 0 引入特征温度 2 2 1 2 1 0 1 常温下 1 1 可以看作准连续变量 1 0 2 2 2015 10 27 15 这里 正是量子 过度到经典的条 件 近似 7 23气体分子具有固有的电偶极矩 0 在电场 下转动能量的经典表达 式为 1 2 2 1 sin2 2 0 证明在经典近似下转动配分函数 1 为 1 2 0 0 0 Proof The rotational partition function of diatomic molecule 1 1 3 1 2 0 2 0 2 2 1 sin2 2 0 1 2 0 2 0 2 1 2 2 1 2 0 4 2 2 2 0 0 4 2 2 2 0 0 0 2 0 0 0 16 0 1 1 0 1 1 0 2015 10 27 8 1试证明 对于理想玻色或费米系统 玻耳兹曼关系成立 即 Proof 首先考虑玻色系统 把 看作已知参量 系统的平均总粒子数 为 1 巨配分函数 1 取对数 1 平均总粒子数 内能 广义力 1 利用 的全微分d d d dy替换掉 17 2015 10 27 d d d d d d d 对于开系 有积分因子1 使 1 18 2015 10 27 In chapter 6 for Bose Einstein system we have derived that 1 1 From the distribution function of B E system 1 it s obvious that 1 Then 1 1 1 1 B E 19 2015 10 27 For F D system it s similar to calculate the entropy in the same way 1 The grand partition function 1 1 In chapter 6 for F D system 20 F D 2015 10 27 8 2试证明 理想玻色和费米系统的熵可分别表为 1 1 1 1 其中 为量子态 上的平均粒子数 并证明当 1时 有 Proof 21 1 1 1 1 1 2015 10 27 Note that Hence 1 1 On the other hand 1 1 1 F D 1 1 1 1 1 22 1 2 2 3 3 4 4 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2015 10 27 8 3求弱简并理想费米 玻色 气体的压强和熵 解 弱简并理想费米 玻色 气体的内能为 3 2 1 1 4 2 1 2 2 3 2 对于理想气体 2 3 弱简并理想F D B E 气体的压强 1 1 25 2 2 2 3 2 热容量 3 2 1 1 8 2 1 2 2 3 2 利用 0 有 3 2 2 3 1 8 2 1 2 2 3 2 0 23 2015 10 27 而理想气体的熵为 3 2 3 2 5 3 2 2 当 3 2 2 3 2 1时 对比 3 2 2 3 1 8 2 1 2 2 3 2 0 并加上简并度因子 得到 0 5 2 2 2 3 2 于是弱简并理想费米 玻色 气体的熵为 2 2 3 2 5 2 1 27 2 1 2 2 3 2 24 2015 10 27 8 4试证明 在热力学极限下均匀的二维理想玻色气体不会发生玻色凝聚 证明 二维自由粒子的微观状态数为 2 2 2 假设二维理想玻色气体可以发生玻色凝聚 则 2 2 1 0 令 则 2 2 1 0 而 1 1 1 1 1 2 使得 1 0 1 1 2 1 3 1 1 发散 所以假设不成立 25 2015 10 27 8 5题目 证明 原子是玻色子 遵从玻色分布 温度为 时 处在量子态 上的粒子数为 1 1 1 2 1 2 1 2 1 其中 1 2 1 2 1 2 为3 D谐振 子的能量 为整数 取 0 基态能量为 0 2 化学势 由 1 1 1 0 1 确定 0 由 1 1 1 1 确定 26 2015 10 27 记 则 1 1 1 在 范围内 粒子的量子态数为 1 3 1 1 其中 1 3 1 1 1 0 1 其中 27 求和代替积分 2015 10 27 1 1 0 0 0 1 1 3 1 1 202 于是临界温度 由 1 202 3 确定 当 时 基态的粒子数为 0 1 202 3 温度为 时 凝聚在基态的原子数 0与总原子数 之比为 0 1 3 28 参见 appendix C 2015 10 27 8 7计算温度为 时 在体积 内光子气体的平均总光子数 并据此估算 温度为1000 的平衡辐射光子的数密度 温度为3 的宇宙背景辐射中光子的数密度 解 体积 内 动量范围内的光子的量子态数为 8 3 2 利用德布罗意关系 体积 内 圆频率范围内的光子的量子态数为 2 3 2 在体积内 平均总光子数为 2 3 2 1 令 对上式积分有 2 3 3 2 1 0 2 404 1 2 3 29 2015 10 27 8 8 根据普朗克公式证明平衡辐射内能密度按波长的分布为 8 5 1 并证明 使辐射内能密度取极大值的波长 满足方程 5 5 这个方程的数值解为x 4 9651 因此 4 9651 随温度增加向短波方向移动 解 体积V 范围内平衡辐射内能 2 3 3 1 由 2 有 2 2 平衡辐射波长 范围 内能密度为 8 5 1 30 2015 10 27 使辐射内能密度 取极大值的波长为 则 5 1 0 即 5 6 1 5 2 0 化简得 5 1 0 令 则 即 5 5 x 4 9651 见MATLAB Program 所以 满足 4 9651 随温度的增加向短波方向移动 31 2015 10 27 MATLAB Program clear x0 1 xx xx x0 while 1 无限循环 x 5 1 exp x0 x log 1 1 x0 5 xx xx x if length xx 1000 return end 如果项数太多则退出程序的执行 if abs x0 x 其中 是0 K时电子的最大速率 即费米速率 单位体积速率在 范围的电子数为 2 3 3 2 沿着 轴方向单位时间单位面积碰撞数为 2 3 3 2 2 2 2 3 2 0 3 0 2 3 2 3 1 2 1 4 4 2 3 3 4 34 z axis 2015 10 27 单位体积内的电子数 为 2 3 3 2 2 0 0 0 2 3 3 1 3 3 2 2 8 3 3 3 3 0K时 动量分布为 1 0 为费米动量 平均动量 8 3 3 0 8 3 2 0 3 4 平均速率 3 4 于是 n 4 3 4 1 4 35 2015 10 27 8 18 试求在极端相对论条件下自由电子气体在0 时的费米能量 内能 和简并压 解 体积V 动量范围内 微观状态数为 4 3 2 极端相对论条件下 在体积 内 的能量范围