点集拓扑思考题.doc

一、 填空 当X=1,2,3，则T = 1,2, 是X的一个拓扑。T = , X ,1 , 2 ,1,2 2. 一拓扑空间，A包含于X，x属于X。如果对于任何U属于Ux，有 _ U(A-x)_，则称点是集合的一个凝聚点。3. 空间R中，所有_有限开区间构成的集_是R的一个基。4.X是一集合，S 是X的一个子集族，即S P (X)，如果_X=Us属于s S 则X有唯一的一个拓扑以S 为子基。5.X是拓扑空间，xX，如果B是X的一个基，则 _ B x=BB | xB _是X是一个邻域基。6. X为 _有限_集时，X的有限补拓扑是离散拓扑。7._ 子集A和B是隔离的_的充分必要条件是A与B无交且其中任何一个不含另一个的凝聚点。8.一个局部连通_空间等价于X有一个基，它的每个元素都是连通的。9.数空间R的一个子集包含着不少于两个点，则A是_连通子集_A是一个区间。10. 从任意拓扑空间到 _平庸_空间的映射都是连续的。11. Y是拓扑空间X的一个子空间，yY，如果V Y 是y在X中的一个邻域基，则 V y|Y 是y在Y中的一个邻域基.12. Y是拓扑空间X的一个子空间。如果B 是X的一A基，则 B|Y 是Y的一个基.13.X,Y是两个集合，则f : XY是 单 射当且仅当A,B X , f (AB) = f (A)f (B)。14.A是拓扑空间X的子集，则_ Ad(A)_叫做集合a的闭包。15.是拓扑空间，如果X中有一个可数稠密子集，则称X是一个可分空间。16.扑空间X中任意两个不相同的点中，每一个点都有一个邻域不包含另一个点，则X一定是_ T1 _空间。17.扑空间，是的，则映射f : XY连续对每一点xX ，如果_如果X中的序列xi收敛于xX _则Y中的序列 f (xi)iZ+收敛于f (x)。18.拓扑空间必定是某一个_紧致空间 空间的开子空间。19.紧致空间X的每一个_具有有限交性质_的闭集族都有非空的交。20. 设F是X的所有闭集构成的集族，则F_一个凝聚点的并仍是的闭集。21. 如果X是T1空间，则点x是X的子集A的 F的有限个元 对x的每个邻域U，UA是无限集。22.集合A的内部等于_包含于A的所有_开集之并。23. B是拓扑空间(X,T)的_一个基_当且仅当对每一个x属于X和，存在VB使x 属于V包含于U。24. 设是拓扑空间，每一个_连续映射f：0,1X _叫做X中的一条道路。25.X,Y是拓扑空间，X是的，如果映射f : XY是一个 满的连续开映射 映射，则也是的。26._ 局部连通_空间的任何开集的任何一个连通分支是开集。27. X是平庸空间，则它的拓扑T = , X ； ; X是离散空间，则它的拓扑T = P(X) 28. 度量空间 空间中的任何一个收敛序列只有唯一的一个极限点。29. 设X是一个拓扑空间，AX ,则A是闭集 A是开集 。30. x A的导集 对x的任何一个邻域U，UA。31. 设X是一个拓扑空间，AX , 则A是开集 A=A 32. X是拓扑空间，AX , xX 。则x 33. 设A是度量空间(X, )中的一个非空子集，则x d(A) (x,A-x) =0 。34.X是一个 度量 空间时，A包含于X , 则点xX是A的一个凝聚点在集合A-x中有一个序列xiiZ+ 收敛于x 35. 设X,Y是两个拓扑空间，如果 f：XY连续 则X中的序列xiiZ+ 收敛于x蕴涵Y中的序列f(xi)iZ+收敛于f(x)。36. .设是拓扑空间，Y是一个集合，f : XY满射，则T1= T 1=UY | f-1(U)T 称为Y的相对于满射f而言的商拓扑。37. 一个拓扑空间X如果 在它的每一点处有一个可数邻域基 ，则称它为满足第一可数性公理的空间。38.B是拓扑空间(X,T )的基当且仅当对每一个和， 存在Vx B ，使得xVx包含于U 。39.设是拓扑空间Y 的一个基，（X,T）是拓扑空间。则f : XY连续对每个BB ，有 _ 原像f-1(B)是X中的一个开集_ 。40.实数空间R中， S = 是R的一个子基。 41. X是一个拓扑空间，如果对于任何点xX和x的任何一个开邻域U，存在x的一个开邻域V使得，则X是 一个正则空间 空间。42.若对拓扑空间X的任何两个不交的闭集A和B，存在连续映射f： Xa,b使得当xA时f(x) = a ，和当xB时f(x) = b ，则X是一个正规空间。43.拓扑空间X是一个 一个可分的度量空间 充分必要条件是X是一个满足第二可数性公理的T3空间。44. 从紧致空间到 hausdorff 空间的任何一个连续映射都是闭映射。45.X是一个 局部连通空间 拓扑空间X有一个基，它的每一个元素都是连通的。46. 拓扑空间X中包含点x的 连通分支 是包含点x的最大的连通子集。47. 如果X是 只有有限个连通分支 空间，则X的连通分支既是开集又是闭集.48. 设X是连通空间，f : XR连续，则f(X)是R中的 一个区间 。49. E是实数空间R的一个子集，则E是一个连通子集E是_ _区间_。50. n维欧氏空间Rn的任何一个 连通开集 都是道路连通的。51.X是拓扑空间，A、B X 。如果 （A）（B）= 则称A,B是X的两个隔离子集。52. X是一个 只有有限个连通分支 空间时，X的每一个连通分支既是开集又是闭集。53. 度量 空间中，任何一个收敛序列的极限点是唯一的。 54. X是一个 正规 空间，当且仅当对于任何一个闭集AX和A的任何一个开邻域U，存在A的一个开邻域V使得。55. 若对拓扑空间X的任意一点x和不包含x的闭集B，存在连续映射f： . f：X0,1使得f (x) = 0 以及对于任何yB有f (y) = 1 ，则X叫做完全正则空间。56. 拓扑空间X是一个可分的度量空间的充分必要条件是X同胚于 Hilbert空间 的某一子空间。57. 从 空间到Hausdorff空间的任何一个连续映射一定是同胚映射。58. 设X是一个拓扑空间，AX , xX 。如果对于x的任何一个邻域U有 UA,且UA ,则称x是A的一个边界点。59. 在度量空间中，_所有球形领域_ 构成的集族是这个度量空间的一个基。60.设X是n个拓扑空间X1, X2 ,，Xn 的积空间，B i是Xi 的基（i=1,2,n）。则X的子集族B * = 是X的一个基。二、选择填空题1、设是拓扑空间，AX，则 _不是A为闭集的充要条件。 A是开集； ； ； d (A)A。2、是拓扑空间，则_不是AT 的充要条件。 ； $A T 使A=UA U； ； 若xA，则，（是x的邻域）。3、以下结论正确的是 。连通空间一定是局部连通空间； 局部连通空间一定是连通空间； 道路连通空间一定是连通空间； 道路连通空间一定是局部连通空间。4、实数空间R不是 空间。 Hausdorff； 连通； 正规； 可数紧致。5、以下结论不正确的是 。 度量空间是T4空间； Tychonoff空间是Hausdorff空间； 完全正则空间是正则空间 ； 正规空间是Hausdorff空间 。6、设是拓扑空间，如果对于X中的任何两个不相交的闭集A,B总存在连续映射f ：X0，1使得xA时使f (x) = 0 , yB时f (y) = 1，则这样的空间X是 空间。 Hausdorff； Lindeloff； Tychonoff； 正规。7、以下关系 不正确。 可数紧致序列紧致； 序列紧致可数紧致； 可数紧致列紧致； 可数紧致+ Lindeloff性 紧致。8、局部紧致空间中，以下关系 不成立。 Tychonoff 空间 Hausdorff空间； 完全正则空间 正则空间； 完全正则空间 Tychonoff空间； 正则空间 + T1空间 T3空间。9、以下空间中 不是连通的空间。至少含两个点的离散空间； 平庸空间； 实数空间; 含无限多个点的有限补空间。 10、以下空间中 不是正则的空间。 离散空间； 实数空间； 度量空间； 含不可数多个点的可数补空间。11、设X是拓扑空间，A、B X，则下列条件中 _不一定成立。 若AB，则d(A)d(B) ； d (AB) = d (A)d(B) ； d (AB) = d (A)d(B) ； d(d (A) Ad(A) ；12、设X,Y是拓扑空间，映射f：XY在以下 条件下不一定连续。Y是平庸空间; X是离散空间; 存在yY，对任何xX , f(x) = y; Y是实数空间。13、设X是拓扑空间，Y是X的子空间，以下结论 不正确。 分别记T和T * 是X,Y的拓扑，则T * =T |Y ； 分别记F和F * 是X,Y的闭集族，则F * =F |Y ； 分别记B和B * 是X,Y的基，则B * =B|Y ； 如果yY ，V y 是y在X中的邻域基，则V y|Y是y在Y中的邻域基。14、离散拓扑空间是 空间。 紧致； Lindeloff； 可分； 可度量化。 15、以下结论正确的是 。 Hausdorff空间是T1 空间； Hausdorff空间是正则空间； 完全正则空间是正规空间； 完全正则空间是Tychonoff空间。16、以下结论 不正确。 A2空间是Lindeloff空间； A2空间是可分空间； 可分的度量空间是A2空间； 可分空间是Lindeloff空间17、X是 空间时，任取xX和不含x的闭集A，不一定存在连续映射f ：X0，1使得f (x) = 0 , yA时f (y) = 1。 T3； T4； T3.5； 完全正则空间。18.在紧致空间中，以下关系 不正确。 T4空间T3.5 空间； T3空间T2 空间； 正则空间完全正则空间 完全正则空间正规空间。 19.以下空间中 不是局部紧致。离散空间； n维欧氏空间； 有限补空间； T2但非正则的空间。20.设, X,Y是两个集合，f：XY, 则下列几项中， 不一定成立。 对任意，A f -1(f (A) ； 对任意B Y，B f (f -1 (B) ; 对任意B Y，B = f (f -1 (B)； 对任意A, B X, f (AB)= f (A)f (B)。 21. 以下映射中， 不一定连续。 同胚映射f : XY； 单射f : XY； 常值映射 f :XY； 商映射p: XX/R 。22. 设X是拓扑空间，AX，以下关系中 _ _ 不一定成立。 ； ； ； 。23.以下结论正确的是 .连通空间一定是局部连通空间； 局部连通空间一定是连通空间； 道路连通空间一定是连通空间； 道路连通空间一定是局部连通空间。24.以下空间中， 不一定有可数基。实数空间R； 平庸空间； n维欧氏空间Rn ； 离散空间 。 25. 若是Hausdorff空间，则以下结论中， 不一定成立。是T2空间；是T1空间；是Lindeloff空间；X的收敛序列只有一个收敛点。 26. X=1,2,3，T =，1,2,3，1，2,3 ，则X不是 空间。 T1 ； 正则； 正规 ； 完全正则。 27. 以下关系， 不一定成立。 完全正则空间正则空间； 正则的Lindeloff 空间正规空间； 正规的正则空间Tychonoff空间； 正则的Lindeloff空间完全正则空间。 28.实数空间不是 空间。 A2 ; 可分 ； Lindeloff ； 紧致 。 29、设, X,Y是两个集合，f：XY, 则下列几项中， 一定成立。 对任意B Y，B f (f -1 (B) ； 对任意，A X ，A = f -1(f (A); 对任意A, B X, f (AB)= f (A)f (B)； 对任意，f (X-A)= f (X) - f (A)。 30. 以下映射中， 不一定连续。 满射f : XY； 单位映射f : XY； 商映射 f :XY；投射pi: X1X2Xi (i=1,2)。31. 设是拓扑空间，A, B X ，则下列各项中 _ _ 不一定成立。 ； ； ； 。32. 拓扑空间X中不存在既开又闭的真子集，则X是 空间. 道路连通； 局部连通； 连通； 连通且道路连通。33. 以下空间中， 不一定满足第一可数性公理。 度量空间； A2空间； 离散空间； 可数补空间 。 34. 若是一个包含无限多个点的有限补空间，则X是 。 T1空间； Hausdorff空间； 正则空间； 正规空间 。 35以下空间中， 是完全正则空间。 正则且正规的空间 ； 正则空间； 正规空间 ； Hausdorff空间 。 36. 以下判断， 不正确。 T1的正则空间完全正则空间； A2 的正则空间完全正则空间； Lindeloff的正则空间完全正则空间； 正规的正则空间完全正则空间。 37.度量空间一定是 空间。 A2 空间 ; 可分空间 ； T4空间 ； 紧致空间。 38.设是拓扑空间，则的充要条件是对任意的有_。.UV . U(A-x) UV = . U(A-x) = 39.设是实数空间R中的有理数集，则_。 . Q . R . Q40.下面结论不正确的是_。.连通空间一定是局部连通的； .道路连通一定是连通的；.空间一定是A1空间； . A2空间一定是可分空间。41.对实数空间R，_判断是不正确的。. 是连通且局部连通的；.是的也是的；. 是可分的 . 不是Lindeloff空间42.下列性质中，_不是拓扑空间的可遗传性质。. 离散性 . 平庸性 . 连通性 . 满足第一（第二）可数公理43.以下空间中，_不一定满足第一可数性公理。. 度量空间 . A2空间 .离散空间 . 可数补空间44.离散空间不一定是_。. 紧致空间 . 局部连通空间 . 局部紧致空间 .仿紧致的空间 45. 满足以下条件的空间中，_空间不一定是正规空间。. 紧致的正则 . 仿紧致的正则 . 仿紧致的Hausdorff . 紧致的T146.满足第二可数性公理的空间不一定是_。 .度量空间 . A1空间 .Lindeloff空间 可分空间47.设(X,T )是含不可数多个点的可数补空间，是的不可数集，则_。. A . A . X .或A48.X是拓扑空间，则下面_不是X为正规空间的充要条件。. 对X的任何两个不交的闭集A、B，都分别存在开邻域U、V，使UV=；.对X的任意两个不交的闭集A、B，存在连续映射使xX时时，；.对X的任意一个闭集A和任何一个连续映射f：Aa,b，存在连续映射g：Xa,b是的扩张；.对X的任一点和不含的闭集A，存在连续映射f：X0,1，使， 时，f (y) = 1。49.以下判断_是不正确的。 T1的正则空间是完全正则空间； .每一个的正则空间是完全正则空间；. Lindeloff的正则空间是完全正则空间；每一个正规且正则的空间是完全正则空间。系别_年级_专业_班级_姓名_学号_-装-订-线-线-订