若干数学观点中的数学文化.pdf

120 十一 十一 第四章 若干数学观点中的数学文化 第四章 若干数学观点中的数学文化 第一节 对称 的观点 在日常生活中 我们会看到各种各样的 对称 下面 我们把 这些关于 对称 的感性认识 上升为理性认识 也就是说 我们要 考虑如何把它们当中共同的本质抽象出来 用数学语言理性地描述 对称 那么 什么是对称的共性 什么是对称的本质 这需要对 对称 进行分析 下面我们先对 平面图形的对称 进行分析 再对 n元 多项式的对称 进行分析 继而把它们综合起来 得到关于 对称 的统一的本质 一 平面图形的对称 1 在运动中看 对称 人们一般会说 大圆与小圆有相同的对称性 大正方形与小正 方形有相同的对称性 也会说 圆比正方形更对称些 正六边形比 正三角形更对称些 正三角形比等腰三角形更对称些 等腰三角形 比一般三角形更对称些 121 1 K 2 K 3 K 4 K 5 K 6 K 如果再向 正三角形与正方形谁更对称一些 该怎么回答 这就需要把 平面图形的对称 这个直观概念搞得更确切一些 许多人可能知道 平面图形的对称分三类 轴对称 中心对称 n次中心对称 其实 这里还忽略了一类 平移对称 即一个 平面图形 沿着一个方向 每间隔长度a重复一次得到的新图形 这 样构成的新的平面图形也具有某种对称性 称之为 平移对称 例 如很多 带饰 就是具有 平移对称 的 下图就是一个 带饰 它可以作为腰带的装饰 122 关于 对称 我们希望从原来静止的观点 发展为运动的观点 让静的平面图形动起来 在运动中看对称 用运动的观点去考察事物 研究事物 能够更好地把握事物的本质 是常用的方法 平移对称 用运动的观点也可以叙述成 如果一个平面图形 沿着一个方向移动长度a后与原图形重合 这样的图形叫作是 平移 对称 的 实际上 我们可以把平面图形的对称中用到的运动分为三类 分 别称为 反射 关于一直线的反射 旋转 绕一定点旋转 角 平 移 沿一固定方向平移长度a 2 从不变性看 对称 平面中的对称图形 都是在反射 旋转或平移下 又回到自身 的图形 回到自身 就是 不变 这启发我们从不变性看 对称 它们有一个共同的特点是 都保持平面上任意两点间的距离不变 所以 我们把反射 旋转 平移 或者它们的相继实施 统称为 保 距变换 于是 我们就是要研究平面图形在保距变换下的不变性 123 并由此来考察平面图形的 对称 保距变换 一般会使平面图形发生变化 但对一个特定的图形 而言 某些保距变换却使之保持不变 这就是 变中有不变 它恰 恰反映了图形本身的对称性 注意 在上述保距变换的定义下 不 动 也是一种保距变换 它可以看成旋转 0o的保距变换 也可以看 成平移0 a的保距变换 这样 任何平面图形都会在某种保距变换 下不变 因为它至少在 不动 下不变 如果一种平面图形 例如 一般三角形 6 K 只在 不动 这种保距变换下才不变 那么我们 就认为该平面图形的对称性最差 或者干脆说它 不对称 由这一观点自然的延伸 就可以想到描述平面图形对称性强弱 的一种量化的方法 这就是把所有使某平面图形K不变的保距变换 放在一起 构成一个集合 记为 KS 并称 KS为K的 对称集 如果 1 KS中的元素个数 1 KS多于 2 KS中的元素个数 2 KS 21 KSKS 我们就说 1 K的对称性好于 或强于 2 K的对称性 也说 1 K比 2 K更对称些 这样 我们就把对 对称 的感性认识 抽 象上升为一种理性认识了 124 那么 这种抽象与直观相符程度如何呢 让我们再回到具体例 子中 通过实践来考察 3 抽象观点与具体例子的对照 我们用这样的抽象观点来看看上段所说的圆 记为 1 K 正方形 记为 2 K 正六边形 记为 3 K 正三角形 记为 4 K 等腰三角 形 记为 5 K 和一般三角形 记为 6 K 看谁的对称性较强 谁的 对称性最弱 先 分 别 求 出 与 它 们 相 应 的 对 称 集 654321 KSKSKSKSKSKS 再求出这些 对称集 中元 素的个数 以 量化 其对称性 先看圆 1 K 在平面关于 1 K的任何一条直径的反射下 1 K不变 在平面绕圆心旋转 角 3600 的旋转下 1 K不变 而这样的反 射和旋转都有无穷多种 1 KS就是包含上边所有这些保距变换的集 125 合 于是 1 KS中有无穷多个元素 这就是在上述所有平面图形中 圆被人们认为是 对称性最强 的图形的原因 可见我们的抽象观 点是符合直观感觉的 再看正方形 2 K 在平面分别关于 2 K的两条对角线 两组对边中 点连线的反射下 2 K不变 这里有 4 种保距变换 在平面绕正方形 的中心旋转 270180 90 0下或 2 K不变 这里又有 4 种保距变换 2 KS就是包含上边 8 个运动的集合 所以8 2 KS 旋转 0与平移0 a 都是 不动 的保距变换 只能算一个保 距变换 不能算两个 如果每次都要说这番话 太麻烦了 我们不 如把这种 不动 的保距变换单列一类 叫 恒等变换 对任意平 面图形K 恒等变换总在 KS中 下边再看正六边形 3 K 首先 在 恒等变换 下 3 K不变 其次 在平面分别关于 3 K的三条对角线 三组对边中点连线的反射下 3 K 126 不变 再其次 在平面绕正六边形中心旋转 240 180 120 60或 300 下 3 K不变 所以 12 3 KS 再看正三角形 4 K 在 恒等变换 下 4 K不变 在对平面分别关 于 4 K的三个内角的角平分线的反射下 4 K不变 在平面绕正三角形 中心旋转 240120 或下 4 K不变 所以 6 4 KS 再看等腰三角形 5 K 在 恒等变换 下 5 K不变 在平面关于 5 K 的顶角的角平分线的反射下 5 K不变 所以 2 5 KS 再看一般三角形 6 K 只有在 恒等变换 下 6 K才不变 所以 1 6 KS 从而 以上六个图形按对称性强弱排序 从强到弱的顺序应为 圆 1 K 正六边形 3 K 正方形 2 K 正三角形 4 K 等腰三角形 5 K 一般三角形 6 K 并有对称性强弱的量化的描述分别为 1 KS 12 3 KS 8 2 KS 6 4 KS 2 5 KS 1 6 KS 127 现在 再回过头来对照我们关于这些例子的 对称性 的感性 认识 发现它们与我们直观中感觉到的对称性的强弱 是非常吻合 的 不过 我们头脑中原来的 直观 是含糊的 现在抽象为数学 方式的叙述后 平面图形对称 的概念就变得确切了 并且从定性 的描述上升为定量的描述了 我们原先觉得不太好回答的问题 正 三角形与正方形谁更对称一些 现在有了明确的答案 由于 8 2 KS 6 4 KS 8 大于 6 所以正方形比正三角形更对称一些 4 小结 对 平面图形的对称 的抽象过程 首先是从由静到动的观点考察平面图形的 对称 发现了 对 称 具有某种 变中有不变 的性质 我们抓住了这种不变性 认 定它是对称的本质 然后 把平面上的反射 旋转和平移及其相继 实施 统一简称为 保距变换 接下去 对于某个平面图形K 我 们把保持K不变的保距变换放到一起 构成一个集合 记为 KS 称之为 K的对称集 用它来描述K的对称性 最后 我们把 KS 中元素的个数 KS 作为衡量平面图形K的对称性强弱的一个量化 指标 至此完成了我们的抽象 128 我们又把这一抽象应用到实践中去 发现与我们起初的直观是 吻合的 这样就完成了 从实践中来 又到实践中去 的全过程 二 n元多项式的对称 三 集合上的可逆变换 子集的对称变换与子集的对称 现在我们把讨论 平面图形的对称 及 n元多项式的对称 中 形成的数学思想综合起来 用 子集的对称 的语言来统一地描述任 一客观事物的 对称 1 集合上的可逆变换 子集的对称变换 设 M 是一个集合 则 M 到自身的一个映射称为 M 上的一个 变换 M 到自身的一个 可逆映射称为 M 上的一个可逆变换 129 集合M上的可逆变换 使M中每一个元素都发生了 变化 不 变 也看作是一种 变化 但在整体上又保持M不变 即M 整 个地 还变为M MM 但对于M的某个子集N 情况就不一 样了 可能 在整体上保持N不变 NN 也可能 不能在整体 上保持N不变 NN 这样 就给我们描述 子集N的对称性 提供了基础 在M上的 可逆变换中 称满足NN 的可逆变换为 N的对称变换 要注 意的是 N的对称变换 并不是保持N中的每个元素都不变 而只 是把N看作一个子集合时 从整体上保持N不变 NN 表达 的就是这个意思 2 子集的对称 现在 我们希望 数学地 描述任一客观事物的对称性 我们用 子集的对称 的语言来做到这一点 130 首先 任一客观事物都可以看作一个更大的客观事物中的一部 分 用数学术语说 就是 任一客观事物都可以看作某一个集合M的 子集N 特别 N 可以看作 N 自身的子集 当然 为了比较多个 事物 N1 Nk 的对称性 我们需要找一个合适的大集合 M 把 N1 Nk 都看作这个 M 的子集 例如讨论圆 正方形 正六边形 正三角形 等腰三角形 一般三角形的对称性时 我们取 M R2 为 整个平面上全体点的集合 平面图形K可以看作是平面 R2的一个子 集 R R2 1 0 1 R K M N 131 所以 如果我们统一地用数学语言本质地描述了 子集的对称 那么 前面谈到的 平面图形的对称 和 n元多项式的对称 就都 是 子集的对称 的特例了 其次 前面我们已经认定 对称性刻划的是事物 变中有不变 的特性 下边我们用集合和子集的语言 分别把 变 与 不变 统 一地描述出来 得到关于 对称 的数学叙述 概括地说 变 是对整个集合而言的 是指集合上的 在考虑 范围内的 所有可逆变换 都改变了集合中的元素和子集 不变 是对考察的子集而言的 是指上述可逆变换中使所考察子集在整体上 保持不变的那些可逆变换 即子集的对称变换 下边我们结合前面讲 过的内容详加解释 变中有不变 的 变 在 平面图形的对称 那段 就是我 们所说的 保距变换 包括反射 旋转 平移以及它们的相继作用 132 在 n元多项式的对称 那段 就是我们所说的 n元置换 每一个 保距变换 是平面 R2到平面 R2的一个有特点 保距 的映射 它 在变化平面 R2的同时 一般也变化了其中任一平面图形K 现在 我们把 保距变换 和 n元置换 统一表述为 集合M上的可逆变 换 它在变化集合M的同时 一般也变化了其中任一子集N 使 之成为 N 变中有不变 的 不变 在 平面图形的对称 那段 是指 运动 在变化平面 R2的同时 一般也变化了所考察的平面图形K 但有些 运动 却使K整体上保持不变 我们把所有这样的 运动 放到一起 记作 KS 称为 K的对称集 现在 我们用 集合上的可逆变换与子集的对称 的语言 把这 一段的内容统一地叙述为 集合M上的 被考虑范围内的 可逆变换 在变化集合M的同时 一般也变化了M中我们所考察的子集N 使之成为 N 但有些可逆变换却使N整体上保持不变 即 N N 我们称使N整体上保持不变的那些可逆变换为N的对称变换 并且把 133 所有这样的 对称变换 放到一起 记作 NS NNNS 称 NS为 N的对称集 如同 KS是对K的对称性的描述一样 NS也是对N的对称性的 描述 NS中元素的个数 NS就描述了N的对称性的强弱 总而言之 变中有不变 的 变 是指集合M上的 被考虑范 围内的 全体可逆变换 变中有不变 的 不变 是指M中我们 所考察的子集N的对称变换 N的对称变换