“探索已知圆的相切圆”活动设计.doc

“探索已知圆的相切圆”活动设计泰州市许庄初中 孙剑活动目的：1 通过操作、猜想、思考对寻找一个圆与已知圆相切的活动有一定的认识，能按照一定的思维方式解决类似的问题。2 感受数学中的分类、转化和类比思想，能够运用轨迹（或构成三角形的条件）的知识去探求点的存在性问题。3 经历由特殊到一般的探索过程，学会运用已有知识去探究未知问题的实质，体会变化中的不变性。活动时间：60分钟左右活动方式：自主探索与小组合作讨论相结合预备知识：两圆相切、简单的轨迹（或构成三角形的条件）、相关的作图主要过程：活动一、探究一个圆与已知圆相切的情况：问题1：若R1，试确定一个圆O2与O1相切。分析：相切分两种情况：外切与内切。找到O2的关键是确定圆心O2的位置问题2：若O2的半径满足0R21、R21、R21，你怎么确定圆心O2的位置？ （若外切，点O2到O1的距离为1R2，这样的点在以O1为圆心，1R2为半径的圆上，共有无数个，故可画无数个圆。如图1；若内切，点O2到O1的距离为1-R2，这样的点在以O1为圆心，1-R2为半径的圆上，也有无数个，故也可画无数个圆。如图2。只有外切一种情况，可画无数个圆。也分内切、外切两种情况，故可画无数个圆） 图1 图2问题3：这无数个圆有何共同特征？你能说明理由吗？（这无数个圆都是等圆，由图1图2可知他们的圆心都在同一个圆上）活动二、探究一个圆与相切两圆均相切的情况：探究1：两圆为等圆，两圆只可能外切。分析：第三个圆O3与O1，O2相外切，有四种情况：a.与O1，O2均外切 b.与O1外切，O2内切 c.与O1内切，O2外切 d.与O1，O2均内切。问题4：以R1R21为例，你能分别确定四种情况下圆心的位置吗？a与O1，O2均外切分析：确定O3的关键是确定圆心O3。O3 O11R3 .O2 O31R3，由活动一可知点O3在以O1为圆心，1R3为半径的圆上；也在以O2为圆心，1R3为半径的圆上。学生操作，通过作图，发现交点。如图3所示：虚线的交点即为圆心O3的位置。（理由还可以这样说：无论R3取何值，此时两边之和大于第三边，所以O1 O2 O3必然存在，所以O3必然存在）图3b与O1外切，O2内切分析：此时O1O31R3 、 O2 O31R3|、O1O22，点O3必在以O1为圆心，1R3为半径的圆上；也在以O2为圆心，1R3|为半径的圆上。若R31,则O1O3O2 O3O1O2，若R31,则O2 O3O1O2 O1O3，这样的交点只有一个。所以，若R31，必然存在一个O与O1外切、与O2内切若R3，此圆不存在c与O1内切，O2外切分析：此时O1O31R3、O2 O31R3、O1O22，点O3必在以O1为圆心，1R3|为半径的圆上；也在以O2为圆心，1R3为半径的圆上。只要R31，这样的点必然存在一个。所以，若R31，必然存在一个O与O1外切、与O2内切若R3，此圆不存在d与O1，O2均内切分析：通过画图，我们发现O只能是大圆。故O1O3R31O2 O3R31O1O22所以若R3这样的圆均不存在 R3这样的圆有一个，即图中红色的圆若R3这样的圆有两个，圆心O3在以O1为圆心，R31为半径的圆上；也在以O2为圆心，R31为半径的圆上，如图4所示：虚线的交点即为圆心O3的位置。（图中蓝色的圆，只画了一个）图4问题5：通过上面的操作探索，你发现了什么?符合条件的圆的个数与已知圆的半径有什么样的关系？（学生讨论，归纳总结）若O1，O2为等圆，半径均为R的话，要画一个O与O1，O2均相切。当0R3R或RR32R 能画4个当 R3R 能画2个当 R3R 能画5个当 R3R 能画6个探究2：若两圆不是等圆，则分两圆原本外切，原本内切两种情况。A 两圆原本外切问题6：若R13 ， R21， 你能找到一个O与O1，O2均相切吗？（分四种情况，一一画图求解）a. 若O与O1，O2均外切 此时O1O3R3 O2 O3R1 O1O24这样的O必然有两个b. 与O1外切，O2内切 此时O1O3R3 O2 O3R1 O1O24若R1 均存在一个，若R不存在c. 与O1内切，O2外切 此时O1O3R3 O2 O3R3 O1O24若R3 均存在一个，若R2不存在d. 与O1，O2均内切 此时O必为大圆，O1O3R3 O2 O3R1 O1O24若0R4不存在 ，若R4 只有一个，若R4有两个学生讨论、交流，总结归纳。若 RR1 能画3个若RR2 能画3个若0RR1R2 且RR1，RR2 能画4个若RR1R2 能画5个若RR1R2 能画6个B 两圆原本内切问题7：若R1， R21，试画一个O与O1，O2均相切。a. 与O1，O2均外切，此时O1O3R3 O2 O3R1 O1O22这样的圆必存在一个b. 与O1外切，O2内切，此时O1O3R3 O2 O3R1 O1O22O1O3O2 O3O1O2故这样的圆不存在 c. 与O1内切，O2外切，此时O1O3R3 O2 O31R O1O22若R2 O1O33R O2 O31R O1O22 ，这样的圆有2个若R2 这样的圆只能画一个若2R3 这样的圆不存在若R3 O1O3R3 O2 O3R1 O1O22，O2 O3O1O3O1O2这样的圆不存在d. 与O1，O2均内切，此时O1O3R3 O2 O3R1 O1O22若R1， R3 存在一个若R1， R3 不存在学生讨论、交流，总结归纳。若已知两圆R12R20RR1R2 且RR2 能画4个若 RR2 能画3个若RR1R2 能画3个若RR1R2且RR1 能画2个若RR2 能画1个若已知两圆R12R2若0RR2（即R1R2） 能画4个若 RR2 （即R1R2） 能画2个若RR2 （即R1R2） 能画2个若已知两圆R12R2若0RR1R2 能画4个若RR1R2 能画3个若RR1R2且RR2 能画2个若RR2 能画1个活动三：探究一个圆与相切三圆均相切的情况：问题8：如果三个半径均为1的圆两两相切，是否存在第四个圆与另外三个圆均相切？若存在，找到圆的位置并求出圆的半径，若不存在，试说明理由。分析：三个圆是等圆，那么这三个圆必然是互相外切，此时再画第四个圆显然要么与三个圆均外切，要么与三个圆均内切。那么此时O4到O1、O2 、O3的距离均相等。这样的点只有一个）如图5所示，圆心只有一个，圆能画两个。大圆的半径为，小圆的半径为图5问题9：若其中两圆的半径为1，另一圆的半径为3，情形又如何？（提示：要讨论原先三个圆的相切关系有图6三种情况） （1） （2） （3）图6对于图6-1来讲，必然存在一个圆与三个圆均内切，也存在一个圆与三个圆均外切。6-2有无数个符合条件，6-3有一个。以图6-1为例：若存在这样的圆与O1、O2、O3均相外切，设O4圆心为O4，则O4必然在O1O2的中垂线上，如图7所示，设O4的半径为R4，在直角三角形O1O4A中，O1O4=1+ R4，O1A=1，O4A= O3A 3- R4=，由勾股定理可知R4是存在的。 图7其他情况与之类似，在此就不一一展开了。问题10：若其中三圆的半径分别为1、2、 3，情形又如何？（提示：要讨论原先三个圆的相切关系有5种情况，可以让有兴趣的同学自己试试看）教学反思：本节活动课是在教材P150页四圆趣题的基础上引申而来的一堂活动课，活动课的目的在于培养学生的活动意识，增加学生的活动经验，在掌握基础知识基本技能的前提下，体会活动带来的乐趣，享受成功带来的喜悦。在教学过程中，我运用了几何画板这样一个软件，以期达到一种强烈的视觉效果，课