2018-2019学年高中数学_第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.2 平面与平面垂直的判定课件 新人教a版必修2

2 3 2平面与平面垂直的判定 目标导航 新知探求 课堂探究 新知探求 素养养成 点击进入情境导学 知识探究 1 二面角 1 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 这条直线叫二面角的 这两个半平面叫二面角的 图中的二面角可记作 二面角 AB 或 l 或P AB Q 棱 面 2 二面角的平面角 如图 在二面角 l 的棱l上任取一点O 以点O为垂足 在半平面 和 内分别作的射线OA OB 则射线OA和OB构成的 AOB叫做二面角的平面角 平面角是的二面角叫做直二面角 垂直于棱l 探究2 教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角 答案 可以构成三个二面角 如图所示 分别是 a c b 这三个二面角都是90 直角 2 平面与平面垂直 1 定义 一般地 两个平面相交 如果它们所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 平面 与 垂直 记作 直二面角 2 判定定理 另一个平面的垂线 探究2 过平面外一点 可以作多少个与已知平面垂直的平面 答案 无数多个 过平面外一点可以作平面的一条垂线 过此垂线可以作出无数个平面 这些平面都与已知平面垂直 自我检测 1 二面角 下列结论 1 两个相交平面组成的图形叫做二面角 2 异面直线a b分别和一个二面角的两个半平面垂直 则a b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补 3 二面角的平面角是从棱上一点出发 分别在两个半平面内作射线所成角的最小角 4 二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系 其中正确的是 A B C D B 2 判定定理 对于直线m n和平面 能得出 的一个条件是 A m n m n B m n m n C m n n m D m n m n 3 二面角 在二面角 l 的棱l上任选一点O 若 AOB是二面角 l 的平面角 则必须具有的条件是 A AO BO AO BO B AO l BO l C AB l AO BO D AO l BO l 且AO BO C D 4 面面垂直的判定 已知l 则过l与 垂直的平面 A 有1个 B 有2个 C 有无数个 D 不存在 C 5 二面角 三棱锥P ABC的两侧面PAB PBC都是边长为2的正三角形 AC 则二面角A PB C的大小为 答案 60 6 面面垂直判定定理 在三棱锥P ABC中 已知PA PB PB PC PC PA 则在三棱锥P ABC的四个面中 互相垂直的面有对 答案 3 题型一 求二面角 例1 如图所示 在正方体ABCD A B C D 中 课堂探究 素养提升 1 求二面角D AB D的大小 解 1 在正方体ABCD A B C D 中 AB 平面ADD A 所以AB AD AB AD 因此 D AD为二面角D AB D的平面角 在Rt D DA中 D AD 45 所以二面角D AB D的大小为45 2 若M是C D 的中点 求二面角M AB D的大小 解 2 因为M是C D 的中点 所以MA MB 取AB的中点N 连接MN 则MN AB 取CD的中点H 连接HN 则HN AB 从而 MNH是二面角M AB D的平面角 MNH 45 所以二面角M AB D的大小为45 方法技巧 1 二面角的平面角满足 顶点在二面角的棱上 两边分别在二面角的两个半平面内 两边分别与二面角的棱垂直 2 二面角的平面角 是两条射线所成的角 因此二面角不一定是锐角 其范围为0 180 即时训练1 1 已知D E分别是正三棱柱ABC A1B1C1的侧棱AA1和BB1上的点 且A1D 2B1E B1C1 求过D E C1的平面与棱柱的下底面A1B1C1所成的二面角的大小 解 如图所示 在平面AA1B1B内延长DE和A1B1交于点F 则F是平面DEC1与平面A1B1C1的公共点 于是C1F为这两个平面的交线 因而 所求二面角即为二面角D C1F A1 因为A1D B1E 且A1D 2B1E 所以E B1分别为DF和A1F的中点 因为A1B1 B1C1 A1C1 B1F 所以FC1 A1C1 又因为CC1 平面A1B1C1 FC1 平面A1B1C1 所以CC1 FC1 又因为A1C1 CC1为平面AA1C1C内的两条相交直线 所以FC1 平面AA1C1C 因为DC1 平面AA1C1C 所以FC1 DC1 所以 DC1A1是二面角D C1F A1的平面角 由已知A1D A1C1 则 DC1A1 45 故所求二面角的大小为45 备用例1 在四棱锥P ABCD中 底面是边长为a的正方形 PD 平面ABCD PD a 1 求证 AC 平面PBD 1 证明 因为四边形ABCD为正方形 所以AC BD 又PD 平面ABCD 所以AC PD 又PD BD D 所以AC 平面PBD 2 求二面角P BC D的平面角 2 解 因为四边形ABCD为正方形 所以BC CD 又PD 平面ABCD 所以BC PD 又CD PD D 所以BC 平面PCD 所以BC PC 所以 PCD为二面角P BC D的平面角 在Rt PCD中 因为PD DC a 所以 PCD 45 即二面角P BC D的平面角为45 3 求二面角P AC D的平面角的正切值 题型二 平面与平面垂直的判定 例2 1 如图 1 在四面体ABCD中 BD a AB AD CB CD AC a 求证 平面ABD 平面BCD 2 如图 2 在正三棱柱ABC A1B1C1中 D为BC的中点 点E在AC上 且DE A1E 求证 平面A1AD 平面BCC1B1 求证 平面A1DE 平面ACC1A1 证明 2 因为三棱柱ABC A1B1C1为正三棱柱 所以BB1 平面ABC 又AD 平面ABC 所以AD BB1 又D为BC的中点 所以AD BC 又BC BB1 B 所以AD 平面BCC1B1 又AD 平面ADA1 所以平面A1AD 平面BCC1B1 因为三棱柱ABC A1B1C1为正三棱柱 所以AA1 平面ABC 又DE 平面ABC 所以AA1 DE 又DE A1E A1E AA1 A1 所以DE 平面ACC1A1 又DE 平面A1DE 所以平面A1DE 平面ACC1A1 证明 因为三棱柱ABC A1B1C1为正三棱柱 所以AA1 平面A1B1C1 又FB1 平面A1B1C1 所以AA1 FB1 又 A1B1C1为等边三角形 F为A1C1的中点 所以B1F A1C1 又A1C1 AA1 A1 所以B1F 平面ACC1A1 又B1F 平面AB1F 所以平面AB1F 平面ACC1A1 变式探究 若本例中 2 改为在正三棱柱ABC A1B1C1中 F为A1C1的中点 求证 平面AB1F 平面ACC1A1 方法技巧判定两平面垂直的常用方法 1 定义法 即说明两个平面所成的二面角是直二面角 2 判定定理法 其关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直 即把问题转化为 线面垂直 3 性质法 两个平行平面中的一个垂直于第三个平面 则另一个也垂直于此平面 即时训练2 1 如图所示 已知 BSC 90 BSA CSA 60 又SA SB SC 证明 法一 利用定义证明 法二 利用判定定理 因为SA SB SC 且 BSA CSA 60 所以SA AB AC 所以点A在平面SBC上的射影为 SBC的外心 因为 SBC为直角三角形 所以点A在 SBC上的射影D为斜边BC的中点 所以AD 平面SBC 又因为AD 平面ABC 所以平面ABC 平面SBC 备用例2 2018 石家庄期末 如图 四棱锥P ABCD中 底面ABCD为矩形 E为PD的中点 若PA 平面ABCD PA AD 求证 平面AEC 平面PDC 证明 因为PA 平面ABCD CD 平面ABCD 所以PA CD 又AD CD 且AD PA A 所以CD 平面PAD 又AE 平面PAD 所以CD AE 因为PA AD E为PD中点 所以AE PD 又CD PD D 所以AE 平面PDC 又AE 平面AEC 所以平面AEC 平面PDC 备用例3 如图 在三棱柱ABC A1B1C1中 侧棱垂直于底面 AB BC AA1 AC 2 BC 1 E F分别是A1C1 BC的中点 1 证明 因为在三棱柱ABC A1B1C1中 侧棱垂直于底面所以BB1 AB 又因为AB BC BB1 BC B 所以AB 平面B1BCC1 因为AB 平面ABE 所以平面ABE 平面B1BCC1 1 求证 平面ABE 平面B1BCC1 2 求证 C1F 平面ABE 3 求三棱锥E ABC的体积 题型三 线面垂直 面面垂直的综合问题 思考 如何作二面角的平面角 提示 作二面角的三种常用方法 1 定义法 在二面角的棱上找一个特殊点 在两个半平面内分别作垂直于棱的射线 如图 则 AOB为二面角 l 的平面角 2 垂直法 过棱上一点作棱的垂直平面 该平面与二面角的两个半平面产生交线 这两条交线所成的角 即为二面角的平面角 如图 AOB为二面角 l 的平面角 3 垂线法 过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线 垂足为B 由点B向二面角的棱作垂线 垂足为O 连接AO 则 AOB为二面角的平面角或其补角 如图 AOB为二面角 l 的平面角 例3 如图 在三棱锥P ABC中 PA 平面PBC PA PB 2 PC 4 BC 2 1 求证 平面PAB 平面ABC 2 E为BA的延长线上一点 若二面角P EC B的大小为30 求BE的长 方法技巧 1 证明垂直关系时要注意利用线面垂直 线线垂直 面面垂直之间的转化 2 求二面角的大小的关键是作出二面角的平面角 这就需要紧扣它的三个条件 即这个角的顶点是否在棱上 角的两边是否分别在两个半平面内 这两边是否都与棱垂直 在具体作图时 还要注意掌握一些作二面角的平面角的方法技巧 如 线面的