第六讲 因子分析.doc

因 子 分 析 - 12 -第五讲 因子分析在许多实际问题中，涉及的变量众多，各变量间还存在错综复杂的相关关系，这时最好能从中提取少数综合变量，这些综合变量彼此不相关，而且包含原变量提供的大部分信息。因子分析就是为解决这一问题提供的统计分析方法。以后，如无特别说明，都假定总体是一个p维变量：它的均值向量，协方差矩阵V=(sij)pp都存在。第一节 正交因子模型11 公共因子与特殊因子从总体中提取的综合变量：F1, F2, , Fm(mp)称为（总体的）公共因子。一般来说，公共因子不可能包含总体的所有信息，每个变量Xi除了可以由公共因子解释的那部分外，总还有一些公共因子解释不了的部分，称这部分为变量Xi的特殊因子，记为：ei。 于是，我们有：变量Xi的信息公共因子可以表达部分+公共因子不可表达部分这就是所谓因子模型。目前，公共因子可以表达的部分由公共因子的线性组合表示。即上面的因子模型可以写成以下的形式：12 正交因子模型设总体，均值向量，协方差矩阵。因子模型有形式：其中m5p；即使这样，样本容量也不能太少，一般应在100以上。以上要求在实际问题中往往都达不到。这时可以适当放宽要求，结合检验来判断结果的可靠性。52 因子分析可行性与效果检验1Bartlett球形检验 检验各变量是否独立，通过相关阵是否单位阵来判断。只有在原假设：各变量相互独立被拒绝，因子分析才能进行。 2KMO检验 检查各变量间的偏相关性，用来判断因子分析效果：0KMO1。通常使用的标准是： 当KMO0.7，因子分析效果较好，越大越好；当KMO0.5，此时不适合用因子分析法。53 关于因子的解释 因子分析得到的公共因子应该可以解释，即有实际意义。否则，就应该重新设计原始变量集合。第六节 因子分析应用举例例 数据data09，此文件收录了15个企业的7个主要经济指标。试对这7个指标提取2个公共因子，作因子分析。选择命令菜单：Data Reduction Factor，在Factor Analysis对话框中，将变量固定资产率、固定资产利率、资金利率、资金利税率、流动资金周转天数、销售收入利税率和全员劳动生产率输入Variables，打开Extraction，在Number of factors中键入2（因子个数）。返回，打开Rotation，选择Varimax。返回，打开Scores，选择Save as variables中的Regression和Dis-play factor score coefficient matrix。返回，OK。输出解读：这是一张方差解释表，Initial Eigenvalues一栏中的Total便是每个公共因子的方差贡献值，系统计算出全部7个因子的方差贡献值，并按降序排列。% of Variance系每个因子的方差贡献占总方差的比率，即方差贡献率。其后的Extraction Sums of Squared Loadings意译为“被提取的载荷平方和”它表示在未经旋转时，被提取的2个公共因子（表中为第一、第二因子）各自方差贡献值以及方差贡献率。从中可以看到，在未经旋转时，提取的第一公共因子的方差值为4.638，方差贡献率66.262%；第二公共因子的方差值为1.281，方差贡献率18.295%。同时，告诉读者：两个公共因子可以解释总方差的84.557%，也就是说：总体近85的信息可以由这两个公共因子来解释。打一个比喻，这就相当于选出两个代表，他们可以代表选民近85的要求。最后一栏Rotation Sums of Loadings意译为“旋转的载荷平方和”，它表示经过Varimax旋转后，得到的新公共因子的方差贡献值、方差贡献率和累计方差贡献率。可以看到，和未经旋转相比，每个因子的方差贡献值有变化，但累计方差贡献率不变。这是两张因子载荷矩阵表，第一张是未经旋转的，第二张是旋转后的。明显可以看到，旋转后的载荷矩阵比未旋转时更容易解释因子意义。现以旋转后的载荷矩阵为例说明。由于因子载荷是变量与公共因子的相关系数，因此对一个变量来说，载荷绝对值较大的因子与它关系更密切，也更能代表这个变量。按照这一观点，第一因子更能代表固定资产率、固定资产利率、资金利率、资金利税率和销售收入利税率，而第二因子则更适合代表流动资金周转天数和全员劳动生产率。从而可见，第一因子主要代表企业的固定实力（固定资产与资金），第二因子主要代表企业的管理水平。这张表是变量的共同度，其中的Extraction一栏表示共同度的值。因为共同度取值区间为0, 1，所以不妨认为共同度的值是一个比率，例如：固定资产率的共同度为0.831，可以看作两个公共因子能够解释固定资产率方差的83.1%。这张表是因子得分系数矩阵，它给出因子得分公式：读者自己写出第二因子F2的得分公式。回到数据文件，看到文件中增加了两列：FAC1_1（第一因子得分）和FAC2_1（第二因子得分）。数源科技以2.13081的得分名列第一因子得分榜首，而中华电子则以2.20625分居第二因子得分首位。说明这两个企业前者实力雄厚，后者管理强劲。如果要看综合实力，则可对两个因子得分加权求和，权数取方差值或方差百分比。本题旋转后第一因子方差值为4.214，方差百分比为60.195%，第二因子方差值为1.705，方差百分比为24.362。可以用以下两个公式之一求综合得分：上述综合得分用Transform Compute计算，结果自动生成在数据文件中。用第一个公式计算结果：中华电子8.36分居榜首，数源科技7.87分紧随其后。这个问题的样本容量显然偏小，因此必须做检验验证因子分析是否有效。点击Descriptives 选择KMO and Barletts testof sphericity。这样，在因子分析时就会输出：KMO值为0.646，小于0.7，