棒球最佳击球点.doc

题目：棒球最佳击球点的探究摘要本文对棒球的“最佳击球点”进行了研究，给出了“最佳击球点”的位置，并在此基础上论证了球棒上添加填充物、不同材料球棒对“最佳击球点”的影响。问题一,首先确定球棒的外部特征，做出几何图形，对其定量描述。然后根据棒球的击球方式，找出其中的物理规律，运用动量守恒定理、角动量守恒定理以及恢复系数建立刚体动力学模型，推导出击打后球的速度表达式：带入数据，得到普通木质球棒的“最佳击球点”为距棒手柄端点70cm处。问题二,添加填充物后引起了球棒的物理性质的变化，本文从球棒的质量、质心、转动惯量的变化出发，分析了添加填充物对击球效果的影响，得到“添加填充物降低了棒球的速度”的结论。问题三，本问主要考虑不同的材质导致球棒的物理性质的改变，本文中着重分析了转动惯量和恢复系数的不同对击球效果的影响，得到“铝质”球棒能显著提高击球效果，并且会导致体育“装备竞赛”的误区，因此棒球协会禁止铝棒的使用是合理的。在上述问题的基础上，本文考虑击球时存在机械震动的客观事实，通过力学的Hertz模型和振动力学的横向振动梁模型，分别从能量传递和振动主振型的固有频率两个方面定性的对不同材质的球棒对球速的影响进行了分析，得出铝制球棒更有利于击出高速球的结论。关键词：动量守恒 恢复系数 转动惯量 动力学模型 Hertz模型一、问题重述在所有的球类运动中，棒球运动中蕴含了丰富的物理学原理，棒球棒上的“最佳击球点”就是一个典型的例子。通过查找相关的资料，建立相关数学模型，解决以下问题：(1)每一个棒球手都知道在棒球棒比较粗的部分有一个击球点，这里可以把打击球的力量最大程度地转移到球上。基于力矩的解释或许可以确定棒球棒的最末端就是最佳击球点，但是实际中并不是这样的。构建模型，解释最佳击球点棒球棒的最末端的原因。(2)有一些棒球手相信在最佳击球点填充软木塞可以提高打击效果（在球棒头部挖一个圆柱状槽，填充软木塞或者橡皮）。进一步扩展模型确定或否定该结论。解释为什么棒球联盟否定这种做法。(3)球棒的撞击效果可能与材质有关系，构建模型以预测木质和金属球棒的不同打击效果。解释这是否是联盟禁止金属球棒的原因。二、模型假设结合本题的实际，为了确保模型求解的准确性和合理性，我们排除了一些位置因素的干扰，提出以下几点假设：1.球在飞行过程中不自旋。2.球棒击球时,球的速度方向与球棒轴线正交。3.球棒形状、尺寸、重量相同。三、符号说明为了便于问题的求解，我们给出以下符号说明：（其他未说明的符号在文中第一次出现时会做详细的说明。）：恢复系数：重心位置：转动惯量：球棒重量四、问题分析“击球”是一个典型的物体与物体碰撞的问题。根据题目要求，构建模型解释“最佳击球点”为什么不在球棒的最末端，在最佳击球点填充软木塞是否可以提高打击效果，以及不同材质的球棒对棒球是否会产生不同的打击效果。首先需要明确的是“最佳击球点”的含义。通过对题目的了解，最佳击球点就是把打击球的力量最大程度地转移到棒球上。因此，在球棒上的最佳击球点可以看成相同情况下，球的离开球棒的速度。速度最大的那个位置，即：“最佳击球点”。将球、棒视为刚体，可以把“球棒”视为一个系统，并把他作为研究对象建立经典动力学模型进行分析。通过查找相关的资料，在撞击瞬间手对棒施加的力对球棒的影响不大，可以近似为球棒是“自由端”。利用“动量守恒定理”、“角动量守恒定理”以及“恢复系数”等研究撞击位置与球离开速度的关系。即：。当取一个值，使最大时；即得到最佳击打点。找出最佳击打点，将填充软木塞后的求出的最佳点与未填充的球棒进行对比而得出结论；在研究改变材料对击球效果的影响的时候，同样求出球棒的最佳击打点的位置以及棒球离开的最大速度相互进行比较，得出改变材料对击打球是怎样影响的。在经典动力学模型用恢复系数来表示碰撞瞬间动能的突变，这样得到的结果是粗糙的。考虑球、棒碰撞时发生的形变，使用接触力学的理论，改进动力学模型，可以得到更精确的结果。五、模型的建立与求解经过以上的分析和准备，我们将逐步建立以下数学模型，进一步阐述模型的实际建立过程。5.1 球棒外形的初步描述模型文献表明，木质棒球球棒的一般规格为：表1 棒球球拍的物理参数参数数值棒长0.855m棒重0.885kg重心位置距较小端面0.564m木质杨氏模量最大半径7cm最小半径2.5cm木质密度649kg/m3球棒为一种旋转体，沿轴线的截面如下：图 1球棒沿轴线的截面其中各部分的长度、可由球棒重量及重心位置确定：球棒重量： (1)依据质心的定义，质心两侧球棒所受重力对重心力矩平衡： (2)式中为积分变量的函数，有：由（1）（2）式，带入数据得：这样，棒球各部分的半径长：球棒外形简化模型的确定，为不同材质、材质不均匀（如填充软木塞）的球棒转动惯量的求解提供了方便。5.2 最佳击球点的刚体动力学模型分析击球手的击球动作可知，击球瞬间存在两个转动系统：手臂和球棒以身体重心轴为轴的转动、球棒以手腕为轴的转动。以身体重心所在轴为坐标原点，球棒轴线为轴，轴线垂直方向为轴建立平面直角坐标系。设球棒质心坐标，身体重心坐标(原点)，手握球棒点为。击球点为。间距离为，间距离为,球棒近身端坐标。具体击球过程如下图： 图2 击球过程抽象图设：为球的质量，为球棒质量，为球的起初速度，为球的离开速度，为击球前棒的质心速度，为击球后棒的质心速度。球棒击球前的角速度为，球棒击球后的角速度为。在球与棒碰撞的瞬间，球、棒间的作用力远大于球、棒的重力、手的支持力，因此，以“球棒”系统为研究对象，轴方向上有动量守恒： (3)以球棒为研究对象，结合线速度与角速度的关系式()，得到：， (4)恢复系数为碰撞接触点碰撞前相对接近速度除以碰撞后相对远离速度，即：一般情况下，击球点与球棒的质心不是同一个点，即： (5)以身体重心轴为轴建立“球棒”系统的角动量守恒方程，以球棒质心为轴，球-棒系统无外力矩，因此角动量守恒，即： (6)由(3)、(4)、(5)、(6)可得击打后的球速表达式为： (7)其中转动惯量： 统计文献表明，棒球击球瞬间的运动学参数如下：表2 击球瞬间的运动学参数相关名称数 值相关名称数值27.7m/s0.885kg17.288rad/s0.142kg16m/s0.855m0.764m将上表的数据带入公式(5)得到：得到与的关系式，之后对之求导，令,求出即：得最佳击球点位置。利用软件计算得到，当，得到。并画图，得：图 击球点位置与球离开速度的关系最终求出：最佳击球点位置为距棒手柄端点70cm处。5.3 球棒填充物的影响分析棒球手在最佳击球点添充的软木塞一般为直径1英寸（2.54cm），10英寸（25.4cm）深的圆柱体。软木塞密度，密度幅度较大，主要由各地区树皮的密度决定，一般不超过，小于木质球棒的密度。因此，在球棒中填充软木会带来以下变化：1)球棒质量变小，惯性减小，可增加球棒的可控性。2)球棒质心向手握点靠近，可使击球时球棒的角动量减小，进而影响击球效果。3)转动惯量变小，进而影响最佳击球点及最大球速。下面从以上三个方面量化分析填充物对击球效果的影响。质量减小量：质心改变距离：在建立的坐标系中，原质心横坐标。设填充后质心横坐标为，根据质心定义，在质心左右两侧重力矩平衡，有：由此式可计算填充后质心坐标为。球员击球时，以身体重心轴为转轴挥棒的转动惯量：转动惯量减小量：利用问题（1）所建模型易知，球棒填充软木塞后的最佳击球点及球的最大离开速度的计算只需修正公式中的转动惯量。即：求导易得球的最大离开速度及对应的最佳击球点。最大离开速度改变量：代入软木塞密度下限，软木塞密度上限可以得到塞入软木塞的影响效果区间：表3 球棒填充物影响结果图 2 不同转动惯量下球的离开速度随击球点的变化由图（4）得到表（4），如下：表4 不同转动惯量下球的最大离开速度转动惯量0.1630.1730.1830.1930.2030.213最大击球速度点0.5960.6170.6380.6600.6820.702最大速度31.51732.08532.64533.19833.74434.283结果分析：通过以上结果可知，在球棒中添加填充物对击球效果并不能产生积极影响，主要原因是由于球棒变轻，球棒转动惯量减小，使碰撞能量传输效率变低。但是，这种做法的优势主要体现在对球棒更好的控制能力，加速快，可以延长反应时间。5.4不同材料的球棒对击球效果的影响金属球棒与木质球棒的主要区别有：密度不同、质量不同导致的转动惯量不同；材料不同导致的恢复系数不同、弹性系数不同。利用经典理论力学模型，假设两种球棒的外形与前面的抽象模型相同，从转动惯量、恢复系数的角度研究两种材质的球棒的性能，易得球的最大离开速度为：查阅相关资料得到铝棒的恢复系数，积分求得铝棒的转动惯量，将木棒和金属棒的代表值代入上式，可得击球点与球速的关系图如下：图 3 木质球棒与铝质球棒的球速比较粗略的建模结果显示，用铝棒击球较木棒很容易打出又高又远的高飞球。体育竞技的宗旨在于提高棒球运动员本身的身体素质和技巧，而不是搞体育装备竞赛，所以正规比赛是不允许使用金属棒的。六、模型的优缺点6.1、模型优点：(1)对球棒外形进行抽象简化，使研究对象易于描述与建模。(2)利用理论力学、接触力学、波动力学等多种理论对球-棒碰撞问题从外部表现、内部过程机理等多角度进行了分析。6.2、模型缺点：利用各个力学分支学科的理论建立起来的模型互相独立，没有分析各模型之间的联系，没有将它们有机地结合起来。七、模型推广在经典力学的碰撞模型中，通过使用恢复系数来体现动能的突变。进一步地研究球与棒的碰撞问题就必须考察碰撞时的接触过程。Hertz的接触理论可以很好的解释碰撞中的接触过程，并解答其中的能量转换关系，是球棒振动的初值问题。球与球棒的碰撞是一个中速撞击（）问题，对此可有如下假设： （1）碰撞的两物体表面都是连续的，并且是非协调接触（2）小应变条件，即接触面半径远小于物体尺寸（）（3）碰撞的两物体都可被看做是一个弹性半空间（4）接触面无摩擦（5）撞击速度与弹性波速相比很小接触力学中已经证明，在中速撞击问题中，由于撞击速度与弹性波速相比很小，用准静态方法求解弹性撞击问题是正确的，即使塑性形变发生，解法依然在相当精度内是正确的。因此可以把动态的碰撞过程分解为一系列静态弹性接触过程，独立地运用Hertz接触理论求解。根据Hertz接触理论，球与圆柱体接触，接触面为椭圆，而球与平面的接触面为圆，为简化计算，将球棒假设为四棱体，文献表明，这种改变引起的误差较小。两个相互接触的无摩擦弹性旋转体之间所形成的接触圆上的压强分布一定满足如下形式：则：接触圆内法向位移：接触圆圆心压强，是接触圆上的压强最大值：接触圆半径：接触圆某点到接触圆圆心的距离分析球棒的碰撞过程：设球的质量为，半径为，初速度为，球棒质量为，球棒长。球棒受手的握力作用，并假设球棒与手的接触面为窄带状，设为击球后球的加速度，为杆的碰撞端切向加速度，为杆的质心加速度，为杆的角加速度。设球对杆的碰撞力碰撞力大小为，压缩形变量为，手对杆的接触力为,压缩形变量为。图 4 旋转体的接触面整个碰撞过程中，有运动学关系：根据牛顿定律、质心运动定理及对质心的角动量定理,有： (7)与，与的函数关系可由Hertz接触力学中的公式决定：注：为材料泊松比，此为0.25球与杆的碰撞力：结合式（P）可得球与杆接触处的最大弹性形变： (9)将(9)式代入(7)式中,并代入参数，可得：在碰撞结束后，系统角动量守恒：其中表示球的末速。故碰撞前后的能量损耗为：结论：碰撞前后的系统能量损耗与杆的质量、压缩形变的一阶导数的平方成正比。在球棒中添加填充物时，会使压缩形变的一阶导数增大，因此不能产生预期的好的击球效果。使用铝棒，会引起球棒质量减少，导致系统能量损耗降低，从而具有较好的击球效果。七、参考文献1Alan M. Nathan，Dynamics of the baseballbat collision，American Association of Physics Teachers