2018年高中数学_第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 曲线与方程的概念课件10 新人教b版选修2-1

观察与分析 我们知道 用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥 截口曲线 截面与圆锥侧面的交线 是一个圆 如果改变平面与圆锥曲线的夹角 会得到什么呢 抛物线 双曲线 椭圆 如图 以上三个不垂直于圆锥轴的平面截圆锥 当截面与圆锥的轴夹角不同时 可以得到不同的截口曲线 他们分别是抛物线 双曲线 和椭圆 观察与分析 因此我们通常把抛物线 双曲线和椭圆统称为圆锥曲线 圆锥曲线与科研 生活 以及人类生活有着密切的关系 早在16 17世纪之交 开普勒就发现行星绕太阳运行是一个椭圆 喷泉喷出美丽的抛物线 发电厂冷却塔的外形是双曲线 曲线与方程 曲线与方程的概念 平面解析几何研究的主要问题是 1 根据已知条件 求出表示平面曲线的方程 2 通过方程 研究平面曲线的性质 用坐标系研究图形性质的基本思路是 借助于坐标系 把点与坐标 曲线与方程联系起来 从而达到形与数的结合 再通过方程对曲线的几何性质进行研究 把几何问题转化为代数问题来解决 让我们回顾一下圆及其方程的意义 如图 以点O为圆心 半径为r r 0 的圆 记作 O r 以O为原点建立直角坐标系xOy 我们可以得到圆的方程x2 y2 r2 上述圆的方程表示的意义是 1 设M x0 y0 是 O r 上任意一点 则它到圆心O的距离等于r 因而满足方程 即x2 y2 r2 这就是说 x0 y0 是此方程的一个解 如果点 x0 y0 不在 O r 上 则必有 即有x2 y2 r2 x0 y0 就不会是方程x2 y2 r2的解 2 如果 x0 y0 是方程x2 y2 r2的一个解 则可以推得 即点M x0 y0 到圆心的距离等于r 点M在 O r 上 如果 x0 y0 不是方程x2 y2 r2 的解 则可以推出 即点M x0 y0 不在 O r 上 以上两点说明了 O r 上的点与方程x2 y2 r2的解之间有一一对应关系 我们知道 O r 可以看成一个动点M运动的轨迹 于是在坐标平面上 当 O r 上一个动点M运动时 点M的坐标 x y 随着点M的运动而变化 点M运动的轨迹可以用方程x2 y2 r2来表达 一般地 一条曲线可以看成动点运动的轨迹 曲线的方程又常称为某种条件的点的轨迹方程 一个二元方程总可以通过移项写成F x y 0的形式 其中F x y 是关于x y的解析式 例如y x2可以写成x2 y 0的形式 在平面直角坐标系中 如果曲线C与方程F x y 0之间具有下列关系 1 曲线C上的点的坐标都是方程F x y 0的解 2 以方程F x y 0的解为坐标的点都在曲线C上 那么曲线C叫做方程F x y 0的曲线 方程F x y 0叫做曲线C的方程 这就是说 如果曲线C的方程是F x y 0 则M x y CF x y 0 因此方程F x y 0可作为描述曲线C的特征性质 曲线C用集合特征性质描述法 可以描述为C M x y F x y 0 在坐标系选定以后 曲线被它的方程所惟一确定 但曲线的方程表示不是惟一的 除与我们选取的坐标系有关外 在同一坐标系下 还会有同解方程 由两条曲线的方程 可求出这两条曲线的交点的坐标 已知两条曲线C1和C2的方程分别为F x y 0 G x y 0 则交点的坐标必须满足上面两个方程 反之如果 x0 y0 是上面两个方程的公共解 则以 x0 y0 为坐标的点必定是两条曲线的交点 因此求两条曲线C1和C2的交点坐标 只要求方程组的实数解就可以得到 思考与推论 下面两个命题正确吗 1 到两条坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y x 2 如图 MA和MB分别是动点M x y 与两定点A 1 0 B 1 0 的连线 使 AMB为直角的动点轨迹方程是 x2 y2 1 不正确 不正确 例1 已知两圆C1 x2 y2 6x 16 0 C2 x2 y2 4x 5 0 求证 对任一不等于 1的实数 方程x2 y2 6x 16 x2 y2 4x 5 0是通过两圆交点的圆的方程 证明 方程x2 y2 6x 16 x2 y2 4x 5 0可以变形为 1 x2 1 y2 6 4 x 16 5 0 因为 1 得 因为方程中等号右端大于0 所以它是一个圆的方程 两圆的交点坐标满足已知圆的方程 当然也满足这个方程 因此此方程表示的圆通过两圆交点 例2 已知曲线C上的点的坐标都是方程f x y 0的解 则下列命题中正确的是 A 满足方程f x y 0的点都在曲线C上 B 方程f x y 0是曲线的方程 C 曲线C是满足方程f x y 0的曲线 D 方程f x y 0的曲线包含曲线C上的任意一点 D 例3 设圆M的方程为 x 3 2 y 2 2 2 直线l的方程是x y 3 0 点P的坐标是 2 1 那么 A 点P在直线l上 但不在圆M上 B 点P不在直线l上 但在圆M上 C 点P在直线l上 也在圆M上 D 点P不在直线l上 也不在圆M上 C 证明 与两条坐标轴的距离的积是常数k k 0 的点的轨迹方程是xy k的解 图2 1 3 证明 1 如图2 1 3 设M x0 y0 是轨迹上的任一点 因为点M与x轴的距离为 y0 与y轴的距离为 x0 所以 x0 y0 k 即 x0 y0 是方程xy k的解 如图2 1 3 2 设点M1的坐标 x1 y1 是方程xy k的解则x1y1 k即 x1 y1 k x1 y1 正是点M1到纵轴和横轴的距离 因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k 点M1是曲线上的点 由 1 2 可知xy k是与两条坐标的距离的积为常数k k 0 的点的轨迹方程 已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是A 0 3 B 2 0 C 2 0 问 中线AO O为原点 所在直线的方程是x 0吗 为什么 解 是 由图可知 等腰三角形ABC的边BC上的中线AO所在直线的方程是 x 0 这里的 曲线 指的是三角形ABC中BC的中线所在的直线x 0是这条曲线的方程 在理解什么是 曲线 时 要注意曲线是满足条件的图形 在理解 方程 时 要注意方程包含对其中未知数的限制 比如本例题中 三角形ABC中BC的中线的方程是x 0 0 y 3 注意 课堂练习 1 下列各组方程中表示相同曲线的是 A B C D D 2 已知直线l x y 3 0及曲线C x 3 2 y 2 2 2 则点M 2 1 A 在直线l上 但不在曲线C上 B 在直线l上 也在曲线C上 C 不在直线l上 也不在曲线C上 D 不在直线l上 但在曲线C上 B 3 曲线y x2与x2 y2 5的交点是 2 1 B 2 1 C 2 1 或 2 5 D 2 1 或 2 5 B 4 命题 曲线S上的点的坐标满足方程F x y 0 是正确的 则下列命题正确的一个是 A 方程F x y 0的曲线是S B 满足方程F x y 0的点都在曲线S上 C 曲线S是方程F x y 0的轨迹 D 方程F x y 0的曲线不一定是S D 5 方程4x2 y2 4x 2y 0表示的曲线是 一个点 B 两条互相平行的直线 C 两条相交但不垂直的直线 D 两条相互垂直的直线 C 6 经过两圆2x2 2y2 3x 4y 0与x2 y2 2x 6y 6 0的交点的直线方程为 7 P m 1 m 4 在曲线y x2 5x 3上 则m的值为 7x 8y 12 0 1或 5 8 点M在曲线y x 上 是 点M到两坐标轴距离相等 的条件 9 已知0 2 点P cos sin 在曲线 x 2 2 y2 3上 则 的值为 充分不必要 10 已知 ABC的面积为4