相似综合题(解析版).doc

.相似综合题（解析版）一解答题（共35小题）1（2017娄底）如图，在RtABC中，ACB=90，以BC为直径的O交AB于点D，E是AC的中点，OE交CD于点F（1）若BCD=36，BC=10，求的长；（2）判断直线DE与O的位置关系，并说明理由；（3）求证：2CE2=ABEF【考点】S9：相似三角形的判定与性质；MB：直线与圆的位置关系菁优网版权所有【分析】（1）连接OD，根据弧长公式，求出圆心角DOB即可解决问题；（2）欲证明DE是切线，只要证明ODDE即可；（3）首先证明EF是ADC的中位线，再证明ACDABC即可解决问题；【解答】解：（1）连接ODBCD=36，DOB=72的长=（2）连接ODAE=EC，OB=OC，OEAB，CDAB，OECD，OD=OC，DOE=COE，在EOD和EOC中，EODEOC，EDO=ECO=90，ODDE，DE是O的切线（3）OECD，DF=CF，AE=EC，AD=2EF，CAD=CAB，ADC=ACB=90，ACDABC，AC2=ADAB，AC=2CE，4CE2=2EFAB，2CE2=EFAB【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、切线的判定、三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型2（2017攀枝花）如图，ABC中，以BC为直径的O交AB于点D，AE平分BAC交BC于点E，交CD于点F且CE=CF（1）求证：直线CA是O的切线；（2）若BD=DC，求的值【考点】S9：相似三角形的判定与性质；ME：切线的判定与性质菁优网版权所有【分析】（1）若要证明直线CA是O的切线，则只要证明ACB=90即可；（2）易证ADFACE，由相似三角形的性质以及结合已知条件即可求出的值【解答】解：（1）证明：BC为直径，BDC=ADC=90，1+3=90AE平分BAC，CE=CF，1=2，4=5，2+3=90，3=4，2+5=90，ACB=90，即ACBC，直线CA是O的切线；（2）由（1）可知，1=2，3=5，ADFACE，BD=DC，tanABC=，ABC+BAC=90，ACD+BAC=90，ABC=ACD，tanACD=，sinACD=，【点评】本题考查了切线的判断和性质、相似三角形的判断和性质、圆周角定理以及三角函数的性质，熟记切线的判断和性质是解题的关键3（2017十堰）已知AB为O的直径，BCAB于B，且BC=AB，D为半圆O上的一点，连接BD并延长交半圆O的切线AE于E（1）如图1，若CD=CB，求证：CD是O的切线；（2）如图2，若F点在OB上，且CDDF，求的值【考点】S9：相似三角形的判定与性质；M2：垂径定理；ME：切线的判定与性质菁优网版权所有【分析】（1）连接DO，CO，易证CDOCBO，即可解题；（2）连接AD，易证ADFBDC和ADEBDA，根据相似三角形对应边成比例的性质即可解题【解答】解：（1）连接DO，CO，BCAB于B，ABC=90，在CDO与CBO中，CDOCBO，CDO=CBO=90，ODCD，CD是O的切线；（2）连接AD，AB是直径，ADB=90，ADF+BDF=90，DAB+DBA=90，BDF+BDC=90，CBD+DBA=90，ADF=BDC，DAB=CBD，在ADF和BDC中，ADFBDC，=，DAE+DAB=90，E+DAE=90，E=DAB，在ADE和BDA中，ADEBDA，=，=，即=，AB=BC，=1【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，考查了全等三角形的判定和性质，本题中求证ADFBDC和ADEBDA是解题的关键4（2017广东）如图，AB是O的直径，AB=4，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CEOB，交O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AFPC于点F，连接CB（1）求证：CB是ECP的平分线；（2）求证：CF=CE；（3）当=时，求劣弧的长度（结果保留）【考点】S9：相似三角形的判定与性质；M2：垂径定理；MC：切线的性质；MN：弧长的计算菁优网版权所有【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可；（2）欲证明CF=CE，只要证明ACFACE即可；（3）作BMPF于M则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=4a，PC=4a，PM=a，利用相似三角形的性质求出BM，求出tanBCM的值即可解决问题；【解答】（1）证明：OC=OB，OCB=OBC，PF是O的切线，CEAB，OCP=CEB=90，PCB+OCB=90，BCE+OBC=90，BCE=BCP，BC平分PCE（2）证明：连接ACAB是直径，ACB=90，BCP+ACF=90，ACE+BCE=90，BCP=BCE，ACF=ACE，F=AEC=90，AC=AC，ACFACE，CF=CE（3）解：作BMPF于M则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，BMCPMB，=，BM2=CMPM=3a2，BM=a，tanBCM=，BCM=30，OCB=OBC=BOC=60，的长=【点评】本题考查切线的性质、角平分线的判定、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、弧长公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型5（2017泰安）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分BAD，点P是AC延长线上一点，且PDAD（1）证明：BDC=PDC；（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长【考点】S9：相似三角形的判定与性质菁优网版权所有【分析】（1）直接利用等腰三角形的性质结合互余的定义得出BDC=PDC；（2）首先过点C作CMPD于点M，进而得出CPMAPD，求出EC的长即可得出答案【解答】（1）证明：AB=AD，AC平分BAD，ACBD，ACD+BDC=90，AC=AD，ACD=ADC，ADC+BDC=90，PDAD，ADC+PDC=90，BDC=PDC；（2）解：过点C作CMPD于点M，BDC=PDC，CE=CM，CMP=ADP=90，P=P，CPMAPD，=，设CM=CE=x，CE：CP=2：3，PC=x，AB=AD=AC=1，=，解得：x=，故AE=1=【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识，正确得出CPMAPD是解题关键6（2017天水）ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形，BAC=EDF=90，DEF的顶点E与ABC的斜边BC的中点重合，将DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q（1）如图，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：BPECQE；（2）如图，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：BPECEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的长【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形；R2：旋转的性质菁优网版权所有【分析】（1）由ABC是等腰直角三角形，易得B=C=45，AB=AC，又由AP=AQ，E是BC的中点，利用SAS，可证得：BPECQE；（2）由ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形，易得B=C=DEF=45，然后利用三角形的外角的性质，即可得BEP=EQC，则可证得：BPECEQ；根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长，即可得BC的长，【解答】（1）证明：ABC是等腰直角三角形，B=C=45，AB=AC，AP=AQ，BP=CQ，E是BC的中点，BE=CE，在BPE和CQE中，BPECQE（SAS）；（2）解：ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形，B=C=DEF=45，BEQ=EQC+C，即BEP+DEF=EQC+C，BEP+45=EQC+45，BEP=EQC，BPECEQ，=，BP=2，CQ=9，BE=CE，BE2=18，BE=CE=3，BC=6【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理此题难度较大，注意数形结合思想的应用7（2017滨州）如图，点E是ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交ABC的外接圆O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使BDM=DAC（1）求证：直线DM是O的切线；（2）求证：DE2=DFDA【考点】S9：相似三角形的判定与性质；M2：垂径定理；M5：圆周角定理；ME：切线的判定与性质；MI：三角形的内切圆与内心菁优网版权所有【分析】（1）根据垂径定理的推论即可得到ODBC，再根据BDM=DBC，即可判定BCDM，进而得到ODDM，据此可得直线DM是O的切线；（2）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到BED=EBD，即可得出DB=DE，再判定DBFDAB，即可得到DB2=DFDA，据此可得DE2=DFDA【解答】解：（1）如图所示，连接OD，点E是ABC的内心，BAD=CAD，=，ODBC，又BDM=DAC，DAC=DBC，BDM=DBC，BCDM，ODDM，直线DM是O的切线；（2）如图所示，连接BE，点E是ABC的内心，BAE=CAE=CBD，ABE=CBE，BAE+ABE=CBD+CBE，即BED=EBD，DB=DE，DBF=DAB，BDF=ADB，DBFDAB，=，即DB2=DFDA，DE2=DFDA【点评】本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角8（2017衢州）如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D，连接OD作BECD于点E，交半圆O于点F已知CE=12，BE=9（1）求证：CODCBE（2）求半圆O的半径r的长【考点】S9：相似三角形的判定与性质；MC：切线的性质菁优网版权所有【分析】（1）由切线的性质和垂直的定义得出E=90=CDO，再由C=C，得出CODCBE（2）由勾股定理求出BC=15，由相似三角形的性质得出比例式，即可得出答案【解答】（1）证明：CD切半圆O于点D，CDOD，CDO=90，BECD，E=90=CDO，又C=C，CODCBE（2）解：在RtBEC中，CE=12，BE=9，BC=15，CODCBE，即，解得：r=【点评】本题考查了切线的性质、相似三角形的判定及其性质、勾股定理；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键9（2017黄冈）已知：如图，MN为O的直径，ME是O的弦，MD垂直于过点E的直线DE，垂足为点D，且ME平分DMN求证：（1）DE是O的切线；（2）ME2=MDMN【考点】S9：相似三角形的判定与性质；ME：切线的判定与性质菁优网版权所有【分析】（1）求出OEDM，求出OEDE，根据切线的判定得出即可；（2）连接EN，求出MDE=MEN，求出MDEMEN，根据相似三角形的判定得出即可【解答】证明：（1）ME平分DMN，OME=DME，OM=OE，OME=OEM，DME=OEM，OEDM，DMDE，OEDE，OE过O，DE是O的切线；（2）连接EN，DMDE，MN为O的直径，MDE=MEN=90，NME=DME，MDEMEN，=，ME2=MDMN【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键10（2017阿坝州）如图，ABC和ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，BAC=DAE=90，点P为射线BD，CE的交点（1）求证：BD=CE；（2）若AB=2，AD=1，把ADE绕点A旋转，当EAC=90时，求PB的长；【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形；R2：旋转的性质菁优网版权所有【分析】（1）依据等腰三角形的性质得到AB=AC，AD=AE，依据同角的余角相等得到DAB=CAE，然后依据SAS可证明ADBAEC，最后，依据全等三角形的性质可得到BD=CE；（2）分为点E在AB上和点E在AB的延长线上两种情况画出图形，然后再证明PEBAEC，最后依据相似三角形的性质进行证明即可【解答】解：（1）ABC和ADE是等腰直角三角形，BAC=DAE=90，AB=AC，AD=AE，DAB=CAEADBAECBD=CE（2）解：当点E在AB上时，BE=ABAE=1EAC=90，CE=同（1）可证ADBAECDBA=ECAPEB=AEC，PEBAEC=PB=当点E在BA延长线上时，BE=3EAC=90，CE=同（1）可证ADBAECDBA=ECABEP=CEA，PEBAEC=PB=综上所述，PB的长为或【点评】本题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，证明得PEBAEC是解题的关键11（2017眉山）如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE，过顶点B作BFDE，垂足为F，BF分别交AC于H，交CD于G（1）求证：BG=DE；（2）若点G为CD的中点，求的值【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质菁优网版权所有【分析】（1）由于BFDE，所以GFD=90，从而可知CBG=CDE，根据全等三角形的判定即可证明BCGDCE，从而可知BG=DE；（2）设CG=1，从而知CG=CE=1，由勾股定理可知：DE=BG=，由易证ABHCGH，所以，从而可求出HG的长度，进而求出的值【解答】解：（1）BFDE，GFD=90，BCG=90，BGC=DGF，CBG=CDE，在BCG与DCE中，BCGDCE（ASA），BG=DE，（2）设CG=1，G为CD的中点，GD=CG=1，由（1）可知：BCGDCE（ASA），CG=CE=1，由勾股定理可知：DE=BG=，sinCDE=，GF=，ABCG，ABHCGH，=，BH=，GH=，=【点评】本题考查相似三角形的综合问题，涉及相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，综合程度较高，属于中等题型12（2017毕节市）如图，在ABCD中 过点A作AEDC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且AFE=D（1）求证：ABFBEC；（2）若AD=5，AB=8，sinD=，求AF的长【考点】S9：相似三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质；T7：解直角三角形菁优网版权所有【分析】（1）由平行四边形的性质得出ABCD，ADBC，AD=BC，得出D+C=180，ABF=BEC，证出C=AFB，即可得出结论；（2）由勾股定理求出BE，由三角函数求出AE，再由相似三角形的性质求出AF的长【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ADBC，AD=BC，D+C=180，ABF=BEC，AFB+AFE=180，C=AFB，ABFBEC；（2）解：AEDC，ABDC，AED=BAE=90，在RtABE中，根据勾股定理得：BE=4，在RtADE中，AE=ADsinD=5=4，BC=AD=5，由（1）得：ABFBEC，即，解得：AF=2【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键13（2017河池）（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AEBF于点M，求证：AE=BF；（2）如图2，将 （1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AEBF于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质菁优网版权所有【分析】（1）根据正方形的性质，可得ABC与C的关系，AB与BC的关系，根据两直线垂直，可得AMB的度数，根据直角三角形锐角的关系，可得ABM与BAM的关系，根据同角的余角相等，可得BAM与CBF的关系，根据ASA，可得ABEBCF，根据全等三角形的性质，可得答案；（2）根据矩形的性质得到ABC=C，由余角的性质得到BAM=CBF，根据相似三角形的性质即可得到结论【解答】（1）证明：四边形ABCD是正方形，ABC=C，AB=BCAEBF，AMB=BAM+ABM=90，ABM+CBF=90，BAM=CBF在ABE和BCF中，ABEBCF（ASA），AE=BF；（2）解：AE=BF，理由：四边形ABCD是矩形，ABC=C，AEBF，AMB=BAM+ABM=90，ABM+CBF=90，BAM=CBF，ABEBCF，=，AE=BF【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键14（2017常德）如图，直角ABC中，BAC=90，D在BC上，连接AD，作BFAD分别交AD于E，AC于F（1）如图1，若BD=BA，求证：ABEDBE；（2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：GM=2MC；AG2=AFAC【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质菁优网版权所有【分析】（1）根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）过G作GHAD交BC于H，由AG=BG，得到BH=DH，根据已知条件设DC=1，BD=4，得到BH=DH=2，根据平行线分线段成比例定理得到=，求得GM=2MC；过C作CNAD交AD的延长线于N，则CNAG，根据相似三角形的性质得到=，由知GM=2MC，得到2NC=AG，根据相似三角形的性质得到结论【解答】证明：（1）在RtABE和RtDBE中，ABEDBE；（2）过G作GHAD交BC于H，AG=BG，BH=DH，BD=4DC，设DC=1，BD=4，BH=DH=2，GHAD，=，GM=2MC；过C作CNAC交AD的延长线于N，则CNAG，AGMNCM，=，由知GM=2MC，2NC=AG，BAC=AEB=90，ABF=CAN=90BAE，ACNBAF，=，AB=2AG，=，2CNAG=AFAC，AG2=AFAC【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键15（2017绥化）如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，EC平分DEB，F为CE的中点，连接AF，BF，过点E作EHBC分别交AF，CD于G，H两点（1）求证：DE=DC；（2）求证：AFBF；（3）当AFGF=28时，请直接写出CE的长【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LB：矩形的性质菁优网版权所有【专题】152：几何综合题【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到DCE=DEC，进而得出DE=DC；（2）连接DF，根据等腰三角形的性质得出DFC=90，再根据直角三角形斜边上中线的性质得出BF=CF=EF=EC，再根据SAS判定ABFDCF，即可得出AFB=DFC=90，据此可得AFBF；（3）根据等角的余角相等可得BAF=FEH，再根据公共角EFG=AFE，即可判定EFGAFE，进而得出EF2=AFGF=28，求得EF=2，即可得到CE=2EF=4【解答】解：（1）四边形ABCD是矩形，ABCD，DCE=CEB，EC平分DEB，DEC=CEB，DCE=DEC，DE=DC；（2）如图，连接DF，DE=DC，F为CE的中点，DFEC，DFC=90，在矩形ABCD中，AB=DC，ABC=90，BF=CF=EF=EC，ABF=CEB，DCE=CEB，ABF=DCF，在ABF和DCF中，ABFDCF（SAS），AFB=DFC=90，AFBF；（3）CE=4理由如下：AFBF，BAF+ABF=90，EHBC，ABC=90，BEH=90，FEH+CEB=90，ABF=CEB，BAF=FEH，EFG=AFE，EFGAFE，=，即EF2=AFGF，AFGF=28，EF=2，CE=2EF=4【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用16（2016齐齐哈尔）如图，在ABC中，ADBC，BEAC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F（1）求证：ACDBFD；（2）当tanABD=1，AC=3时，求BF的长【考点】S9：相似三角形的判定与性质菁优网版权所有【分析】（1）由C+DBF=90，C+DAC=90，推出DBF=DAC，由此即可证明（2）先证明AD=BD，由ACDBFD，得=1，即可解决问题【解答】（1）证明：ADBC，BEAC，BDF=ADC=BEC=90，C+DBF=90，C+DAC=90，DBF=DAC，ACDBFD（2）tanABD=1，ADB=90=1，AD=BD，ACDBFD，=1，BF=AC=3【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，属于中考常考题型17（2017桂林）已知：如图，在ABC中，AB=BC=10，以AB为直径作O分别交AC，BC于点D，E，连接DE和DB，过点E作EFAB，垂足为F，交BD于点P（1）求证：AD=DE；（2）若CE=2，求线段CD的长；（3）在（2）的条件下，求DPE的面积【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KH：等腰三角形的性质；KQ：勾股定理；M2：垂径定理菁优网版权所有【分析】（1）根据圆周角定理可得ADB=90，再根据等腰三角形的性质可证AD=DE；（2）根据AA可证CEDCAB，根据相似三角形的性质和已知条件可求CD；（3）延长EF交O于M，在RtABD中，根据勾股定理可求BD，根据AA可证BPEBED，根据相似三角形的性质可求BP，进一步求得DP，根据等高三角形面积比等于底边的比可得SDPE：SBPE=13：32，SBDE：SBCD=4：5，再根据三角形面积公式即可求解【解答】（1）证明：AB是O的直径，ADB=90，AB=BC，D是AC的中点，ABD=CBD，AD=DE；（2）解：四边形ABED内接于O，CED=CAB，C=C，CEDCAB，=，AB=BC=10，CE=2，D是AC的中点，CD=；（3）解：延长EF交O于M，在RtABD中，AD=，AB=10，BD=3，EMAB，AB是O的直径，=，BEP=EDB，BPEBED，=，BP=，DP=BDBP=，SDPE：SBPE=DP：BP=13：32，SBCD=3=15，SBDE：SBCD=BE：BC=4：5，SBDE=12，SDPE=【点评】考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的知识注意准确作出辅助线、掌握方程思想的应用是解此题的关键18（2017巴中）如图，AH是O的直径，AE平分FAH，交O于点E，过点E的直线FGAF，垂足为F，B为半径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上（1）求证：直线FG是O的切线；（2）若AF=12，BE=6，求的值【考点】S9：相似三角形的判定与性质；LB：矩形的性质；ME：切线的判定与性质菁优网版权所有【分析】（1）连接OE，证明FG是O的切线，只要证明OEF=90即可；（2）先根据角平分线的性质得出EF=BE=6，再证明ADFFCE，根据相似三角形对应边成比例得出=【解答】（1）证明：如图，连接OE，OA=OE，EAO=AEO，AE平分FAH，EAO=FAE，FAE=AEO，AFOE，AFE+OEF=180，AFGF，AFE=OEF=90，OEGF，点E在圆上，OE是半径，GF是O的切线；（2）解：四边形ABCD是矩形，EBAB，EFAF，AE平分FAH，EF=BE=6，又四边形ABCD是矩形，D=C=90，DAF+AFD=90，又AFFG，AFG=90，AFD+CFE=90，DAF=CFE，又D=C，ADFFCE，=，又AF=12，EF=6，=【点评】本题考查的是切线的判定，解决本题的关键是要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可也考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质19（2017朝阳）如图，以ABC的边AC为直径的O交AB边于点M，交BC边于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P，BCP=BAN（1）求证：ABC为等腰三角形（2）求证：AMCP=ANCB【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KJ：等腰三角形的判定与性质；MC：切线的性质菁优网版权所有【分析】（1）由AC为O直径，得到ANC=90，由切线的性质得到BCP=CAN，再由BCP=BAN，得到BAN=CAN，于是得到结论（2）由等腰三角形的性质得到ABC=ACB，根据圆内接四边形的性质得到PBC=AMN，证出BPCMNA，即可得到结论【解答】（1）证明：AC为O直径，ANC=90，PC是O的切线，BCP=CAN，BCP=BAN，BAN=CAN，AB=AC，ABC为等腰三角形；（2）ABC为等腰三角形，AB=AC，ABC=ACB，PBC+ABC=AMN+ACN=180，PBC=AMN，由（1）知BCP=BAN，BPCMNA，=，即AMCP=ANCB【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，解此题的关键是熟练掌握定理20（2017德州）如图，已知RtABC，C=90，D为BC的中点，以AC为直径的O交AB于点E（1）求证：DE是O的切线；（2）若AE：EB=1：2，BC=6，求AE的长【考点】S9：相似三角形的判定与性质；ME：切线的判定与性质菁优网版权所有【分析】（1）求出OED=BCA=90，根据切线的判定得出即可；（2）求出BECBCA，得出比例式，代入求出即可【解答】（1）证明：连接OE、EC，AC是O的直径，AEC=BEC=90，D为BC的中点，ED=DC=BD，1=2，OE=OC，3=4，1+3=2+4，即OED=ACB，ACB=90，OED=90，DE是O的切线；（2）解：由（1）知：BEC=90，在RtBEC与RtBCA中，B=B，BEC=BCA，BECBCA，=，BC2=BEBA，AE：EB=1：2，设AE=x，则BE=2x，BA=3x，BC=6，62=2x3x，解得：x=，即AE=【点评】本题考查了切线的判定和相似三角形的性质和判定，能求出OED=BCA和BECBCA是解此题的关键21（2017达州）如图，ABC内接于O，CD平分ACB交O于D，过点D作PQAB分别交CA、CB延长线于P、Q，连接BD（1）求证：PQ是O的切线；（2）求证：BD2=ACBQ；（3）若AC、BQ的长是关于x的方程x+=m的两实根，且tanPCD=，求O的半径【考点】S9：相似三角形的判定与性质；B2：分式方程的解；M5：圆周角定理；ME：切线的判定与性质；T7：解直角三角形菁优网版权所有【分析】（1）根据平行线的性质和圆周角定理得到ABD=BDQ=ACD，连接OB，OD，交AB于E，根据圆周角定理得到OBD=ODB，O=2DCB=2BDQ，根据三角形的内角和得到2ODB+2O=180，于是得到ODB+O=90，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）证明：连接AD，根据等腰三角形的判定得到AD=BD，根据相似三角形的性质即可得到结论；（3）根据题意得到ACBQ=4，得到BD=2，由（1）知PQ是O的切线，由切线的性质得到ODPQ，根据平行线的性质得到ODAB，根据三角函数的定义得到BE=3DE，根据勾股定理得到BE=，设OB=OD=R，根据勾股定理即可得到结论【解答】（1）证明：PQAB，ABD=BDQ=ACD，ACD=BCD，BDQ=ACD，如图1，连接OB，OD，交AB于E，则OBD=ODB，O=2DCB=2BDQ，在OBD中，OBD+ODB+O=180，2ODB+2BDQ=180，ODB+O=90，PQ是O的切线；（2）证明：如图2，连接AD，由（1）知PQ是O的切线，BDQ=DCB=ACD=BCD=BAD，AD=BD，DBQ=ACD，BDQACD，=，BD2=ACBQ；（3）解：方程x+=m可化为x2mx+4=0，AC、BQ的长是关于x的方程x+=m的两实根，ACBQ=4，由（2）得BD2=ACBQ，BD2=4，BD=2，由（1）知PQ是O的切线，ODPQ，PQAB，ODAB，由（1）得PCD=ABD，tanPCD=，tanABD=，BE=3DE，DE2+（3DE）2=BD2=4，DE=，BE=，设OB=OD=R，OE=R，OB2=OE2+BE2，R2=（R）2+（）2，解得：R=，O的半径为【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，一元二次方程根与系数的关系，圆周角定理，平行线的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键22（2017怀化）如图，已知BC是O的直径，点D为BC延长线上的一点，点A为圆上一点，且AB=AD，AC=CD（1）求证：ACDBAD；（2）求证：AD是O的切线【考点】S9：相似三角形的判定与性质；MD：切线的判定菁优网版权所有【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到CAD=B，由于D=D，于是得到ACDBAD；（2）连接OA，根据等腰三角形的性质得到B=OAB，得到OAB=CAD，由BC是O的直径，得到BAC=90即可得到结论【解答】证明：（1）AB=AD，B=D，AC=CD，CAD=D，CAD=B，D=D，ACDBAD；（2）连接OA，OA=OB，B=OAB，OAB=CAD，BC是O的直径，BAC=90，OAAD，AD是O的切线【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键23（2017锦州）已知：四边形OABC是菱形，以O为圆心作O，与BC相切于点D，交OA于E，交OC于F，连接OD，DF（1）求证：AB是O的切线；（2）连接EF交OD于点G，若C=45，求证：GF2=DGOE【考点】S9：相似三角形的判定与性质；L8：菱形的性质；ME：切线的判定与性质菁优网版权所有【分析】（1）过O作OHAB，由菱形的性质可求得OH=OD，由切线的性质可知OD为圆O的半径，可得OH为圆O的半径，可证得结论；（2）由条件可证明DGFDFO，再利用相似三角形的性质可证得结论【解答】证明：（1）如图，过O作OHAB，四边形OABC为菱形，AB=BC，BC为O的切线，ODBC，且OD为O的半径，ABOH=BCOD，OH=OD，AB为O的切线；（2）由（1）可知ODCB，AODO，AOD=90，DFE=AOD=45，C=45，且ODC=90，DOF=45，在OGF中，DGF为OGF的外角，DGF=DOF+GFO=45+GFO，DFO=DFG+GFO=45+GFO，DGF=DFO，且GDF=FDO，DGFDFO，=，即DFGF=DGOF，OF=OD=OE，DF=GF，GF2=DGOE【点评】本题主要考查切线的判定和性质及相似三角形的判定，掌握切线的判定方法和相似三角形的判定方法是解题的关键，注意等积法的应用24（2017菏泽）如图，AB是O的直径，PB与O相切于点B，连接PA交O于点C，连接BC（1）求证：BAC=CBP；（2）求证：PB2=PCPA；（3）当AC=6，CP=3时，求sinPAB的值【考点】S9：相似三角形的判定与性质；MC：切线的性质；T7：解直角三角形菁优网版权所有【分析】（1）根据已知条件得到ACB=ABP=90，根据余角的性质即可得到结论；（2）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；（3）根据三角函数的定义即可得到结论【解答】解：（1）AB是O的直径，PB与O相切于点B，ACB=ABP=90，A+ABC=ABC+CBP=90，BAC=CBP；（2）PCB=ABP=90，P=P，ABPBCP，PB2=PCPA；（3）PB2=PCPA，AC=6，CP=3，PB2=93=27，PB=3，sinPAB=【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的性质，圆周角定理，三角函数的定义，正确的识别图形是解题的关键25（2017德阳）如图，已知AB、CD为O的两条直径，DF为切线，过AO上一点N作NMDF于M，连结DN并延长交O于点E，连结CE（1）求证：DMNCED（2）设G为点E关于AB对称点，连结GD、GN，如果DNO=45，O的半径为3，求DN2+GN2的值【考点】S9：相似三角形的判定与性质；MC：切线的性质；P2：轴对称的性质菁优网版权所有【分析】（1）先利用直径所对的圆周角是直角和切线的性质得：DEC=NMD=90，再证明CDNM，可得MND=EDC，根据两角对应相等可得两三角形相似；（2）先证明GND是直角三角形，再根据EGN是等腰直角三角形得GEN=45，证明GOD是直角三角形，利用勾股定理可得结论【解答】证明：（1）DF为O的切线，DFCD，NMDF，NMCD，MND=EDC，CD为O的直径，NMDF，DEC=NMD=90，DMNCED；（2）连接GE，CG，OC，G为点E关于AB对称点，AO垂直平分EG，GN=EN，GNA=ENA，DNO=45，ENA=45，GNE=90，GND=18090=90，GND是直角三角形，DN2+GN2=DG2，EGN是等腰直角三角形，GEN=45，C=GEN=45，OG=OC，CGO=C=45，GOD=90，GOD是直角三角形，DG2=OG2+OD2=32+32=18，DN2+GN2=DG2=18【点评】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定及性质、勾股定理等知识，第2问有难度，证明C=45是解决第（2）小题的关键26（2017聊城）如图，O是ABC的外接圆，O点在BC边上，BAC的平分线交O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P（1）求证：PD是O的切线；（2）求证：PBDDCA；（3）当AB=6，AC=8时，求线段PB的长【考点】S9：相似三角形的判定与性质；ME：切线的判定与性质菁优网版权所有【专题】11 ：计算题；55A：与圆有关的位置关系【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角得到BAC为直角，