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第三章：证明（三） 定义 平行四边形 性质 判定 等腰梯形 性质 判定 三角形中位线 定义 性质 知 识 性质 点 矩形 推论 性质 特殊平行四边形 菱形 判定 性质 正方形 判定 第一节： 平行四边形问题1：回忆平行四边形的定义（1）定义：_叫做平行四边形。（2）几何语言表述: ABCD ADBC 四边形 ABCD是平行四边形 （3）定义的双重性: 具备_的四边形，才是平行四边形，问题2：回顾平行四边形的性质及判别条件； 能否利用公理和已有的定理证明它们？探索：已知：如图ABCD， 求证：ABCD，CBAD分析：要证ABCD，CBAD我们可以考虑只要证明四条线段所在的两个三角形全等，因此我们可以作辅助线_,它将平行四边形分成_和_，我们只要证明这两个三角形全等即可得到结论证明：通过上面的证明，我们可以得到：知识点一：平行四边形的性质及判定1、性质1：平行四边形的对边相等2、性质2：平行四边形的对角相等探索：如图，EFGH中，连接对角线EG、HF，设它们分别交于点O分别度量OH、OF的长度，你发现它们存在的数量关系是_.猜想线段OG、OE之间的数量关系是_.证明你的猜想：由此我们可以得到3、性质3：平行四边形的对角线互相平分探索：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？（1）你能说出你的做法及其道理吗？（2）能否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方法？你能用文字语言表述出来吗？证明发现的平行四边形的判定方法4、判定1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形已知：求证：证明：5、判定2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。已知：求证：证明：探索：如图，平行四边形HGFE中，HF与GE交与点O，HO=OF,GO=OE,求证：四边形HGFE是平行四边形。由此得到6、判定3：对角线互相平分的四边形是平行四边形题型一：利用平行四边形的性质解题简单：例1： （2011江苏泰州，7，3分）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：ABCD，ADBC；AB=CD，AD=BC；AO=CO，BO=DO；ABCD，AD=BC其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有 A1组 B2组 C3组 D4组 例2： （2011湖南邵阳，7，3分）如图（二）所示，中，对角线AC，BD相交于点O，且ABAD，则下列式子不正确的是（）A.ACBD B.ABCDC. BO=OD D.BAD=BCD例3、点A、B、C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A、B、C、D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D有 （ ）A1个 B2个 C3个 D4个例4、（2011广东广州市，2，3分）已知ABCD的周长为32，AB=4，则BC=（ ）.A.4 B.12 C.24 D.28中等：例1、（2011重庆市潼南,9,4分）如图，在平行四边形 ABCD中(ABBC)，直线EF经过其对角线的交点O,且分别交AD、BC于点M、N，交BA、DC的延长线于点E、F，下列结论：AO=BO；OE=OF； EAMEBN；EAOCNO，其中正确的是A. B. C. D.例2、（2011湖南常德，21，7分）如图5，已知四边形ABCD是平行四边形. （1）求证：MEF MBA； （2）若AF，BE分别为DAB、CBA的平分线，求证DF=ECA图5BCDEFM例3、 （2011四川宜宾,17,5分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F在AC上，G、H在BD上，AF=CE，BH=DG求证：GFHE HA（17（3）题图）CBDOEGF例4、（2011湖南永州，21，8分）如图，BD是ABCD的对角线，ABD的平分线BE交AD于点E，CDB的平分线DF交BC于点F求证：ABECDF（第21题）难题：例1、（2011四川重庆，9，4分）下面图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第个图形一共有1个平行四边形，第个图形一共有5个平行四边形，第个图形一共有11个平行四边形，则第个图形中平行四边形的个数为( )图 图 图 图A55 B42 C41 D29例2、（2011浙江金华，15，4分）如图，在ABCD中，AB3，AD4，ABC60，过BC的中点E作EFAB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则DEF的面积是 .问题3：回忆等腰梯形有哪些性质？并给与证明知识点二：等腰梯形的性质及判定1、性质：等腰梯形在同一底上的两个角相等 问题4：这个命题的逆命题成立吗？2、判定：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形题型一：利用等腰梯形的性质解题简单：1. （2011江苏扬州，7,3分）已知下列命题：对角线互相平分的四边形是平行四边形；等腰梯形的对角线相等；对角线互相垂直的四边形是菱形；内错角相等。其中假命题有（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. （2011山东临沂，12，3分）如图，梯形ABCD中，ADBC，ABCD，AD2，BC6，B60，则梯形ABCD的周长是（ ）A12 B14 C16 D189. （2011湖北武汉市，7，3分）如图，在梯形ABCD中，ABDC，AD=DC=CB，若ABD25，则BAD的大小是A40 B45 C50 D60第7题图ABCD中等：8. （2011四川绵阳11，3）如图，在等腰梯形ABCD中，AB/CD，对角线AC、BD相交于O，ABD=30，ACBC, AB = 8cm,则COD的面积为A. B. C. D. 1. （2011安徽芜湖，21，8分）如图，在梯形ABCD中，DCAB，AD=BC, BD平分过点D作，过点C作，垂足分别为E、F，连接EF，求证：为等边三角形.难度：4. （2011江苏连云港，16，3分）一等腰梯形两组对边中点连线段的平方和为8，则这个等腰梯形的对角线长为_.8. （2011山东临沂，19，3分）如图，上面各图都是用全等的等边三角形拼成的一组图形，则在第10个这样的图形中，共有 个等腰梯形 问题5：知识点三：三角形中位线的定义及性质1、定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线问题6：2、性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半问题7：题型一：求中位线长例1：（2011浙江义乌，2，3分）如图，DE是ABC的中位线，若BC的长是3cm，则DE的长是（ ）EABCD:A2cm B1.5cm C1.2cm D1cm例2：（2011江苏淮安，10，3分）如图，在ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8，则DE= .题型二：利用中位线求解其他问题1. （2011广东茂名，2，3分）如图，在ABC中，D、分别是AB、AC的中点，若DE5，则BCA6B8C10D122. （2011福建泉州，15，4分）如图，在四边形中，是对角线的中点，分别是的中点，则的度数是 CFDBEAP（第15题）3. （2011江苏盐城，16，3分）如图，在ABC中，AB=AC，ADBC，垂足为D，E是AC的中点若DE=5，则AB的长为 四、练习简单：1如图2，在ABCD中，AC平分DAB，AB=3， 则ABCD的周长为A6 B9 C12 D15ABCD图22. （2011浙江义乌，18，6分）如图，已知E、F是ABCD对角线AC上的两点，且FEABCDBEAC，DFAC.（1）求证：ABECDF；（2）请写出图中除ABECDF外其余两对全等三角形（不再添加辅助线）3. （2011安徽，6，4分）如图，D是ABC内一点，BDCD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（ ）A7B9C10D114. （2011山东德州10,4分）如图，D，E，F分别为ABC三边的中点，则图中平行四边形的个数为_ABCDEF第10题图5. （2011湖南邵阳，16，3分）如图（六）所示，在等腰梯形ABCD中，ABCD，AD=BC，ACBC，B=60，BC=2cm，则上底DC的长是_cm。6. （2011四川南充市，17，6分）如图，四边形ABCD是等腰梯形，ADBC,点E,F在BC上，且BE=CF,连接DE,AF.求证：DE=AF. 7（2011湖北宜昌，12，3分）如图，在梯形ABCD中，ABCD，AD=BC，点E,F,G,H分别是AB,BC，CD，DA的中点，则下列结论一定正确的是( ).A. HGF = GHE B. GHE = HEF C. HEF = EFG D. HGF = HEF（第12题图）8(2011江苏南京，10，2分)等腰梯形的腰长为5，它的周长是22，则它的中位线长为_9. （2011四川成都，13,4分） 如图，在ABC中，D、E分别是边AC、BC的中点，若DE=4, 则AB= .中等：1. （2011山东临沂，18，3分）如图， ABCD中，E是BA延长线上一点，ABAE，连结CE交AD于点F，若CF平分BCD，AB3，则BC的长为 2. （2011湖南益阳，21，12分）图10是小红设计的钻石形商标，ABC是边长为2的等边三角形，四边形ACDE是等腰梯形，ACED，EAC=60，AE=1（1）证明：ABECBD； （2）图中存在多对相似三角形，请你找出一对进行证明，并求出其相似比（不添加辅助线，不找全等的相似三角形）；（3）小红发现AM=MN=NC，请证明此结论；（4）求线段BD的长ECDAMN图10B3. （2011广东茂名，22，8分）如图，在等腰ABC中,点D、E分别是两腰AC、BC上的点，连接AE、BD相交于点O，12(1)求证：ODOE； (2)求证：四边形ABD是等腰梯形； (3)若AB3DE, DCE的面积为2, 求四边形ABED的面积 难度：1. （2011山东威海，3，3分）在ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF：CF（ ） A1：2B1：3C2：3D2：5 2. （2011四川南充市，21，8分）如图，等腰梯形ABCD中，ADBC,AD=AB=CD=2,C=600,M是BC的中点。（1）求证：MDC是等边三角形；（2）将MDC绕点M旋转，当MD(即MD)与AB交于一点E,MC即MC)同时与AD交于一点F时，点E,F和点A构成AEF.试探究AEF的周长是否存在最小值。如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出AEF周长的最小值.9. （2011四川内江，加试2，6分）如图，在ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点DF过EC的中点G并与BC的延长线交于点F，BE与DF交于点O。若ADE的面积为S，则四边形BOGC的面积= ABCDEGFO五、作业简单：1. （2011江苏无锡，21，8分）(本题满分8分)如图，在ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且BAE=DCF 求证：BE = DFBCDAEF2. （2011山东滨州，12，3分）如图,在一张ABC纸片中, C=90, B=60,DE是中位线,现把纸片沿中位线DE剪开,计划拼出以下四个图形:邻边不等的矩形;等腰梯形;有一个角为锐角的菱形;正方形.那么以上图形一定能被拼成的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4（第12题图）3. （2011江苏扬州，16,3分）如图，DE是ABC的中位线，M、N分别是BD、CE的中点，MN=6，则BC= 中等：1. （2011山东东营，19，8分）(本题满分8分)如图，在四边形ABCD中，DB平分ADC，ABC=120，C=60，BDC=；延长CD到点E，连接AE，使得E=C。 （1）求证:四边形ABDE是平行四边形；（2）若DC=12，求AD的长。第二节：特殊平行四边形问题1：你还了解哪些特殊的平行四边形？还记得矩形的性质吗？它与平行四边形有哪些联系与区别？回顾：1、 叫做矩形。矩形是_的平行四边形。2、从矩形的意义可以探究矩形具有的性质：（1）矩形具有平行四边形具有的一切性质。（2）矩形与平行四边形比较又有其特殊的性质:特殊在“角”上的性质是_.特殊在“对角线”上的性质是：_.知识点一：矩形的性质与推论1、性质1：矩形的四个角都是直角2、性质2：矩形的对角线相等问题2：从矩形的性质可以说明直角三角形斜边上的中线等于斜边的_.3、推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半题型一：性质的应用简单：例1：（2011浙江衢州，1,3分）衢州市新农村建设推动了农村住宅旧貌变新颜，如图为一农村民居侧面截图，屋坡分别架在墙体的点、点处，且,侧面四边形为矩形，若测得，则( )（第5题）例2：（2011浙江温州，6，4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O已知AOB= 60，AC16，则图中长度为8的线段有( ) A2条B4条C5条D6条例3：（2011四川绵阳7，3）下列关于矩形的说法中正确的是A对角线相等的四边形是矩形 B对角线互相平分的四边形是矩形C矩形的对角线互相垂直且平分 D矩形的对角线相等且互相平分中等：例1：（2011台湾台北，29）如图(十二)，长方形ABCD中，E为中点，作的角平分线交于F点。若6，16，则的长度为何？A4 B5 C6 D8 例2： （2011山东临沂，11，3分）如图，ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BEDF交DF的延长线于点E，已知A30，BC2，AFBF,则四边形BCDE的面积是（ ）A2 B3 C4 D4题型二：重叠、旋转、平移问题的题型例1：（2011山东泰安，19 ，3分）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为A.2 B. C. D.6 例2：（2011四川宜宾,7,3分）如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为（ ）A3 B4 C5 D6 （第7题图）问题3：还记得菱形的性质吗？回顾：1、 叫做菱形。菱形是_的平行四边形。2、从菱形的意义可以探究菱形具有的性质：（1）菱形具有平行四边形具有的一切性质。（2）菱形与平行四边形比较又有其特殊的性质:特殊在“边”上的性质是_.特殊在“对角线”上的性质是：_.知识点二：菱形的性质及判定定理1、性质1：菱形的四条边都相等2、性质2：菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角问题4：你能证明它们吗？问题5：怎样判别一个平行四边形是菱形？从“对角线”方面考虑能否判定？请证明3、判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形例题：如图，已知AD是RtABC斜边BC上的高，ABC的平分线交AD于M交AC于E，DAC的平分线交CD于N.证明：四边形AMNE是菱形.分析：(1)由已知AD是RtABC斜边BC上的高很容易得到ABC=_,又ABC的平分线交AD于M交AC于E，DAC的平分线交CD于N，可得_=_=_=_.(2)要证四边形AMNE是菱形可证其四条边相等，或证对角线互相垂直平分。根据分析完成证明：题型一：菱形性质的应用简单：例1： （2011湖南益阳，7，4分）如图2，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是A矩形B菱形C正方形D等腰梯形ACD图2例2：（2011江苏淮安，5，3分）在菱形ABCD中，AB=5cm，则此菱形的周长为（ ）A. 5cm B. 15cm C. 20cm D. 25cm例3：（2011广东茂名，5，3分）如图，两条笔直的公路、相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂 AB、D，已知ABBCCDDA5公里，村庄C到公路的距离为4公里，则村庄C到公路的距离是A3公里B4公里 C5公里D6公里中等：例1：（2011山东聊城，7，3分）已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是43，则这个菱形的面积是（ ） A12cm2 B 24cm2 C 48cm2 D 96cm2 例2：（2011山东潍坊，17，3分）已知长方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线BD的中点O做BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为_.难度：例1：（2011山东德州8,3分）图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），则第n个图形的周长是图1图2图3（A） （B） （C） （D）例2：（2011湖北武汉市，12，3分）如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H下列结论： AEDDFB；S四边形BCDG= CG2；若AF=2DF，则BG=6GF其中正确的结论A只有B只有C只有DABCDEFGH第12题图问题6：正方形有哪些性质？思考正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别？回顾：1、 叫做正方形。正方形是_的矩形，也是_的菱形。2、从正方形的意义可以探究正方形具有的性质：（1）正方形具有平行四边形具有的一切性质。（2）正方形具有矩形具有的一切性质。（3）正方形具有菱形具有的一切性质。（4）正方形的对角线具有的性质是_.知识点三：正方形的性质及判定1、性质：2、判定：问题7：题型一：正方形性质的应用简单：例1：（2011湖南湘潭市，5，3分）下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是A.平行四边形 B.正方形 C.等腰梯形 D.矩形例2：（2010湖北孝感，16，3分）已知正方形ABCD，以CD为边作等边CDE，则AED的度数是 .例3：（2011广东肇庆，20，7分）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接EB、ED（1）求证：BECDEC；（2）延长BE交AD于点F，若DEB 140，求AFE的度数 ABCDEF中等：例1： （2011山东泰安，17 ，3分）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为A.17 B.17 C.18 D.19例2：（2011山东潍坊，16，3分）已知线段AB的长为a，以AB为边在AB的下方作正方形ACDB.取AB边上一点E，以AE为边在AB的上方作正方形AENM.过E作EFCD，垂足为F点.若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等，则AE的长为_.例3： （2011贵州贵阳，18，10分）如图，点E是正方形ABCD内一点，CDE是等边三角形，连接EB、EA，延长BE交边AD于点F（1）求证：ADEBCE；（5分）（2）求AFB的度数（5分）难度：例1：（2011江苏泰州，18，3分）如图，平面内4条直线L1、L2、L3、L4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D都在这些平行线上，其中点、分别在直线L1和L4上，该正方形的面积是 平方单位例2:（2011山东日照，16，4分）正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AMMN当BM= 时，四边形ABCN的面积最大 四、练习简单：1. （2011湖北鄂州，5，3分）如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为_ABCD第5题图2. （2011江苏淮安，17，3分）在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形.你添加的条件是 .(写出一种即可)3. （2011山东滨州，17，4分）将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示图形。若CED=56,则AED的大小是_.（第17题图）4. （2011湖北襄阳，10，3分）顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是A.菱形B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形5. （2011四川内江，16，5分）如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足 条件时，四边形EFGH是菱形ABCDEFGH6. (2011江苏南京，12，2分)如图，菱形ABCD的边长是2，E是AB中点，且DEAB，则菱形ABCD的面积为_2(第12题)BADCE7（2011江苏无锡，5，3分）菱形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )A对角线互相垂直 B对角线相等 C对角线互相平分 D对角互补8. （2011江苏泰州，24，10分）如图，四边形ABCD是矩形，直线L垂直平分线段AC，垂足为O，直线L分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F（1）ABC与FOA相似吗？为什么？（2）试判定四边形AFCE的形状，并说明理由9. （2011山东济宁，17， 5分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作直线EFBD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形第17题中等：1. （2011江苏南通，15，3分）如同，矩形纸片ABCD中，AB2cm，点E在BC上，且AEEC.若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点重合，则AC cm.2.正方形ABCD中，E、F两点分别是BC、CD上的点。若AEF是边长为的等边三角形，则正方形ABCD的边长为（ ）A. B. C. D.2图10-1ACBCBA图10-23把三张大小相同的正方形卡片A，B，C叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示若按图10-1摆放时，阴影部分的面积为S1；若按图10-2摆放时，阴影部分的面积为S2，则S1 S2（填“”、“”或“=”）4. （2011浙江省舟山，10，3分）如图，五个平行四边形拼成一个含30内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）若四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，则四个平行四边形周长的总和为（ ）（A）48cm（B）36cm（C）24cm（D）18cm（第10题）5. （2011上海，23，12分）如图，在梯形ABCD中，AD/BC，ABDC，过点D作DEBC，垂足为E，并延长DE至F，使EFDE联结BF、CF、AC（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；（2）如果DE2BECE，求证四边形ABFC是矩形难度：1（本题满分10分）如图，四边形ABCD是菱形，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F，连接CE（1）求证：DAEDCE；（2）当AE2EF时，判断FG与EF有何等量关系？并证明你的结论？2已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE过点A作AE的垂线交DE于点P若AEAP1，PB下列结论：APDAEB；点B到直线AE的距离为；EBED；SAPDSAPB1；S正方形ABCD4其中正确结论的序号是（） A B C D3. (10分)在ABC中，BAC=45，ADBC于D，将ABD沿AB所在的直线折叠，使点D落在点E处；将ACD沿AC所在的直线折叠，使点D落在点F处，分别延长EB、FC使其交于点M(1)判断四边形AEMF的形状，并给予证明(2)若BD=1，CD=2，试求四边形AEMF的面积4. （ 2011重庆江津， 10，4分）如图,四边形ABCD中,AC=a,BD=b,且ACBD,顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形A1B1C1D1,再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点,得到四边形A2B2C2D2,如此进行下去,得到四边形AnBnCnDn.下列结论正确的有( )四边形A2B2C2D2是矩形; 四边形A4B4C4D4是菱形;A1AA2A3BB1B2B3CC2C1C3DD2D1D3第10题图四边形A5B5C5D5的周长; 四边形AnBnCnDn的面积是A. B. C. D.5. （