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初中物理 题目：在坐标表象中处理一维线性谐振子问题作者单位：响水滩乡中心学校作者姓名： 宁 国 强2012年9月28日 在坐标表象中处理一维线性谐振子问题响水滩中心学校 宁国强摘 要：本文阐述了在坐标表象中处理一维线性谐振子问题的方法和思路，阐述了一般表象的概念。关键词：一维线性谐振子；坐标表象；一、 能量本征值、本征函数的求解取自然平衡位置为坐标原点,并选原点为势能零点,则一维线性谐振子的势能为 （1）其中是谐振子的质量，是经典谐振子的自然频率。一维谐振子的哈密顿函数为 （2）体系的能量本征方程（亦即不含时Schrdinger方程）为 （3）严格的谐振子势是一个无限深势阱（如图1所示），粒子只存在束缚态，即起波函数应满足以下条件： （4） 将方程（3）无量纲化，为此，令， ， = （5）（3）式可改写为 （6）这是一个变系数二阶常微分方程。为了求解它，我们先看在时的渐进行为。当很大时,与相比可以略去，因而在 时，方程(6)可近似表示为 （7）时，它的渐近解为。因为波函数的标准条件要求当时应为有限，所以不满足边界条件(4)式，应弃之。波函数指数上只能取负号，即。方程(6)在为有限处的根据以上讨论，可令方程(6)在为有限处的解有如下形式： （8）式中A为归一化系数，（8）代入(6)式，得 （9）用级数解法，即把H展开成的幂级数来求这个方程的解。这个级数必须只含有有限项，才能在 时使为有限，而级数只含有限项的条件是 为奇数：，。代入(5)中的第三式，可得一维线性谐振子的能级为， （10）因此，线性谐振子的能量只取分立值(如图2所示)，两相邻能级间的间隔为，这与普朗克关于能量是量子化的假设相符合。 当时，方程（6）的级数解退化为下述厄密多项式： （11）可以证明，厄密多项式满足正交性公式： （12）归一化的谐振子能量本征函数为 ， （13）归一化常数 （14）线性谐振子的能量本征函数满足以下正交归一关系： （15）二、 能量本征态下力学量平均值的计算利用厄密特多项式的递推公式及（13）（14）式可以导出下列非常有用的公式： （16） （17） （18） （19）利用（16）之（19）及的正交归一关系（15）式，可方便地计算出在态下以下各力学量的平均值： （20） （21）
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