第七章 实数的完备性.pdf

1 第七章第七章 实数的完备性实数的完备性 P 168P 168 习题习题 1 验证数集有且只有两个聚点和 n S n 1 1 1 1 1 2 解解当取奇数时 中的互异子列 n12 knS 1 12 1 1 k k 所 以是的 聚 点 当取 偶 数时 中 的 互 异 子 列 1 1 Snkn2 S 所以是的聚点 1 2 1 1 k k1 2 S 设 实 数 取 因 为 子 列 1 a1 a 1 1min 2 1 0 aa 和子列的极限都不是 所以在邻域内最多只有子 12 1 1 k k2 1 1 a 0 aU 列及子列中的有限多项 从而只有数集中 12 1 1 k k2 1 1 n S n 1 1 的有限多项 所以不是数集的聚点 aS 2 证明 任何有限数集都没有聚点 证明证明设有限数集 由聚点的定义 在的任何邻域内都含有中无穷 S S 多个点 而只有有限个点 所以没有聚点 SS 3 设是 一个严格开区间套 即满足 nn ba 1221 bbbaaa nn 且 证明 存在唯一的一点 使得 0 lim nn n ab 2 1 nn aa 1 n a 2 1 n n b 限 且 n n n n ablimlim nn ba 2 1 n 唯一性的证明与教材 P 162 区间套定理 7 1 相同 4 试举例说明 在有理数集内 确界原理 单调有界定理 聚点定理和柯 西收敛准则一般都不成立 解解设 则是单调递增的有理 n n n a 1 1 1 1 1 n n n b 2 1 n n a 数列 是单调递减的有理数列 且 无理数 n b eab n n n n limlim 1 点集非空有上界 但在有理数集内无上确界 点集 2 1 nan 非空有下界 但在有理数集内无下确界 2 1 nbn 2 数列单调递增有上界 但在有理数集内无极限 单调递减有 n a n b 下界 但在有理数集内无极限 3 是有界无限点集 但在有理数集内无聚点 2 1 nan 4 数列满足柯西收敛准则条件 但在有理数集内没有极限 n a 5 是一闭区间套 但在有理数集内不存在一点 使得 nn ba nn ba 2 1 n 5 设 问 2 1 1 2 1 n nn H 1 H能否覆盖 0 1 3 2 能否从H中选出有限个开区间覆盖 i ii 21 0 1 1001 解解 1 H能覆盖 0 1 因为对任何 必有自然数 使得 1 0 x n n x n 1 2 1 2 不能从H中选出有限个开区间覆盖 因对H中任意有限个开区 21 0 间 设其左端点最小的为 则当时 这有限个开区间就不能 2 1 0 n2 1 0 0 baxU o x ba 聚点 反之 若为的聚点 则必有 事实上 若 则或 x ba bax bax axax 2 xa baxU x ba 点矛盾 7 设为单调数列 证明 若存在聚点 则必是唯一的 且为 n x n x n x 的确界 证明证明设为单调增加数列 为的聚点 先证是唯一的 假设也 n x n x 是的聚点 不妨设 取 由聚点的定义 在的邻域 n x Nn xx U n x 这与为的聚点相矛盾 故为的唯一聚点 121 N xxx n x n x 其次证明 为的上确界 先证是的一个上界 假设不是的 n x n x n x 一个上界 于是存在 这时取 则在的邻域内最多只 N x N x U 有中有限多个点 这与为的聚点相矛盾 然后证明 n x 121 N xxx n x 是的最小上界 在的邻域内有中无限多个点 设 n x 0 U n x 从而 所以 UxN N x sup n x 8 试用有限覆盖定理证明聚点定理 证明证明设为实轴上有界无限点集 则存在 使 假若 S0 M MMS 中任何点都不是的聚点 则 必存在相应的 使 MM S MMx 0 x 得在内最多只含的有限个点 设 则H是 x xU S MMxxUH x 的一个开覆盖 由有限覆盖定理 H中存在有限个开区间 MM j xj xU 覆盖了 当然也覆盖了 由于在每一个内最 nj 2 1 MM S j xj xU 多只含的有限个点 故为有限点集 这与为无限点集矛盾 所以 SSS MM 中必有的聚点 S 9 试用聚点定理证明柯西收敛准则 证明证明只证充分性 设 要证 0 0 N Nnm NNn 1 1 Nn aa 是 令 则 1 1 Nn aa 1 max 21 NN aaaaM Man 0 1 N 1 Nnm 再由 知 现在 取 N 2 Nk Nk 2 2 ab Ixx xx 令 则在上连续 于是在 1 M 11 ba 1 Mxf 另一方面 当时 有 于是 Iaax 1 1 ax1 1 afxf 同样当时 有 1 1 afxfIbbx 1 1 1 0 1 1 0 x 2 1 sin NNx 2 sin baxx 2 xx sinsin x x x x 现在取 当且时 则必有以下 2min 21 0 xx xx 1 aN b 0 7 三种情形之一发生 或者或者 0 1 xx baxx Nxx 若 由 式 有 0 1 xx 22 1 sin 1 sin sinsin x x x x x x x x 若 由 式 有 Nxx 22 sin sin sinsin x x x x x x x x 若 由 式 有 baxx sinsin x x x x 所以在上一致连续 x x xf sin 0 4 试用有限覆盖定理证明根的存在定理 证设在连续 由连续函数的局部保号性 存 f ba0 bf 在 使得在内 在内 0 aa0 xf 假设对任何 都有 则由连续函数的局部保号性 存在 0 bax 0 0 xf 的某邻域 使得在此邻域内且的 0 x 000 000 xxx xxxU 0 xf xf 符号与的符号相同 集合族 0 xf bbaabaxxxH xx 是的一个开覆盖 由有限覆盖定理 存在的一个有限子集 ba H 2 1 bbaanixxH iiii 覆盖了 将中的邻域分成两部分 使的邻域记为 使 ba H 0 xf 2 H 1 H 8 令这 个 最大的右 端点 因为在内 kkkk xx kk x bb 所以 即 因为覆盖了 所以存在 0 xfb a ba H ba 中的一个区间 使得 由于是的所有 H iiii xx iiii xx 1 H 开区间右端点中最大的 故区间不属于而属于 从而 iiii xx 1 H 2 H 有 因 为 区 间的 右 端 点 iiii xxx 0 xf kkkk xx 属于 区 间 所 以 区 间必与 区 间 kk x iiii xx iiii xx 相交 那么在这两个区间相交的公共部分内 kkkk xx kkii xx f 既大于零 又小于零 矛盾 5 证明 在上的连续函数为一致连续的充要条件是与 baf 0 af 都存在 0 bf 证 必要性 设在上一致连续 故 当 f ba 0 0 且时 成立 baxx xx xfxf 于是当 时 必有 baxx ax0 ax0 xx 从而 由 Cauchy 收敛准则 可知存在 同理可证 0 N 当时 有 于是 再由定理 7 8 Nn 2 Aan 2 Bbn BAba nn 得 由的任意性得 BAba nn n lim BAba nn n lim 若 则 0 n a0 n b 2 1 n limlimlim nn n n n n n baba limlimlim nn n n n n n baba 证设 由定理 7 7 对任给的 存在 Aan n limBbn n lim 0 0 N 当时 有 于是 再由定 Nn Aan Bbn BAABba nn 理 7 8 得 由的任意性得 lim BAABba nn n ABba nn n lim 同理可证 limlimlim nn n n n n n baba 若 则 0 n a 0lim n n a n n n n aa lim 11 lim 证设 由定理 7 7 对任给的 存在 当时 Aan n lim 0 0 NNn 有 于是 从而 由 A A A A Aan 11 2 B 1 N 时 有 于 是 从 而 Nn B B B B B an BB B an 11 由的任意性得 即 B an n 1 lim B an n 1 lim n n n n a B a lim 11 lim 所以 n n n n aa lim 11 lim 3 证明 若为递增数列 则 n a n n n n aa limlim 证若为递增无上界数列 则 因为 所以 n a n n alim n n n n aa limlim 也有 n n alim 若为递增有上界数列 则极限存在 且 又因为 n a n a suplim 1 k k n n aa 是递增数列 所以对任何正整数 有 从而 n a n sup sup 1 k k k nk aa n n k k k nk n n n aaaa lim sup suplimlim 1 总练习题总练习题 1 证 明 为有界数列的充要条件是的任一子列都存在其收敛子列 n x n x 证 必要性 设为有界数列 则的任一子列都为有界数列 由 n x n x 致密性定理 知其存在收敛子列 12 充分性 反证法 假设无界 则对任何正整数 存在数列中 n x k n x 的某项 使得 于是 从而子列不存 k n xkx k n 2 1 k k n k xlim k n x 在收敛子列 2 设在内连续 且 证明 在内有 f ba 0 lim lim xfxf bxax f ba 最大值或最小值 证令 则在上连续 于是在 bFaF Mm 内取得 从而在内有最大值或最小值 baf ba 3 设在上连续 又有 使 证明 存在 f ba baxn Axf n n lim 使 0 bax Axf 0 证因 故有界 由致密性定理 知其存在收敛子列 baxn n x 设 因为在上连续 所以 k n x lim 0 baxx k n k f ba Axfxfxf n n n k k lim lim 0 4 设函数和都在区间上一致连续 fg I 若为有限区间 证明在上一致连续 I gf I 证因为和都在区间上一致连续 所以和都在区间上有界 fg I fg I 13 P 172 习题 2 于是存在 使得对任何有 0 MIx Mxf Mxg 由一致连续的定义 使得 只要 就有 0 0 Ixx xx 从而有 xfxf xgxg xgxfxgxfxgxfxgxfxgxfxgxf MMMxfxfxgxgxgxf2 存