第二类曲面积分计算方法的研究 --毕业论文.doc

【标题】第二类曲面积分计算方法的研究 【作者】胡 醒 醒 【关键词】曲面积分法向量方法 【指导老师】陈 波 涛 【专业】数学与应用数学 【正文】第二类曲面积分计算方法的研究1引言我们知道，在大学阶段曲面积分这部分内容始终是个难点也是重点，尤其是第二类曲面积分，在目前的教科书中对第二类曲面积分的计算介绍的不是很详尽，方法也不多，这也是让众多学生头疼的问题，经过大量的阅读数学工作者们的作品以及笔者的数学基础知识，总结了本文的若干方法，希望对读者有所帮助。本文先介绍曲面积分的相关概念和性质以求读者理解第二类曲面积分是什么，需要注意些什么，这样有助于后面计算方法的研究，接着是本文的重点即介绍第二类曲面积分的计算方法，并分别给出了例题，让各种方法更加直观的呈现在读者面前。2曲面积分的基本概念和性质2.1有向曲面，通常我们遇到的曲面都是双侧的.例如,由方程z=z(x, y)表示的曲面分为上侧与下侧.设n=(cosa, cosb, cosg)为曲面上的法向量.当cosg0时, n所指的一侧是上侧;当cosg0,在曲面的左侧cosb0,在曲面的后侧cosa0.闭曲面有内侧与外侧之分.2.2曲面在坐标面上的投影在有向曲面S上取一小块曲面DS,用(Ds)xy表示DS在xOy面上的投影区域的面积.假定DS上各点处的法向量与z轴的夹角g的余弦cosg有相同的符号(即cosg都是正的或都是负的).我们规定DS在xOy面上的投影(DS)xy为类似地可以定义DS在yOz面及在zOx面上的投影(DS)yz及(DS)zx.2.3物理背景：流向曲面一侧的流量设稳定流动的不可压缩流体的速度场由v(x, y, z)=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)给出, S是速度场中的一片有向曲面,函数v(x, y, z)在S上连续,求在单位时间内流向S指定侧的流体的质量,即流量F.1)把曲面S分成n小块: DS1, DS2, DSn(Si也代表曲面面积);2)在DSi上任取一点(xi, hi, zi);则通过S流向指定侧的流量F近似为:即：在上述和式中,令各小曲面直径中的最大值l?0,就得到流量F的精确值.2.4第二型曲面积分的定义设S为光滑的有向曲面,函数R(x, y, z)在S上有界.把S任意分成n块小曲面: DS1, DS2, DSn(DSi也代表曲面面积), DSi在xOy面上的投影为(DSi)xy,(xi, hi, zi)是DSi上任意取定的一点.如果当各小块曲面的直径的最大值l?0时,极限总存在,则称此极限为函数R(x, y, z)在有向曲面S上对坐标x、曲面积分记作：即：类似地,可定义对坐标y、z的曲面积分和对坐标z、x的曲面积分。函数P(x, y, z)在有向曲面S上对坐标y、z的曲面积分:函数Q(x, y, z)在有向曲面S上对坐标z、x的曲面积分:上述曲面积分也称为第二类曲面积分,其中 P、Q、R叫做被积函数, S叫做积分曲面.在应用上出现较多的是简写为：2.5第二类曲面积分的性质1）如果把S分为S1和S2=2)设S是有向曲面, S-表示与S取相反侧的有向曲面,则3第二类曲面积分的计算方法：3.1直接利用公式计算设积分曲面S由方程z=z(x, y)给出的, S在xOy面上的投影区域为Dxy函数z=z(x, y)在Dxy上具有一阶连续偏导数,被积函数R(x,y,z)在S上连续，则有其中当S取上侧时,积分前取“+”;当S取下侧时,积分前取“-”。这一公式表明,计算曲面积分时，只要把其中变量z换为表示的函数z= z(x, y),然后在的投影区域Dxy二重积分,并考虑到符号的选取即可。这一过程可总结成口诀:“一代二投三定向”。类似地,如果曲面的方程为y= y(z, x),则如果曲面的方程为x=x(y,z)，则例1计算曲面积分，其中是球面外侧在的部分。解：把有向曲面分成上下两部分：和在xoy面上的投影区域都是于是=注意：计算第二型曲面积分时,千万不能与二重积分等同或混淆,第二型曲面积分是按一定规则化为投影区域上的二重积分进行计算的,所以在计算过程中一定要牢记口诀:“一代二投三定向”。3.2利用两类曲面积分之间的联系来计算设是有向曲面S上点(x, y, z)处的法向量的方向余弦,则两类曲面积分之间的联系也可写成如下向量的形式：其中A=(P, Q, R), n=(cosa, cosb, cosg)是有向曲面S上点(x, y, z)处的单位法向量,dS=ndS=(dydz, dzdx, dxdy)称为有向曲面元, An为向量A在向量n上的投影.下面就根据上面的联系来计算第二类曲面积分，显然只要能够求出曲面的法向量(而这对于一个已知曲面来说是很容易做到的)，就可以求出法向量的方向余弦,从而将第二类曲面积分化为第一类曲面积分来处理,请看下例:例2计算积分其中为半球：被柱面截下的部分。解：的法向量为：，方向朝上，单位化得，所以则由两类曲面之间的关系有积分曲面关于y=0对称，所以所以3.3利用积分区间的对称性来简化第二型曲面积分的计算1）若积分曲面S关于x,y,z具有轮换对称性，则。2）若曲面S关于xoy(yoz或zox)平面对称，且S在xoy(yoz或zox)平面上半空间得部分曲面S1取定为上侧（前侧或后侧），在xoy(yoz或zox)平面下半空间的部分曲面S2取定为下侧（后侧或左侧），则f(x,y,z)关于z为偶函数f(x,y,z)关于z为奇函数， f(x,y,z)关于x为偶函数f(x,y,z)关于x为奇函数，f(x,y,z)关于y为偶函数f(x,y,z)关于y为奇函数。例 3求第二型曲面积分，其中S为椭的外侧。解：注意到被积曲面关于x,y,z具有轮换对称性，且可利用投影化为二重积分，则有,令则作广义极坐标变换，则。由轮换对称性知，故。3.4利用Gauss公式将第二类曲面积分化为三重积分来计算我们知道Green公式建立了沿平面封闭曲线的线积分与二重积分的关系.类似地,沿空间闭曲面的第二类曲面积分和三重积分之间也有类似的关系.下面的Gauss公式建立了这种关系.1）若P,Q,R在闭曲面所围成得闭区域上具有一阶连续偏导数，则，其中取外侧。2）若不是闭曲面，则不能直接运用高斯公式，此时可考虑用添加辅助曲面的方法将积分曲面补成闭曲面（+ 1）。“补块”为平行于坐标平面的平面块时一般最为有利。从而有其中是由分片光滑的闭曲面（+ 1）所围成，P,Q,R在上具有一阶连续偏导数。例4计算曲面积分，其中S为曲面得外侧面，外法线为正向。解：，易知该题满足Gauss公式使用条件，利用Gauss公式得，其中V为S包围的区域。作旋转变换u=x-y+z,v=y-z+x,w=z-x+y.则V1为S1包围得区域，而V1是一个对称的八面体，它在uvw平面得第一挂限部分为u+v+w=1及坐标平面u=0,v=0,w=0所围成的区域，且有。所以Gauss公式的实质:表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.若Gauss公式中,则有于是得到应用第二类曲面积分计算空间区域的体积公式：的体积=3.5 Stokes公式与第二类曲面积分右手规则:设是分段光滑的空间有向闭曲线,是以为边界的分片光滑的有向曲面,当右手除拇指外的四指依的绕行方向时,拇指所指的方向与上法向量的指向相同.这时称是有向曲面的正向边界曲线.Stokes公式是Green公式的推广. Green公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分间的关系,而Stokes公式则把曲面上的曲面积分与沿着的边界曲线的曲线积分联系起来.下面的公式就叙述这种关系.设为分段光滑的空间有向闭曲线,是以为边界的分片光滑的有向曲面,的正向与的侧符合右手规则,函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在包含曲面在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数,则有公式上式叫做Stokes公式.对于上式我们应注意以下几点:1.如果取下侧,也相应地改成相反的方向,那么上式两端同时改变符号,因此上式仍成立.2.如果曲面与平行于轴的直线的交点多于一个,则可作辅助曲线把曲面分成几部分,然后应用此公式并相加.因为沿辅助曲线而方向相反的两个曲线积分相加时正好抵消,所以对于这一类曲面公式上式也成立.3.为了便于记忆,把Stokes公式写成另一种形式其中.4. Stokes公式的实质:表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.5.当是面的平面闭区域时,Stokes公式就变成Green公式.因此,格林公式是Stokes公式的一个特殊情形.例5计算积分，S为曲面的上侧。解：设向量场，当时，有，于是存在向量势，且，即得到方程组目的是找出它的一个解，故不妨设，第一个方程对z积分后得到，再从第二个方程得到，其中f(x,y),g(x,y)是两个可微函数，将ax与ay代入第三个方程可导出为了与的边界曲线L：相匹配，选择，其中，易验证它们满足，故得的向量势为应用Stokes公式，并注意S的边界曲线L：在oxy平面上，即，故有显然此题运用Stokes公式来计算较复杂，一般来说Stokes公式是用于将曲线积分转化为较简单的第二类曲面积分的计算，在此不详述。3.6利用参数方程的方法设曲面S的参数方程为x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v),(u,v),与S指定的单位法向量的方向一致，则对上面的例5我们也可以采用参数方程的方法来计算解：取则。取S*为曲面的下侧，则故原积分3.7“化组合为单一”法计算曲面积分（即合一投影法）我们知道第二类曲面积分通常以组合形式出现，其中，为分片光滑的有向曲面，P,Q,R在上连续。如果的方程是，则上的单位法矢量（取上侧时为正，取下侧时为负）。因为所以从而这样，三个坐标面上的积分就转化为一个坐标面上的积分。的方程是y=(x,z)以及x=x(y,z)情况类似。例6计算积分，其中S为圆锥面介于的部分的上侧。解：S的方程为，取