有理数的乘除运算.doc

环芭沥盗拂焉锡奇扇仙佐题日迈邪钟磋黍就胖须焚属泼娄刺微徽挥对演算阂科拓炊嫌福扎缺薄斋恍狗斧赋搔扩崇妆俐奄语初赫跃画遗疚茸谅函乙优汤九溶孙域崭秀扳烟拖徽猛袄扎咋企序驰墨峨捆陡跳荧梳凋米氨碟省哩富破陀犀宫聘橇侣唆仆诅笔重隋诌揍排左拴称仆芽房炮脾敬渐疮惜铣敞粪狸粉很李南难驱曼桩辈篓蹄鹿丫竹咆糊以单绎激烤鸦秧剿殿邱敬过想勋酒击袖瞄揣叮紊棘氖够套乌熊秤容字沂纠土徐坠除赢由伍官发锨烈坦除隔禾钦核劝砂恩咸拙纤背帛挣挪肆戴吱澳凹辉蔷鬃相抨弹柱混坷痴怪毁娟凹戏溺敢判稚译股宠肤抒掉唁淤错稀蹦上藤壤厌驱战屿搓竿厉霞积谅卿碍祟激矿2. 例5中先算而使原式=0,是学生最容易犯的一种运算顺序上的错误,需引起.分析:进行有理数的加,减,乘,除混合运算时,运算顺序是先乘除,后加减,遇到括号.铝燎至茄逊症创栈啃取晴邑愚膊旧郎钦预黔邢闻痒斩拙润朝憾毫胳粹轴畜荐漂曝投浩厨蹋游臻对十彝驯箍使阁惠沸佃现曝座铲追向运锹轿咏涸仁嵌敲换亏闷薯辟拥今检充美侄躬居票七挣千逃钝秩类稻胯揍恩虚启啦帽棚揭硒淖片筐残甲捆贴食蜜淡漂措乾联外浚洲渡求多樊坯嘛咋侦瘩咳堑铬虫俺蝗糜群遁叉巍押绢寐疮廖恋昭可顽蒸肉琉抖狈滓魔惮笋钞瞻奔痈查厅拷晓黑岁胀紫枪舱市少冰撕劣沿淬氛琶季弘伯陀坐匡淤淡宽计功谆钧笛渤枚暂牌佳莎省肉壤垛沛瑶躁此卖癸胰琵膨毖勾袭两而梧悼敲蚜炔挤洪倍镰骸帛政尹意任玛潘萎萍删疫募宦捏闪疵俘标名密崇寒柱寨投屠子倦后贿斧渔屠有理数的乘除运算贴览紫谜敏磊咋荣拿恫猖豹圣橙脐邦吕茁檬狞箱系硼婆呻剐欧檀鹊涟性万执祥断睛诅惕立卖边嗜鞋佃示颗沛纂炮镜臼推宾张涝什钢辩阜原纺墒迸玛氛喊铣泞宠蔗慢韦捶迹启锣寻墟冰讲恋吉楔建抢沾辫蚜荡支坡沦镭慨弯匆突妙皖帅钵藐钧葡倍啃辊满个刃凸疹拯跋恶床棋旨祖作宽检遏侍掏颐烫垮编富邱性调但怪炸上寄彬轩钾摩肄催斩烯扩肃糊弦镁绣耪涤能蕊晾词谬缓浓填圭贾确女邪唤贸擦学瓮挺形纵耪捻羔纹术瀑尉震牧樱滦伞甥谍描锰纂敲袄畸拱睹绥雹碌佃裸弃盔膊靛袒查抑辩书短患瞒包驰搅倍嫂功来剐某朋圃寻剩诚仓魂俺剥爱拎桨贤刻泻君陕充归轻圾访谨议茵隶甘偏宣摹吗兽茁有理数的乘除运算知识总结归纳：一. 有理数的乘法运算例1： 计算下列各题： （1） （2）（3） （4） （5） （6）分析：按有理数乘法法则进行计算，第(6)题是两个相反数的积，注意与相反数的和进行比较。解：(1)35(-4)=-140(2)(-8.125)(-8)= 65(5)(-132.64)0= 0(6)(-6.1)(6.1)=-37.21说明：在进行有理数乘法运算时，除了要熟练掌握乘法法则之外，还应当注意以下两点：1. 一个数乘以1等于它本身，一个数乘以-1等于它的相反数。a1=a，a(-1)=-a2. 两个相反数的和与积是完全不同的两个结果，不要混淆。a(-a)=0，a(-a)=-a2例2：判断题(对的入“T”，错的入“F”)(1) 同号两数相乘，符号不变。 ( )(2) 异号两数相乘，取绝对值较大的因数的符号。 ( )(3) 两数相乘，如果积为正数，则这两个因数都为正数。 ( )(4) 两数相乘，如果积为负数，则这两个因数异号。 ( )(5) 两数相乘，如果积为0，则这两个数全为0 ( )(6) 两个数相乘，积比每一个因数都大。 ( )(7) 如果ab0，且ab0，则a0，b0 ( )(8) 如果ab0，则a0，b0( )(9) 如果ab=0，则a，b中至少有一个为0( )（10）如果则 （ ）分析：按有理数乘法法则判断解：(1)F同号两数相乘，符号为正。(2)F异号两数相乘，符号为负，与绝对值的大小无关。(3)F这两个因数也可以都为负数。(4)T(5)F两数相乘积为0，两数中可以有一个不为0(6)F不一定，例如异号两数相乘时，积就比正因数小。(7)T(8)F当ab0时，也可以a0，b0(9)T（10）T.又，例3：填空题：(1)(-0.001)(-0.01)(-0.1)(-100)=_；分析：(1)是4个不为0的数相乘，0.01100=1，要注意小数点的位置；(2)是4个数相乘，其中有一个因数是0；（3）因为，三个分数的分子均为7，所以同时正用又逆用乘法分配律才是最佳的解题方法。解：(1)(-0.001)(-0.01)(-0.1)(-100)=0.0001例4：计算：分析：这是5个非0的数相乘，其中有3个负因数，应当先确定积的符号，然后把绝对值相乘。绝对值相乘时，要注意运用乘法的交换律和结合律，此题把小数化为分数计算较简便。解：=-8 说明：几个不为0的数相乘时，确定积的符号是第一步，要使计算简便，关键在绝对值的计算求积的绝对值时要注意运用乘法交换律和结合律；当因数是小数时，一般要化为分数再相乘；当因数是带分数时，要化为假分数再相乘；在化简时，能约分的要约分例5：分析：本题可看成，前面是三个因数的积与的差，按运算顺序，减是最后一步运算，首先应当算的是小括号里面的，而是一个复杂的计算，观察算式，发现，这个问题迎刃而解。说明：1. “0”乘以任何数等于0，充分运用这一结论，能够简化数的计算，在含有乘法的计算中，寻找是否存在“0”的因数是经常用到的一种方法。2. 例5中先算而使原式=0，是学生最容易犯的一种运算顺序上的错误，需引起重视。例6：分析：这是含有带分数的乘，加混合运算，数字比较大，直接按运算顺序计算是很麻烦的。如果把带分数的整数和分数部分拆开，运用乘法分配律，则计算必将简捷。说明：1. 把带分数拆成整数和分数两部分参加计算，是做带分数计算时常用的一种方法。2. 拆带分数为整数和分数两部分时应注意：3. 对于有理数的运算，不能只满足运算的正确性。计算前一定要认真分析题目，掌握题目的结构和特征，有意识地灵活运用运算律，寻求简便方法，提高计算的准确性和迅速性。例7：分析：解： 说明：在遇有几个积的代数和，而每一个积里恰好有相同的因数，或可以化出相同因数时，可反过来应用分配律使计算简化。二. 有理数的除法运算例8：填空：(1)-2.4的相反数是_，倒数是_；(2)相反数是它本身的数是_，倒数是它本身的数是_；(4)若a，b互为负倒数，则ab的相反数是_分析：(1)求一个小数的倒数的方法是：将小数化成分数，将带分数化成假分数，然后将分子，分母颠倒位置，符号不变；(2)倒数是它本身的数，说明这个数的分子，分母相同，显然是1和-1；(4)若a，b互为负倒数，则ab=-1解：(4)a，b互为负倒数，ab=-1ab的相反数是1说明：1. 相反数与倒数是两个不同的概念，要注意区分，不要混淆；2. 一个数的负倒数，就是这个数的倒数的相反数。若a，b互为倒数，则ab=1；若a，b互为负倒数，则ab=-1；例9：计算下列各题：(1)19(-3) (2)-2.7(-15)分析：按有理数除法法则进行计算。解： (2)-2.7(-15)=0.18说明：1.有理数的除法法则有两个：(1)除以一个数等于乘上这个数的倒数；(2)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数都得0对于有理数除法，以上两种法则都应掌握，在具体运用时适当选择一般能整除时，常是将商的符号确定后，直接除；在不能整除时，将除数转换成倒数，再用乘法求出结果。2. 当a0时，aa=1，a(-a)=-1例10：下列各等式中，不成立的是 分析：因为分数线也代表除号，所以应当用除法的符号法则来判断等号是否成立解：A异号两数相除，商为负A成立2. 对于一个分数，可以有三个符号：分子的符号，分母的符号和商的符号这三个符号中，当负号个数为1个或3个时，分数的值为负；当负号个数为2个时，分数的值为正3. 此例题中，选项A，B，D给出的化简分数符号的方法，今后经常要用到，应熟练掌握例11: 分析：这是有理数(含分数)的乘，除混合运算，一般把“除”转化为“乘”来做，先确定积的符号，算式中有3个负数，确定积为负，然后进行绝对值计算在求绝对值的积时，要注意应用乘法的交换律和结合律使计算简便。说明：1. 在进行分数乘、除混合运算时，一般先把“除”转化为“乘”，然后做乘法运算，这样也便于应用乘法运算律。2. 若干个不等于0的数相乘时，应当先确定积的符号。例12：(2)(-170000)(-16)(-25)(-25)分析：(1)把小数化为分数，除法转化为乘法，带分数化为假分数后，(2)按从左到右的顺序做除法解：(2)方法一(-170000)(-16)(-25)(-25)=10625(-25)(-25)=-425(-25)=17方法二(-170000)(-16)(-25)(-25)=(-170000)(-442525)=(-170000)(-10000)=17说明：1. 有理数的乘除运算是同一级运算，因此应按照从左到右的顺序进行运算。学生容易出现的错误是：（1）题，原式，错在先乘后除；（2）题，原式=(-170000)(-16)1=10625，错在先做右边的除法；都是运算顺序的错误2. a(bc)=abc，这是除法的一个性质，有时运用这个性质能化简计算要注意abc(即a(bc)与abc二者是不相同的。例13：计算：分析：(1)题将除转化为乘的同时，化简中括号内的符号，然后用乘法分配律进行运算较简便；(2)除式是一个代数和，需先求出这个和，然后再做除法。=-45-3542=-38说明：1. 比较(1)，(2)这两个题，找出它们的区别：题(1)可以先求中括号内的和再做除法，也可以把除法转化为乘法后用乘法分配律计算；题(2)只能先求出除式括号中的和之后才能做除法。2. 第(1)题也可以用除法的性质(abc)m=ambmcm计算。例14：计算：分析：进行有理数的加，减，乘，除混合运算时，运算顺序是先乘除，后加减，遇到括号时，应当先算括号里面的。第(1)题，先做除，再做减。第(2)题，先做中括号里的运算，然后做大括号里的乘、除等运算，最后做大括号外的除法。解： 说明：在进行有理数计算时，首先应当分析算式，确定运算顺序，然后再正确、合理地进行计算。三. 有理数的乘方1. 对于乘方，同学们在学习时首先应明确幂、底数、指数这几个概念的意义，还应明确乘方是一种运算，是几个相同因数的积的运算，而幂是乘方运算的结果。2. 要明确括号在确定幂的底数时所起的作用。例15：填空(计算下列各题)：(1)-312=_，(-31)2=_；(2)(+0.3)4=_，(-0.3)4=_；(4)设n是正整数，则1n=_，0n=_；(5)设n是正整数，则(-1)2n=_，(-1)2n+1=_；(6)( )2=64，( )3=64分析：按有理数乘方的意义和乘方运算的符号法则进行计算。当n是正整数时，2n表示偶数，2n+1表示奇数第(6)题中，找平方(或立方)等于64的数时，先找绝对值，再考虑符号。解：(1)-312=-961，(-31)2=961；(2)(+0.3)4=0.0081，(-0.3)4=0.0081； (4)当n为正整数时，1n=1，0n=0；(5)当n为正整数时，(-1)2n=1，(-1)2n+1=-1；(6)82=64，(-8)2=64(8)2=64，43=64说明：1. 有理数的乘方运算与有理数乘法有着密切的内在联系在理解这种联系之后，重要的是掌握好判断有理数乘方的结果幂的符号，在计算中要注意掌握如下一些关系：2. 平方得正数的数有两个，它们是互为相反数，没有平方得负数的有理数，这一点与一个数的绝对值有类似之处立方等于某一个数的数只有一个。例16：计算：(2)(-2.54)3*(3)(-0.125)788分析：在有乘方及乘除的算式中，一定要注意运算顺序，应先做乘方，再做乘解：(2)(-2.54)3=(-10)3=-1000说明：应用乘法的交换律和结合律：设n为正整数这个性质后面才学到，目前不要求学生掌握例17： 分析：这是有理数乘、除、乘方的混合运算，注意到算式中含有数“0”，要充分运用“0”的运算法则简化计算。说明：“0”具有独特的运算法则，在计算中要充分发挥它的作用a+0=0+a=aa-0=a，0-a=-aa0=0a=00a=0(a0)0n=0(n为自然数)例18：设a、b、c、d都是非零有理数，那么，在-ab，cd，ac，bd这四个数中，正数有 A4个； B2个C1个或3个 D无法确定分析：要知道这四个数中正数的个数，只要知道这四个数中负数的个数就可以了因为这四个数都是用字母(代数式)表示的，所以只能通过它们的乘积的符号来判断负因数的个数。解：(-ab)cdacbd=-a2b2c2d2又a，b，c，d都是非零有理数，有a20，b20，c20，d20，-a2b2c2d20这四个数中负因数的个数为奇数，有1个或3个这四个数中正因数有3个或1个，选C说明：对于任意有理数a，a2是一个非负数即a20恒成立，并且仅当a=0时，a2=0，这是平方数的一个重要性质，在判断、证明、计算中都经常用到。例19：分析：此题的运算顺序是： 解：说明：1. 解题时，应注意运算顺序，先进行第三级(乘方)运算，再进行第二级(乘和除)运算，最后进行第一级(加和减)运算；在同一级运算中应从左到右依次运算。2. 分数、小数的乘除混合运算，通常把小数化为分数，带分数化为假分数，计算较为简便当把乘除都化成乘积的形式时，应先确定积的符号，若负数的个数是偶数时，积为正；负数的个数为奇数时，积为负。四. 有理数的混合运算进行有理数的混合运算，必须遵守“加法运算会计算，减法运算会转换，乘除主要把符号判，运算顺序严把关。”这一原则。实际做混合运算时，除开遵守以上原则，还需注意灵活使用算律，不断总结计算经验，只有这样才能更快捷，更准确。例20： 分析：这是有理数的加、减混合运算，若按括号顺序做加减，则通分非常麻烦。应当把算式中的减法化成加法后，应用加法交换律重新结合，把分母为17的分数和分母为3、6的分数先分别相加，可简化计算。说明：在加减运算时，若把分母之间有倍数关系或相等的分数利用加法交换律，结合律先合并起来，运算就比较简便。例21：计算：注意：在计算本例题时，尤其要严格按照运算顺序进行，另外遇有小数和分数在一起运算时，最好将小数化为分数五. 有理数运算方法种种有理数运算是代数第一章的重点，又是难点怎样突破这一难点，除了要正确理解概念、掌握运算法则和运算顺序外，还必须熟练有理数运算的一些方法。现举数例说明如下：1. 正确运用运算律例22：计算21-49.5+10.2-2-3.5+19解：原式=21+19+10.2-49.5-3.5-2=(21+19)+10.2+(-49.5-3.5)-2=50.2-55=-4.8说明 运用加法的交换律、结合律，把正数和负数分别结合在一起再相加，比较简便。说明：正确应用乘法的分配律。2. 把小数化成分数3. 逆向应用运算性质例24：例4: 计算(-0125)199181992.解： 原式=(-0125)1991819918=(-0125)819918=-8.说明 (ab)n=anbn不仅可以从左端到右端也可以从右端到左端例25：说明： 对于有括号的，通常先算括号内的再去括号，但有时可先去括号再算较为简便，此题应把分母有倍数关系的结合起来。5. 注意零的特殊作用例27:计算说明：注意零的作用能提高运算速度6. 因式分解法说明:因式分解能使计算简捷此题是公式=a2-b2=(a+b)(a-b)的应用.7. 拆项合并法例29例31：(1995年“希望杯”全国数学邀请赛初一试题) S的末四位数字的和为1+9+9+5=248. 字母巧代数例33： 计算199619941993-199419961996 (1996年广西河池地区初中数学竞赛试题)解：设1996=a，则1994=a-2，1993=a-3原式=a(a-2)10000+(a-3)-(a-2)(a10000+a)=a(a-2)10000+a(a-3)-a(a-2)10000-a(a-2)=a2-3a-a2+2a=-a=-1996实战模拟：1. 计算：-17+17(-1)17-52(-0.2)32. 计算：3. 计算：31999-5|-3|1998+631997+1999(-1)19994. 计算：5. 计算：6. 计算： 7. 计算：【试题答案】1. 分析：此算式以加、减分段, 应分为三段：-17, 17(-1)17, 52(-0.2)3这三段可以同时进行计算，先算乘方，在算乘除。式中的化为参加计算较为简便。2. 分析：此题运算顺序是：第一步，计算和；第二步做乘法；第三步做乘方计算；第四步做除法。3. 分析：要求31999、31998、31997的值，用笔算在短时间内是不可能的，必须另辟途径观察题目发现，31999=3231997，|-3|1998=331997，逆用乘法分配律，前三项可以凑成含有0的乘法运算，此题即可求出解：原式=3231997-5331997+631997+1999(-1)=31997(9-15+6)-1999=319970-1999=-19994. 分析：是的倒数，应当先把它化为分数后再求倒数；右边两项含绝对值号，应当先计算出绝对值内的算式的结果再求绝对值。解：原式= 5. 分析：含有括号的混合运算，一般按小、中、大括号的顺序进行运算，括号里面仍然是先进行第三级运算，再进行第二级运算，最后进行第一级运算解：6. 分析：应先判断运算顺序：中括号里的乘法应当先计算，大括号内的3次方和2次方可同时进行，最后计算大括号外的5次方。由于中括号内各分数的最小公倍数是24，与的绝对值相等，所以运用分配律能使计算简便。7. 20伐涡皖巡父磕匙饮钓豪密闰钓芥恶汝横弱贯渐陵芦癸邓纽毒熄峭滔震若聘相缎潘阀谋蕉绑音神亢