线性代数陈建龙版 课后习题 答案.pdf

线性代数线性代数 陈建龙版陈建龙版 课后习题课后习题 答案答案 摘自 张小向张小向 陈建龙 线性代数学习指导 ISBN 978 7 03 021177 4 科学出版 社 科学出版 社 2008 年 3 月 习题 1 A 一 填空题 1 2 3 O 1 10 2 01 11 2 0 1 210 002 1 1 1 2 1 3 3212 3 3 3 21 n 4 5 6 1 2100 3 21 200 0032 005 23 2 7 E A 1 8 40 9 abcd 10 1 70 11 1 2 3 AE 12 11 00 011 0 0011 0001 13 14 0 15 1 1 2 00 010 101 2 2 xyy 16 2 17 3 18 112 212 xyy 11 12 二 选择题 1 C 2 D 3 B 4 A 5 C 6 C 7 D 8 D 9 B 10 C 11 C 12 A 13 C 14 B 15 C 16 D 17 B 18 D 1 习题 1 B 2 1 2 61 12 113 14 66 1019 73 21322 217 20 4292 058 05 6 290 3 1123 2123 312 65 1227 10520 xzzz xzzz 3 xzzz 4 4 23 46 9999 10099 2 43 4 46 4 ii i 5 1 2 0 6 8 3 35 6 49 1 11213 2 1222 3 3 13 23 3 d ad ad a d bd bd b d cd cd c 4 5 112233 112233 112233 a da da d bdb db d c dc dc d 1 n ijij i j a x x 6 O 1 010 001 000 010 001 000 2 010 001 000 001 000 000 3 010 001 000 当 n 3时 O 010 001 000 n 7 1 12 2 1 0 00 n n nnnn nn n n n 8 4000 0400 0040 0004 6 7 都不成立 00 02 12 8 1 2 3 A X Y 01 00 10 00 10 00 00 00 00 01 4 10 01 9 1 AAT T AT TAT AAT 2 提示 设A aij m n 考察AAT的主对角线元素 10 提示 比较 AB T与AB 11 提示 令A B 1 0 0 0 1 2 3 1 2 a b c u v w x yz 满足AB BA 再令C AB BA CB BC 从而推得一切与矩阵A可交换的矩阵如下 0 0 0 0 0 2 3 1 1 1 00 3 2 3 uyz uyz yy y z 其中u y z为任意常数 12 13 14 00 00 1010 1201 2433 3131 10100 01100 00010 00001 15 100 010 001 16 100 010 001 103 010 001 120 010 001 100 001 010 123 001 010 17 略 18 1 2 21 3 21 2 11 21 2 301 11 21 2 3 112 2 317 9 111 3 3 19 1 2 51 30 133 2 011 3 210 134 102 20 212 013 21 1 X EX A 1A X A 1 AX A 1 AY A 1A Y EY Y 2 X XE X AA 1 XA A 1 YA A 1 Y AA 1 YE Y 22 AT A 1 T A 1A T ET E A 1 T AT 1 A 1 23 A2 PBP 1 PBP 1 PB P 1P BP 1 PBEBP 1 PB2P 1 依此类推 对于任意的正整数k Ak PBkP 1 设f x anxn a1x a0 则 f A anAn a1A a0E anPBnP 1 a1PBP 1 a0PP 1 P anBn a1B a0E P 1 Pf B P 1 24 A11 P 11P 1 27312732 683684 25 1 27 2 160 3 29400000 4 1 n n 3 2anan 1 a2a1 5 an 1 n 1bn 6 1 n 1 n 1 7 n 1 8 1 2 1 n i i a a a2 an 9 an an 1x a2xn 2 a1xn 1 xn 26 提示 用课本第29页性质1 3 2 27 a0 3 a1 3 2 a2 2 a3 1 2 28 16 20 0 29 提示 A 3A 1 2A A 3A 1 2A 1 3 AA 1 2AA 1 3 E E 2 3 E 2 3 3 8 27 30 29 5519 52317 26210 31 提示 AA A E A 1A A E A 1 A 1A 4 A 1 A 1 A 1 E A 1E A 1 A 1A 32 略 5 33 53000 32000 001 200 00025 00038 提示 用课本第39页定理1 10 34 提示 A3 2A2 9A E O A A2 2A 9E E A3 2A2 9A E O A2 9E A 2E 17E 35 1 x1 1 x2 1 x3 1 x4 1 2 x1 32 2131 n n ababab aa aaaa1 ii i x2 31 2131 n n ababba aa aaaa1 ii i xn 112 12 n nnn bababa aa aaaa 1n ii i 36 1 2 2 3 37 5 1 38 设PA U QA V 其中P为m阶可逆矩阵 Q为s阶可逆矩阵 U V 均为行阶梯行矩阵 则 1 PO OQ AC OB 故 UPC OV r AC OB r r U r V r A r B UPC OV 2 PO OQ AO OB 故 UO OV r AC OB r r U r V r A r B UO OV 39 提示 充分性 A B的等价标准形都是 r m n E 必要性 初等变换不改变 矩阵的秩 习题 2 A 一 填空题 1 9 4 7 4 T 2 2 3 5 4 无 5 a 2b 6 相 7 a 2 8 或 或 或 0 2 0 0 1 0 0 0 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0 4 5 6 0 0 2 0 0 0 0 3 0 4 5 6 0 1 0 0 0 0 0 3 0 4 5 6 0 9 0 1 0 4 2 0 0 5 0 0 3 6 10 1 0 1 0 1 1 注 本题答案不唯一 11 0 1 1 注 本题答案不唯一 6 12 13 14 t 2s 0 1 3 5 31 3 4 3 1 3 15 1 1 2 3 2 1 1 1 3 1 注 本题答案不唯一 16 a 1 b 0 c 0 二 选择题 1 C 2 D 3 A 4 C 5 D 6 B 7 D 8 A 9 B 10 D 习题 2 B 1 1 r 1 2 3 2 3 可见 1 2 3是线性相关的 2 r 1 2 3 2 3 可见 1 2 3是线性相关的 3 r 1 2 3 3 可见 1 2 3是线性无关的 4 r 1 2 3 2 3 可见 1 2 3是线性相关的 2 a 21 2 3 a 0且b 1 3 4 a 2 b 3 5 略 6 提示 1 2 3 4 1 2 3 4 而r r 那么这个部分组中必然有一个t阶的非 零子式 而这个t阶的非零子式同时也是A的t阶的非零子式 但这与r 1 2 s r r 那么这个t阶的非零子式所占的t个列向量 的部分组都是线性无关的 但任意多于r个向量的部分组都是 线性相关的 矛盾 因此A 1 2 s 中任意高于r阶的 子式都为零 综合 和 可知r 1 2 s r 12 略 13 略 7 14 设k1 1 k2 2 ks s 0 l1 1 l2 2 ls s 则 k1 l1 1 k2 l2 2 ks ls s 由于 由向量组 1 2 s线性表示的方式是唯一的 所以 k1 l1 l1 k2 l2 l2 ks ls ls 由此可得k1 k2 ks 0 故 1 2 s线性无关 设 l1 1 l2 2 ls s k1 1 k2 2 ks s 则 k1 l1 1 k2 l2 2 ks ls s 0 由于 1 2 s是线性无关的 故 k1 l1 k2 l2 ks ls 0 即 k1 l1 k2 l2 ks ls 可见 由向量组 1 2 s线性表示的方式是唯一的 15 提示 r A B r A r B 其中A 1 2 s B 1 2 s 16 见本章典型例题赏析中的例3 8 17 当a 2时 A 1 1 11 1 1 11 a a a 2222 1 11 1 aaa a a a 1 1 1 1 11 1 1 1 a a 111 010 001 a a B 若a 1 则r A r B 3 此时向量组 的极大无关组 就是它本身 1 1 a 1 1 a 1 1 a 若a 1 则r A r B 1 此时就是向量组 的一 个极大无关组 1 1 a 1 1 a 1 1 a 1 1 a 当a 2时 A 211 121 112 1 1 000 121 112 112 121 000 1 112 033 000 C 由此可得r A r C 2 且 1 1 a 就是向量组 的一个极大无关组 1 1 a 1 1 a 1 1 a 1 1 a 18 1 不构成的子空间 2 构成的子空间 3 不构成的子空间 3 R 3 R 3 R 19 1 6 3 2 T是V的一组基 dimV 1 2 2 1 0 T 3 0 1 T是V的一组基 dimV 2 3 1 3是V的一组基 dimV 2 4 1 3是V的一组基 dimV 2 20 见本章典型例题赏析中的例5 21 1 1 0 2 T 2 0 1 3 T是V的一组基 在这组基下的坐标为 1 1 T 22 1 证明略 2 令A 1 2 3 从 1 2 3到 1 2 3的过渡矩阵就是A 9 3 从 1 2 3到 1 2 3的过渡矩阵就是A 1 21 23 23 101 1 21 2 1 2 4 在 1 2 3 1 2 3下的坐标就是 在 1 2 3 1 2 3下的坐标为 A 1 1 2 3 4 2 1 23 24 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 3 4 3 4 3 1 3 25 提示 设 a1 a2 an T b1 b2 bn T 因为 2 1 n i i a 2 1 n ii i ab 2 2 1 n i i b 0 2 1 n ii i ab 恒成立 所以 2 1 n ii i ab 2 4 2 1 n i i a 2 1 n i i b 0 26 1 1 3 1 3 1 0 2 1 2 1 2 6 1 6 1 2 3 3 1 0 1 1 T 0 1 0 0 T 6 6 1 0 1 2 T 27 略 28 略 29 提示 初等矩阵E i j 是正交矩阵 1 i j n 而Q 12s PPP 其中P1 10 P2 Ps是一些形如E i j 的初等矩阵 30 提示 验算HTH E 2 T T E 2 T E 2 T E 2 T E 31 略 32 略 33 提示 E A ATA A AT E A AT E E A 34 提示 1T 2 A 1 T A 2 1TAT A 2 1T ATA 2 1T 习题 3 A 一 填空题 1 2 1 0 2 b a c a c b 0 3 n 1 4 1 1 1 T 5 1 6 abc 0 7 k 0 2 4 6 T 1 1 1 1 T k为任意数 8 n 二 选择题 1 D 2 C 3 C 4 C 5 C 6 D 7 D 8 B 9 B 10 C 习题 3 B 3 1 基础解系 1 3 2 1 0 0 T 2 1 2 0 1 0 T 3 5 2 0 0 1 T 2 基础解系 1 7 11 1 0 T 2 6 10 0 1 T 3 基础解系 1 2 1 1 0 0 T 2 1 3 0 1 0 T 3 2 1 0 0 1 T 4 没有基础解系 4 1 当 0或 1时 原方程组有非零解 当 0时 基础解系 2 2 1 1 T 当 1时 基础解系 0 1 0 1 T 2 当a 0时 基础解系 1 1 1 0 0 T 2 1 0 1 0 T n 1 1 0 0 1 T 当a 1 2 n n 时 基础解系 2 1nn n 2 n 1 n n 1 5 见本章第3节的例7 6 见本章第3节的例8 7 见本章第3节的例9 8 见本章第3节的例10 9 见本章第3节的例11 10 1 1 2 3 x x x c1 3 2 1 0 c2 1 2 0 1 5 0 0 其中c1 c2为任意数 11 2 1 2 3 x x x 3 无解 5 8 0 1 8 4 1 2 3 4 x x x x c 65 3 14 3 1 3 1 3 1 2 0 其中c为任意数 5 1 2 3 4 x x x x c1 2 0 1 0 c2 1 0 0 1 其中c 9 5 6 5 0 0 1 c2为任意常数 11 1 当a b c互不相等时 该方程组有唯一解 当a b且 c b c a d b d a 0时 该方程组有无穷多解 当a b时 若d c 则该方程组有无穷多解 若d c 则该方程组无解 2 当a 1时 若b 1且c 1 则该方程组有唯一解 若b 1或c 1 则该方程组有无穷多解 当a 1时 若2 a b c abc 0 则该方程组有唯一解 若2 a b c abc 0且b 1 则该方程组有无穷多解 若2 a b c abc 0且b 1 则该方程组无解 3 当 2时 该方程组有唯一解 当 2且 1时 该方程组有无穷多解 当 2而 1时 该方程组无解 12 当 1且 2时 该方程组有唯一解 当 1时 该方程组有无穷多 解 当 2时 该方程组无解 当 1时 x c1 1 1 0 T c2 1 0 1 T 1 0 0 T 其中c1 c2为任意 数 13 2 x c 1 1 0 T 1 0 0 T 其中c为任意数 14 见本章第3节的例4 15 1 当a 4时 能用 1 2 3唯一地线性表示 2 当a 4但b 2 c时 不能用 1 2 3线性表示 3 当a 4且b 2 c时 能用 1 2 3线性表示 但表示方法不唯 一 此时 c 1 2c 2 3 b 2 1 2 3 b 3 其中c为任意数 12 16 1 3是 1 2 3 4 5的一个极大无关组 且 2 2 1 4 1 3 5 2 1 3 17 1 a 0 b 1 c 1 2 1 2是 1 2 3的一个极大无关组 3 X 11 1 211 18 1 A的第1 2 4行构成A的行空间的一组基 A的行空间的维数为3 2 A的第1 2 3列构成A的列空间的一组基 A的列空间的维数为3 19 见本章第3节的例13 20 与上一题类似 21 见本章第3节的例14 22 见本章第3节的例12 13 习题 4 A 一 填空题 14 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 n 2 3 n 0 3 1 3 4 2 5 2 A 2 1 6 A 3E的特征值是4 2 5 A 3E 40 7 24 8 0 二 选择题 1 A 2 B 3 B 4 D 5 A 6 B 7 D 8 B 9 B 10 B 习题 4 B 1 提示 A 1 AB A A 1A BA BA 2 提示 设P 1A1P B1 Q 1A2Q B2 验算 1 P O O Q 1 2 AO OA P O O Q 3 提示 P 1AP P 1BP P 1A PP 1 BP P 1ABP P 1BAP 4 提示 设A2 A P 1AP B 则B2 P 1AP P 1AP 5 提示 E i j 1AE i j E i j AE i j B 6 1 对应于 2的全部特征向量为 k 1 1 T 其中k 0 对应于 4的全部特征向量为 k 1 1 T 其中k 0 2 对应于 1的全部特征向量为 k 1 2 1 T 其中k 0 对应于 2的全部特征向量为 k 0 0 1 T 其中k 0 3 对应于 0的全部特征向量为 k 1 1 1 T 其中k 0 对应于 1的全部特征向量为 k 1 1 0 T 其中k 0 对应于 9的全部特征向量为 k 1 2 1 2 1 T 其中k 0 4 对应于 1的全部特征向量为 k1 0 1 1 0 T k2 1 0 0 1 T 其中k1 k2 不全为0 对应于 1的全部特征向量为 k1 0 1 1 0 T k2 1 0 0 1 T 其中k1 k2不全为0 5 对应于 1的全部特征向量为 k1 2 1 0 T k2 0 1 1 T 其中k1 k2不 全为0 对应于 10的全部特征向量为 k 1 2 1 1 T 其中k 0 6 对应于 1的全部特征向量为 k 1 1 1 1 1 1 其中k 0 对应于 0的全部特征向量为 k 1 1 1 T 其中k 0 对应于 1的全部特征向量为 k 1 1 1 T 其中k 0 7 对应于 6的全部特征向量为 k 1 2 1 1 T 其中k 0 对应于 3的全部特征向量为 k1 2 1 0 T k2 0 1 1 T 其中k1 k2不 全为0 8 对应于 na的全部特征向量为 k 1 1 1 T 其中k 0 对应于 0的全部特征向量为 k1 1 1 0 0 T k2 1 0 1 0 T kn 1 1 0 0 1 T 其中k1 k2 kn 1不全为0 7 提示 由 0 以及 2 3 2 A2 3A 2E O 0 得 2 3 2 0 取A 则A满足A 1 0 0 1 2 3A 2E O 但2不是A的特征值 取A 则A满足A 2 0 0 2 2 3A 2E O 但1不是A的特征值 8 1 3 1是A的全部特征值 提示 E A 3E A E A 0 9 a 1 3 10 1 2 8 4 2 64 3 72 11 提示 A 6A 1 6P 1P 1 A 3A 2E 6P 1P 1 3P P 1 2PEP 1 6 1 3 2E 25 12 1 3 5 2n 3 2n 3 13 设A 则A 11121 21222 12 n n nnnn aaa aaa aaa 0 14 1 A 0 1为A 的一个特征值 对应的一个特征向量为 0 1为A 1的一个特征值 对应的一个特征向量为 2 0为P 1AP的一个特征值 对应的一个特征向量为P 1 15 1 2为A2的一个特征值 2 2 3为A2 2A 3E的一个特征值 2 1为A 1的一个特征值 A 1为A 的一个特征值 1 1为E A 1的 一个特征值 16 1 提示 设 0 且A 则由 2 1 A2 0 得 2 1 0 2 提示 1 n E A 1 E A 0 A E A E A E A E 1 O A E 1 O 17 假若k1 1 k2 2是A的特征向量 对应的特征值为 15 k1 1 k2 2 k1 1 k2 2 A k1 1 k2 2 k1A 1 k2A 2 k1 1 1 k2 2 2 由此可得k1 1 1 k2 2 2 0 但是 1 2为矩阵A的属于不同特征值 1 2的特征向量 它们必然是线 性无关的 所以k1 1 k2 2 0 又因为k1k2 0 所以 1 2 0 从而 1 2 这与 1 2是 不同的特征值 矛盾 18 1 P P 1 300 2 3 5 2 0 111 1AP 100 03 0 002 2 A的特征值为 1 1 2 3 3 A只有2个线性无关的特征向量 1 1 1 3 1 T 2 1 1 1 T 所以A不可以相似对角化 16 19 P P 11 11 1AP A P P 1 0 0 3 1 An P P 1 n P nP 1 1 1 31 3 1 31 32 nn nn 20 P P 11 11 1AP A 2 0 0 4 6 3A5 2A3 4E 572584 584572 21 P 111 0 1 22 011 则P 1AP 1 00 0 50 0 05 A P P 1 A100 P P 1 100 P 100P 1 100 100 100 1051 0 50 005 22 设A为n阶幂零矩阵 Ak O 其中k为一个正整数 假若P 1AP 1 2 00 00 00 n 则 1 2 00 0 00 k k k n 0 k PAP 1 k PAkP 1 POP 1 O 由此可得 1 2 n 0 即 O 因而A P P 1 POP 1 O 23 1 1 a 3 b 0 17 2 E A 1 3 假若A能相似对角化 则A有三个线性无关的特 征向量与 1对应 因而 E A x 0 的基础解系中应该含有三个线 性无关的解向量 故3 r E A 3 由此可得r E A 0 即 E A O 但事实上 E A O 此矛盾表明A不能相似对角 化 3 12 5 23 101 24 令P 则P 0 1 1 1 1 1 1 1 0 200 02 0 001 1AP A P P 1 2 33 4 53 4 42 25 1 P P 1 00 0 1 1 2 1 01 1AP 2 0 0 0 3 0 0 0 1 2 Q 则Q 1 201 11 0 111 1BQ 2 00 0 20 0 01 3 A的特征值为 1 2 1 3 2 A只有2个线性无关的特征向量所 以A不与对角矩阵相似 26 1 x 0 y 2 2 P 001 2 10 111 P 1AP 1 00 020 002 27 1 Q 222 263 2 21 33 222 263 0 Q 1AQ 100 01 0 008 2 Q 632 263 6 33 632 263 0 3 Q 1AQ 1 00 0 10 0 02 3 Q 222 263 2 21 33 222 263 0 Q 1AQ 5 00 0 50 0 04 4 Q 2 21 33 222 263 222 263 0 Q 1AQ 2 00 0 20 0 07 28 a b 0 Q 22 22 22 22 0 010 0 Q 1AQ 0 0 0 0 1 0 0 0 2 29 设p3 x1 x2 x3 T是对应于 3的特征向量 则p3与p1 p2正交 可取p3 2 2 1 T 令P p1 p2 p3 P 1AP 100 01 0 000 A P P 1 12 33 12 33 22 33 0 0 0 30 设 3 x1 x2 x3 T是对应于 1的特征向量 则 3与 1 2正交 可取 3 1 1 0 T 令P 1 2 3 则P 1AP 1 00 0 10 0 01 A P P 1 1 21 1 21 1 10 18 习题 5 A 一 填空题 1 f x1 x2 x3 x12 x22 2x32 2x1x2 4x1x3 2x2x3 19 12 1 2 2 3 4 2 5 2 1 1 1 3 2 11213 2 21223 2 31323 aa aa a a aaa a a aa aa 1 1 6 y12 y22 y32 7 2 8 2 t 0 YTBY 0 对于任意非零的k维列向量Z X Y 其中X Y的维数分别为k l ZTMZ XT YT X Y XTAX YTBY 0 A O OB M是正定矩阵 方法二方法二 用特征值 A B都是正定矩阵 A的特征值 1 k以及B的特征值 1 l都大于零 M A O OB 的特征值 1 k 1 l都大于零 M是正定矩阵 方法三方法三 用标准形 A B都是正定矩阵 存在可逆矩阵P Q使得PTAP Ek QTBQ El 存在可逆矩阵 P O O Q 使得 T P O O Q A O OB P O O Q T T PO OQ A O OB P O O Q T T Em P APO OQ BQ k l EO OE M是正定矩阵 方法四方法四 用分解 A B都是正定矩阵 存在可逆矩阵P Q使得A PTP B QTQ 存在可逆矩阵 P O O Q 使得 M A O OB T T P PO OQ Q T P O O Q P O O Q 21 M是正定矩阵 方法五方法五 用顺序主子式 A B都是正定矩阵 A B的各阶顺序主子式都大于零 22 M A O OB 的各阶顺序主子式都大于零 事实上 设 s是M的s阶顺序主子式 则当s k时 s也是A的s阶 顺序主子式 因而大于零 当s k时 s A s k 其中 s k是B的 s k阶顺序主子式 由于 A 和 s k都大于零 故 s大于零 M是正定矩阵 13 提示 考虑特征值 14 提示 若r A n 则对于任意的n维非零列向量 都有A 0 因而 T ATA A T A A 0 15 必要性必要性 因为A是实对称矩阵 所以存在正交矩阵Q 使得 QTAQ Q 1AQ diag 1 2 n 其中n为A的阶数 1 2 n为A的特征值 因此A Q QT Q Q 1 若A是正定的 则 1 2 n全是正数 于是令 diag 1 2 n G Q QT Q Q 1 则G是正定的 而且 GTG Q QT T Q QT QT T TQT Q QT Q QT Q QT Q QTQ QT Q QT Q 2QT Q QT A G2 Q QT Q QT Q QTQ QT Q QT Q 2QT Q QT A 充分性充分性 由于正定阵的行列式大于0 故正定阵一定是可逆的 若存在正定阵G 使A GTG 则A是正定的 16 提示 设 为A的一个特征值 即存在非零的向量 使得A 于是 3 4 2 5 2 A3 4A2 5A 2E O 0 由此可得 3 4 2 5 2 0 即 1 2 2 0 故 1或2 17 法一法一 设 为A的一个特征值 即存在非零的向量 使得A 因为A是正定矩阵 所以 0 又因为A是正交矩阵 即ATA E 所以 T T ATA A T A T 2 T 其中 T 0 由此可得 2 1 而 0 故 1 这就是说