初中数学学习的“第一分化点”归因分析及教学策).doc

】初中数学学习的“第一分化点”归因分析及教学策 内容摘要：在初中数学教学中存在这样一些内容：这些内容的学习过程非常容易导致学生产生成绩分化，笔者将其归纳为“分化点”，在不同的知识模块中“分化点”的数量是不唯一的，但是“第一分化点”最值得重视，因为它不仅影响到相关联的后续课程的学习，更严重的是如果“第一分化点”的内容没有学好将会挫伤学生的锐气和自信心。为此笔者认为要着重研究“第一分化点”。初中数学的知识体系可以大致分作数与代数、方程与不等式、函数、三角形与四边形、相似形、圆、概率统计这样七个模块，在这些模块中，笔者选取了前面五个模块，对这些知识模块中中的第一分化点内容、第一分化点的产生与学生的认知规律和教师的教学行为间的关系、为避免第一分化点教师应该采取的教学策略等方面内容逐一加以研究和阐述。关键词： 分化点 第一分化点 教学策略从事过多年数学教学的老师们都知道这样一个事实：初中数学教学中总有一些内容无论哪一届学生遇到它都会犯错误，而且是同样类型的错误，比如“互为相反数的两数相加”、“用数形结合思想解决函数问题”、“相似三角形的对应关系”等等，这些错误会直接导致学生学习成绩的分化，久而久之，这些似乎已经成了一些约定俗成的成绩“分水岭”，笔者将这些分水岭称之为“分化点”。初中数学与小学数学相比，知识的深度、广度，能力要求都是一次飞跃。这就要求必须扎实掌握基础知识与基本技能为进一步学习作好准备。初中数学很多地方难度大、方法新、分析能力要求高如从非负数到有理数的数的拓展过程，从一维空间向二维空间过度的函数问题，从三角形向相似性的认识过程等等，客观上这些内容对学生的思维要求有一个飞跃的过程，要求学生从感性思维向理性思维转化，这个思维转化的过程也就导致了成绩的分化，即产生了“分化点”。“第一分化点”的概念一：分化点数学教学分化点，是指在进行数学教学的过程中，学生感到难以接受和运用，以往学习中的薄弱环节偏偏又易于明显暴露出来，而教师也感到教材难以处理和教学效果难以提高的某些内容。分化点有这样三个特点：1、处于分化点的内容往往在学生的知识结构中起到承上启下的作用；2、处于分化点的内容往往是导致学生成绩两极分化的关键因素；3、在不同的知识模块中，分化点不一定唯一存在，多数情况下分化点是系列存在的。二：第一分化点第一分化点就是指在不同的知识模块中产生的系列分化点中处于起点位置的分化点。第一分化点有这样的特点：1、第一分化点处于一个与以往不同的新知识模块中；2、第一分化点的有效解决对学生已有的知识基础的要求相对较低；3、第一分化点的解决程度将直接导致次生的系列分化点的产生程度。教学的实践表明，每一个学困生的产生，都可以追溯到是从某个知识转化点尤其是第一分化点开始的。一个分化点未解决，又加上第二个、第三个，这许多个分化点的累积，就造成了学困生。因此，这第一个分化点是一个可怕的分化开端，它不仅影响到有联系的后继课程，更严重的是能够挫伤学生的锐气和自尊心。为此笔者认为要着重研究第一分化点。三：次生分化点由于“第一分化点”的产生以及知识模块的不断增加发散等原因，还会产生或多或少的新的分化点，笔者将这部分分化点称为次生分化点，具体可细化为第二分化点、第三分化点等等，本文不做研究。“第一分化点”的研究对象在初中数学学习的过程中，根据学生的学习能力的不同可以将学生分为绩优生、中档生、薄弱生，不同程度的学生产生分化点的知识内容是不同的，就数学教师而言，中档生在班级内是人数最多的一个群体，中档生的学习水平分化将直接导致班级的各种统计数据产生变化，也会直接影响一个班集体的学习心理的变化，因而本文的研究对象定位在中档生的学习能力的分化。为了研究“第一分化点”问题，笔者曾经对学生做过个案访谈，下面是学生陈X的访谈个例：初二学生陈X，数学成绩处于班级后30%层面，学习主动性较差，自信心不足。他这样说：“其实在小学阶段我的数学水平在班级里处于中段，虽然不优秀但也还好。当我满怀热情来到初中里很快就受了几次打击，初一时学习有理数的计算我一直弄不清楚异号两数相加减的问题，等我还没学清楚这一章就结束了，结果可想而知。接下来的学习中我都会遇到搞不清楚的问题，这样的问题越积越多我的学习也就越来越没有信心了”处于初中阶段的学生们正处于由感性思维向理性思维过渡的重要阶段，他们的思维已经开始具有理性思维的特征，但同时又没有完全摆脱小学阶段的感性思维模式，在有思维深度的问题面前，一部分学生往往会驻足不前，不愿多加思考、害怕思考，或者是没有方向感，不知向哪里去寻求突破，很容易导致学习成绩的分化。对第一分化点的归因分析及教学策略研究笔者认为，初中数学学习能力的差异主要是由不同知识模块中的分化点所导致的，本文将着重就不同知识模块中“第一分化点”的生成原因、分化点的解决对策等方面进行对“第一分化点”的分析，从而能改进学生的学习方法，提升学生的课堂学习效率。初中数学的知识体系可以大致分作数与代数、方程与不等式、函数、三角形与四边形、相似形、圆、概率统计这样七个模块，在这些模块中，笔者选取了前面五个模块，对这些知识模块中中的第一分化点内容、第一分化点的产生与学生的认知规律和教师的教学行为间的关系、为避免第一分化点教师应该采取的教学策略等方面内容逐一加以研究和阐述。在教学实践过程中，笔者一直有做课后反思的习惯，将多年的相同知识模块下的教学反思进行归纳对比后笔者发现并总结出了不同知识模块下的第一分化点的具体内容。同时，笔者将总结出的不同模块下的第一分化点的内容向有丰富教学经验的本校和外校的64位同行进行验证，并与本校三个年级80名已产生成绩分化的学生进行座谈调查，也得到了一致的结论： 教师所选的“第一分化点”内容 学生所选的“第一分化点”内容在同行和学生所提供的数据的基础上，笔者将自己对第一分化点的研究列为一张表格：初中数学教学中第一分化点一览表知识模块第一分化点分化点的产生原因策略（附案例分析）第一知识模块：数与代数产生于有理数部分“异号两数相加”学生方面：思维特征过于感性定势思维的“负迁移作用”教师方面：教师的“角色分化”过分追究对加法原理的理解因势利导引进生活经验第二知识模块：方程与不等式产生于应用题部分“通过列方程寻找等量关系”学生方面：方向感不明确、挫败感累积梳理数量关系困难教师方面：“学困生忽略”现象忽视归类提升万变不离其宗善于划归第三知识模块：函数产生于数形结合部分“建立平面直角坐标系”学生方面：依赖老师、被动学习学习方法发生“错位”教师方面：提前定位，经验主义死记硬背，机械模仿同伴互助合作学习第四知识模块：三角形产生于等腰三角形部分“等腰三角形的分类讨论”学生方面：缺乏重视重心偏离、忽视变式教师方面：回避挫折授给学生的是“鱼”而非“渔”借题发挥分类讨论第五知识模块：相似三角形产生于相似三角形部分“寻找对应关系”学生方面：“轻敌”心理方法与技巧障碍教师方面：急于求成忽视“错误”化腐朽为神奇借助“纠错”的力量下面笔者将对表格中所列出的第一分化点从“分化点内容”、“产生分化点的归因分析”、“应对第一分化点的教学策略及案例分析”等方面进行具体阐述。一、对第一知识模块“数与代数”部分的第一分化点的研究（一）第一分化点的内容异号两数相加从“数与代数”这一知识模块来看，第一分化点在初一上学期“有理数的加法”这里就会产生，那么是什么造成了有理数加减法的困难呢？我们不妨在初一年级做个小小的调查：笔者调查了初一年级其中四个班级的数学作业，发现在第2.1节一号作业本的5-6页内容中，凡是出错的作业，近83.7%都是由于“异号两数相加”时而产生的错误，可见之所以“有理数相加”会出现分化，其真正原因是“异号两数相加”不过关所造成的。虽然中学里“异号两数相加”只属于基本计算问题，从初中三年的知识体系来看只占了微乎其微的一小部分比重，可是由于这部分内容处于初中学习的起步阶段，对学生产生的影响远远不止这一节内容，如果这部分内容不过关，它可能击溃的是初一新生对初中学习的美好向往。应该说这次分化对学生的心理层面的影响更为严重。在前面的调查中有98%的学生认为“异号两数相加”是造成“第一分化点”的原因也印证了这一分析。（二）产生分化点的归因分析 1、产生分化点的学习心理归因思维特征过于感性。刚刚步入中学校园的初一新生们正是处于感性思维向理性思维过渡的培养阶段，而皮亚杰的理论也认为：“学生每一阶段都有其独特的认知图式，这些相对稳定的图式决定了个体行为的一般特征”。因而许多刚刚步入初中的学生们还难以适应初中阶段纯粹的数学运算。尤其又经历了数的范围的拓展过程，让一部分学生更加难以适应。2、产生分化点的学习方法归因定势思维的“负迁移作用”。由于知识结构不完整或者是认知能力较差等缘故，对于一部分学生而言，在他们的头脑中有着根深蒂固的正数的概念，已经让学生们对于数的运算产生了定势思维，这种原有的定势思维对有理数的计算反而产生了“负迁移作用”。因此学生会对于新出现的负数难以适从，搞不清楚正数为什么可以和负数相加？加法就是加法，为什么还要绝对值相减？加上一个负数为什么就等于减掉一个正数？这些问题让一些学生纠结不清，因而很难保证异号两数相加的准确性。3、教师的教学心理归因教师的“角色分化”。在新初一阶段，教师们很容易因为“角色分化”而延续定势思维，教师的定势思维主要来自于对上一届初三毕业生的教学过程。在中学阶段，绝大多数老师都是三年一个循环，周而复始的教学，往往是送走初三迎来初一，所以，教师如果没有从初一学生的认知角度出发，还保持着对对初三学生的延续性认识，那么势必会影响初一年级的教学工作。4、教师的教学方法归因过分追究对加法原理的理解。在“异号两数相加”的计算中，计算的流畅性是关键的，计算流畅性的重要组成部分是效率和正确性。往往大家都以为数学需要先理解后记忆，其实有些数学知识恰恰相反学要先记忆后理解，比如大家最熟练的“九九乘法表”，同样“异号两数相加”也需要记忆，最终目的形成直觉，能够准确记忆和熟练运用。数学需要记忆，只有良好的数学记忆，才能获得深刻的理解，学生将在不断实践中加深理解。因此，在这一章的教学中，老师们很容易过分追究对加法原理的理解而影响了充分的运用时间导致效率低下，直至产生分化点。（三）应对第一分化点的教学策略及案例分析1、应对第一分化点的策略：因势利导引进生活经验。由于初一新生的思维特征更加倾向于感性思维，如果生硬的教给学生异号两数的加法原理，不但学生学不清楚，更加会影响学生的学习热情，针对这样的思维特征，应该引进生活经验以因势利导，调动学生的学习兴趣，使得学生能够为抽象的数学找到具体的形象的原型，增进数学理解。帮助学生实现从感性思维向理性思维顺利过渡。那么该如何引进生活经验呢？我们再来看看异号两数的相加原理：正负数的加减运算，规则很多，实际上的生活原型是“抵消”。那么，通过应用生活中的“抵消”类型问题进行数学教学有助于激发学习动机和导入教学。实现从感性向理性的飞跃。实践证明，这些活动能够非常有效的调动学生的学习潜能，并对培养学生的创新精神和实践能力起到积极地促进作用。2、【案例分析一：引进生活经验解决“异号两数相加”所产生的分化点问题】在进行“异号两数相加”这一节课的教学时，应注重充分利用“抵消”类型的生活原型对理解的促进作用，教师根据学生列出的算式及结果，分组讨论，用自己的语言叙述异号两数相加的方法，教师归纳法则，并指出建立有理数加法的必要性和法则的合理性。下面的表格所罗列的就是以生活经验为载体的“异号两数相加”这一节课的设计思路：“抵消”类型的生活原型建模列式本质例1：足球比赛（球赛是学生所熟悉和喜爱的运动项目，可以通过这一例子调动学生的主动性，激起经验的“正迁移”作用。）第一场净胜3球，第二场净负2球，问两场比赛后，该足球队合计胜几球?3+（-2）异号两数相加，取较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。例2：仓库进货出货（进货和出货是最为直观的“抵消问题”，对于帮助学生理解异号相加十分有帮助。）一个仓库周一进货15吨，周二出货10吨，进货2吨，求仓库内的货物量。15+（-10）+2例3：存款、取款（存款、取款是社会生活中必不可少的一个重要部分，而且规则清晰，这个例子也十分有利于帮助学生建立正确的“异号两数相加”的数学模型。）小明原来在银行存有零用钱150元，上个月取出了85元，这个月计划再存人50元，请用有理数的加法计算：(1)到上月底小慧在银行还有多少存款?(2)到这个月底小慧将有多少存款?（1）150+（-85）（2）150+（-85）+50例4：请同学再举一些生活中的实例，促进本节课知识的“内化”，同时得出“异号两数相加”的法则。例5：在建模的基础上，脱离经验，使用法则进行训练。脱离生活原型(1) (-11)+(-9)； (2) (-3.5)+7；(3)(-1.08)+0； (4)0+4+（-6） 教学实践表明，教师要克服“角色分化”的心理，注意不要过分追究加法原理，针对初一新生的思维特点，将数学问题直接指向学生已有的生活经验和知识背景，将大大增强学生对数学语言的亲切感和理解力，激起学习的兴趣和自信心，促进学习的理解，从而更好地完成抽象数学知识的建构。二、对第二知识模块“方程与不等式” 部分的第一分化点的研究（一）第一分化点的内容解应用题时如何确立等量关系。由于学生们在小学阶段就已经学习过解一元一次方程，因此初中教材里解方程的笔墨并不是很重，但是对“列方程解应用题”的要求却是大大提高，目前初中教材中已经很难觅到传统意义上的三大类问题：行程问题、浓度问题、工程问题，取而代之的都是各种各样的新型应用题，因而初中阶段学习方程内容时，解方程并不是难点，真正的难点却是在解应用题时如何确立等量关系。值得思考的是在调查中有90%的教师认为“确立等量关系”是“第一分化点”，而学生却100%认为这是“第一分化点”。（二）产生分化点的归因分析1、产生分化点的学习心理归因方向感不明确、挫败感累积。在有思维深度的问题面前，部分学生由于没有建立起良好的思维习惯，头脑中没有完整的知识脉络，而应用题的特点又是背景繁杂多样，因此见到新问题后不能迅速转化为已有的知识经验，导致在寻找等量关系时没有方向感，不知从何处着手，不知向哪里去寻求突破。还有一部风学生由于经历过太多的失败，导致了挫败感的积累，从而驻足不前，不愿多加思考、害怕思考。究其原因，是“如何确立等量关系”这一难点没有突破。2、产生分化点的学习方法归因梳理数量关系困难。列方程解应用题的一般步骤是：理解问题-制定计划-执行计划-回顾，在这几个环节中，“理解问题”是一个难点，为什么这个环节会造成困难呢？究其根本是因为应用题中的数量关系无法准确梳理清楚造成的，因而导致学生无法通过问题看清数学本质，所以难以适度发散思维解决问题。3、教师的教学心理归因“学困生忽略”现象。在应用题教学过程中，教师经常会产生“学困生忽略”现象，就是不知不觉受到了中上段学生的牵制，将对于中上学生认知水平的认识延续到了中下段学生。上段学生思维灵活，把对这部分学生的认知转移到了理解能力一般的学生身上。课堂里只要有学生在呼应，就以为问题已经解决了。4、教师的教学方法归因忽视归类提升。在应用题教学中，如果教师在课堂中仅限于对题目的罗列，缺少归纳、总结和提升，那么学生的思维水平得到的提升就会十分有限，因此，教师要注重知识的生成原理的剖析，帮学生建构知识网络，不能仅限于“解题”教学，要教给学生“窥一斑而见全豹”的本领。（三）应对第一分化点的教学策略及案例分析1、应对第一分化点的策略：万变不离其宗善于划归。针对学生的心理特征和思维特点，在进行应用题教学时教师应该采用划归思想帮助学生迅速将新知识纳入已有的知识体系。划归思想是一种常用的数学思想方法，它是根据已有的知识经验把问题进行转化，转化为已经解决或容易解决的思想方法。尤其是在寻找等量关系时，学会抛开繁杂多样的应用题背景，透过表面看本质，寻找每一道题目的数量间的内在关系，从而正确解决问题。下面笔者就一个案例进行分析。2、【案例分析二：利用划归思想解决“二元一次方程组”中的分化点问题】在应用题教学中，需要通过列二元一次方程组来解决的应用题是比较繁杂的一类问题，这类问题由于数据较多、数量关系交叉复杂，学生感觉这类题目很难，感觉无从下手，这个分化点很难突破。在实际教学过程中如果采用列表法来分析问题，就可以有效帮助学生提高分析问题和解决问题的能力，而这些能力的形成，无疑是拿到了解决实际问题的“金钥匙”，这一类问题都可以采用表格法来解决，从而有效避免这个分化点所带来的成绩分化。问题划归为表格解说明问题一：有边长为15的正方形纸板2000张和长45宽15的长方形纸板1000张，用这些纸板拼成两种无盖的盒子（接缝不计），可以拼几个盒子？竖式盒子（x个）横式盒子（y个）总计长方形4x3y2000正方形x2y1000略通过对这个问题的解决，帮助学生分析数量关系，让学生自觉地得出两条等量关系：盖式纸盒中正方形的张数横式纸盒中正方形的张数1000张，竖式纸盒中长方形的张数横式纸盒中长方形的张数2000张问题二：广东某果农预计今年水果会大丰收，估计收获荔枝30吨，香蕉12吨。该果农打算把水果贩运到杭州销售，他联系了两种汽车来运输这批水果，甲车可以每车装4吨荔枝和1吨香蕉，运费为每辆车1000元，乙车可以每车装2吨荔枝和2吨香蕉，运费为每辆车900元，请帮该果农算一算，他需要租每种运输车各几辆刚好将水果运完？他需要支付多少运输费？荔枝香蕉费用甲车（x）4xX1000x乙车（y）2y2y900y总计30t12t1000x+900y略1、提示学生表格的重要作用：总量等于分量之和。2、如果题目没有表格，那就要迅速识别分量和总量并注意排除干扰因素。3、本题与问题一其实没有本质上的区别，利用表格来梳理数量关系后发现可以将以上两个问题划归问同一类问题。问题三：其它问题（本质不变）略略这几道题目尽管内容不同，但数学本质相同，遇到同种类型的应用题，均可以采用表格法加以突破。甚至可以发散：其实在实际生活中，并不是每一个问题都有确定的分量或总量，会出现某些未知的数量需要讨论。比如。竖式盒子（x个）横式盒子（y个）总计长方形4x3ya正方形x2y10发散1、若已知有10张正方形纸板，则a为多少时，可以将纸板恰好用完？竖式盒子（x个）横式盒子（y个）总计长方形4x3y1001正方形x2y500发散2、长方形纸板每张5元，正方形纸板每张2元，怎样利用，可以使浪费最少？针对学生的学习特点和思维特点，教师应克服“学困生忽略”心理，多关注学生，交给他们梳理知识的方法，注重归纳和提升，这样不论题目背景怎样变化，都可发现其本质属性没有改变，只要善于利用表格都可迅速梳理出数量关系，快速解决问题，巧妙化解分化点。三、对第三知识模块“函数”部分的第一分化点的研究（一）第一分化点的内容平面直角坐标系在“函数”教学中，“数形结合”思想的使用对学生来讲始终是难点，“数形结合”思想的使用，使代数的基本元素（数对）与几何的基本元素（点）之间产生了一一对应的关系，有了它，可以把代数问题转化成几何问题，它是沟通代数与几何的桥梁。而数形结合思想的起点就是“平面直角坐标系”，因为这部分内容是数据化平面位置的起始课，同时也是系统感知数形结合思想的重要内容。同时也为今后学习函数及其图象的关系作铺垫。根据多年的经验，如果“平面直角坐标系”不过关，后面将很难顺畅学习，将会产生比较严重的分化问题。在调查中分别有94%的教师和99%的学生选择了这块知识是“第一分化点”。（二）产生分化点的归因分析1、产生分化点的学习心理归因依赖老师、被动学习。 由于平面直角坐标系问题对于学生而言是又一次知识上的拓展，即从一位空间向二维空间的拓展。因此在学习这部分内容时，不但需要教师的通透讲解，更需要学生的主动接收。而在函数的学习过程中有一些学生过份依赖老师，久而久之便会形成不积极钻研的习惯。同时，缺乏对已学习过的典型题目及典型方法的积累：部分同学做了大量的习题，但收效甚微，效果不佳。究其原因，是迫于压力为完成任务而被动做题，缺乏必要的总结和积累。2、产生分化点的学习方法归因学习方法发生“错位”。部分学生的思维方式不适应函数的学习要求，函数的学习是数学学习分化较明显的阶段。一个重要原因是初中阶段数学课程对学生抽象逻辑思维能力要求有了明显提高。八年级学生正处于由直观形象思维为主向以抽象逻辑思维为主过渡的又一个关键期，没有形成比较成熟的抽象逻辑思维方式，而且学生个体差异也比较大，因此表现出数学学习接受能力的差异。在这样的情况下，一部分学生对函数的学习方法就发生了“错位”：忽略理解，死记硬背：认为只要记住函数公式就万事大吉，而忽略了知识导出过程的理解，既造成提取应用知识的困难，更一次又一次地失去了对知识推导过程中孕含的思想方法的吸取。轻视过程，只重结论：数学命题的特点是条件和结论之间紧密相联的因果关系，不注意条件的掌握，常会导致错误的结果，甚至是正确的结果、错误的过程。如学习中看不出何时需讨论、如何讨论。原因之一在于数学知识的前提条件模糊。忽略反思，懂而不通：“温故而知新”这一浅显的道理谁都懂，但在学习过程中持之以恒地应用者不多。由于在老师的精心诱导教诲下，每节课的内容好像都“懂”，因此也就舍不得花八至十分钟的“宝贵”时间回顾当天的旧知。殊不知课上的“懂”是师生共同参与努力的结果，要想自己“会”，必须有一个“内化”的过程，而这个过程必须从课内延伸到课外。切记从“懂”到“会”必须有一个自身“领悟”的过程，这是谁也无法取缔的过程。3、教师的教学心理归因提前定位，经验主义。每到函数教学阶段，大多数的老师都会提前想到：这部分内容很难，学生们很难掌握，掉队的人会很多，一旦教师有了这样的“心理准备”就会忽视学生在函数学习过程中出现的一些分化问题，会认为这种分化是正常的甚至认为是不可避免的，因此会导致一些教师不去主动改进教学策略，漠视学生的学习困难，岂不知，这种心理往往成为了老师忽视产生分化点的心理依据。4、教师的教学方法归因死记硬背，机械模仿。通过这部分内容的学习，学生将达到由一维到二维的感知飞跃，正确认识有序实数对的意义。但是在进行函数教学时，教师们很喜欢让学生死记硬背很多结论这样做只能加重学生的记忆负担，没有给学生合理的思考方法，学生只能机械模仿。其实，在进行“平面直角坐标系”教学时数形结合才是最有力的武器。（三）应对第一分化点的教学策略及案例分析1、应对第一分化点的策略：同伴互助合作学习基于学生对于函数这一知识模块的认知特点和学习特点，又鉴于皮亚杰的理论“决定学习的因素，既不是外部因素也不是内部因素，而是个体与环境的交互作用”，我在“平面直角坐标系”的教学过程中采取了同伴互助合作学习的应对策略。学习是认知的过程，也是满足学习者心理需求的过程。这种合作模式可以最大限度地发挥学生的主体性和积极性，学生的主体地位更加突出。（关于合作学习本人早在2003年就已进行相关研究，也有一套比较成熟的操作方案，在此不作陈述。2、【案例分析三：以合作学习为载体解决“平面直角坐标系”中的分化点问题】在“平面直角坐标系”的学习过程中，让学生以小组为单位开展合作研究，培养学生的自学和归纳的能力。同时辅以一定的游戏，突破分化点，提升兴趣。以个人参与和小组合作的形式让学生实现认知的跨越，同时教师可通过适当引导，让学生直观的看到对于坐标平面内的点与坐标之间的一一对应关系，实现从特殊到一般的认知跨越。合作时机合作内容说明课前以合作小组为单位去查阅笛卡尔的有关资料（笛卡尔生平、在数学史上的主要贡献、平面直角坐标系的基本知识等等）渗透数学史知识，揭示人类认识世界是由特殊到一般、具体到抽象、一维到多维等认识规律，发展学生的数形结合意识、合作交流意识，培养学生的发散思维能力和创新能力。通过介绍笛卡尔创立直角坐标系的背景知识，激励学生的探索热情。课中让学生按四个象限和两个坐标轴将班级分成六大组（原点属于两个坐标轴的组员，最后总结自己的特征），讨论自己所在组员的坐标的特征。然后派代表上来小结，师生归纳出各自坐标的特征（教师及时板书出特征）：第一象限（+，+）第二象限（，+）第三象限（，）第四象限（+，）横轴上的点坐标为（x,0） 纵轴上的点坐标为（0，y）原点坐标为（0，0）同伴互助避免了班级集体教学中往往出现的相当一部分学生由于得不到充分的参与学习活动的机会不得不处于“旁观”“旁听”地位的被动学习状况，赋予了全体学生比以往多得多的参与学习的机会和权利。课外请学生绘制比例尺为1：100000的平面图，在上面标出杭州市西湖区的所有中小学的位置，并撰写小报告。在这个合作学习的过程中，涉及到构图、比例尺计算、解直角三角形、小论文撰写等非常多的数学内容，对学生的能力要求很高，学生通过与同伴的共同努力，提出问题、确定目标、制定方案、收集信息资料并进行分析处理，寻找问题的答案或结论。不仅使学生“学会”、“会学”，而且还会使学生“乐学”“好学”。四、对第四知识模块“三角形”部分的第一分化点的研究（一）第一分化点的内容等腰三角形的分类讨论。三角形这一知识模块中第一分化点是由“等腰三角形”产生的，等腰三角形除了具有一般三角形的性质以外，还有自身特殊的性质，在三角形中占有重在地位，在证明线段、角相等、垂直有着广泛应用，是培养学生逻辑推理能力的好素材，也是学生后续学习特殊四边形的重要基础知识，等腰三角形的分类讨论问题在初中教学阶段虽然没有对此方面的明确教学要求，但是需要用分类讨论的思想去解决的等腰三角形问题却经常遇见，主要有由于几何图形性质不明确而需分类讨论的问题和几何图形之间的位置关系不明确而需分类讨论的问题。因此这块内容十分重要，而对这一系类问题起到内在联系的是分类讨论思想。在调查中分别有88%的教师和91%的学生选择了这块内容作为“第一分化点”。（二）产生分化点的归因分析1、产生分化点的学习心理归因缺乏重视。 由于在小学阶段学生们已经学习了三角形的初步知识，所以许多学生以为初中阶段的等腰三角形内容也与小学一样，同时浙教版八年上册教材中典型的分类讨论问题是在“等腰三角形”一节中的课后练习中安排的一道练习题，这部分内容在教材上没有明确的教学要求，因而学生会从主观上不够重视。2、产生分化点的学习方法归因重心偏离、忽视变式。 在几何问题的学习过程中有一种偏离现象，那就是很多学生依靠通过大量做题这种题海战术来落实知识，其实非常多的几何问题都存在内在的联系，或者说从很多题目都是通过一道题目变式生成的，如果不注重这种内在联系会给学习带来很多障碍。比如很多学生头脑中的等腰三角形就是顶角为锐角的形象，顶角为钝角很少被学生关注，因而在解题过程中忽视分类讨论的过程。3、教师的教学心理归因回避挫折。教师对学生不放心，总是想讲得多一些再多一些，尽可能的将教材讲解明白透彻，将难点分解将重点突出，课堂上尽量排除可能存在的学习困难，让学生走一条平坦的路，可正是这番“好意”却让学生得不到积极的思考，因此，学生在学习中缺少主动的参与，更缺少积极的思考，没有依靠自己的实践去获取知识的过程。所以教师要全面的积极准备教学过程，但不要回避挫折，可以让学生通过出错而主动思考教师为他们准备的问题，让学生体会发现的乐趣，依靠自己的分析，独立思考获取知识，尽量避免分化点的影响。 4、教师的教学方法归因授给学生的是“鱼”而非“渔”。出于对学生的不放心，一些教师在课堂中没有留给学生足够的思考时间，讲解过多、过细，反而影响了学生知识“内化”的过程。皮亚杰认为：“学习从属于发展，知觉受制于心理运演，学习是一种能动建构的过程”，通过这个理论我们应该看到：学生的知识不仅仅是靠教师的传授得到的，而是由学生通过实践活动自主建构的。古人云：授人以鱼不如授人以渔，教师要设计适合学生的活动，让学生亲自去体验等腰三角形的分类讨论，去发现解决规律，以减少分化点所产生的影响。（三）应对第一分化点的教学策略及案例分析1、应对第一分化点的策略：借题发挥-分类讨论。所谓分类讨论思想，就是在解答数学题时有时无法用同一种形式去解决，而需要选定一个标准，根据这个标准将问题划分成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问题一一解决，从而使问题得到解决，这就是分类讨论的思想。在进行等腰三角形的教学时要格外注重分类讨论对等腰三角形的意义，以减少分化点所产生的影响。2、【案例分析四：注重“分类讨论”以解决等腰三角形中的问题分化点问题】等腰三角形是轴对称图形，由于轴对称图形具有等量传递性，因而等腰三角形中产生了许多需要进行分类讨论的问题，下表是等腰三角形中最为常见的几类分类讨论，在教学中如果能恰当的引导学生建立分类讨论思想，那么由此所产生的分化点所带来的影响将大大减少。 等腰三角形中常见分类讨论类型分类标准例题解法注意事项1、当腰长或底边长不能确定时，必须进行分类讨论（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm，求周长。（2）等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，求周长。略对于此类题目在进行分类讨论时，必须运用三角形的三边关系来验证是否能构成三角形。2、当顶角或底角不能确定时，必须进行分类讨论（1）等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，求它的各个内角的度数。（2）已知等腰三角形的一个外角等于1500，求它的各个内角。3、当高的位置关系不确定时，必须分类讨论等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为250，求这个三角形的各个内角的度数。4、由腰的垂直平分线所引起的分类讨论在三角形ABC中，AB=AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为400，求底角B的度数。5、由腰上的中线引起的分类讨论等腰三角形底边为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，求腰长。五、对第五知识模块“相似三角形”部分的第一分化点的研究（一）第一分化点的内容寻找对应关系在学习相似三角形这部分内容时，理解相似三角形的对应角相等，对应边成比例的性质，能运用相似三角形的概念判断两个三角形相似等等都是重点内容，但是“在具体的图形中找出相似三角形的对应边，并写出比例式”是重中之重，也是在相似三角形的学习过程中产生第一分化点的关键所在。在调查中分别有100%的教师和95%的学生选择了这块内容作为“第一分化点”。（二）产生分化点的归因分析1、产生分化点的学习心理归因“轻敌”心理。由于相似三角形是在全等三角形知识的基础上的拓广和发展，因而很容易让学生以为相似性的学习如同全等形一样简单，产生“轻敌”心理。其实，研究相似三角形比研究全等三角形更具有一般性，但是由于相似图形的位置关系不确定，因而导致学生在找对应边及对应角时经常出现错误。2、产生分化点的学习方法归因方法与技巧障碍。一些学生以为相似三角形的学习方法与全等三角形完全相同，可是对照下表不难发现相似形的学习与全等形的学习是有加大区别的，最主要的区别也就是最大的困难：即比例关系的寻找。全等三角形判定相似三角形的判定相似三角形的性质角边角公理（ASA）角角边定理（AAS）两角对应相等，两三角形相似相似三角形对应线段成比例，对应角相等。边角边公理（SAS）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似边边边公理（SSS）三边对应成比例，两三角形相似斜边直角边公理（HL）Rt一条直角边和斜边与另一个Rt一直角边和斜边对应成比例，两三角形相似由于相似三角形所产生的比例式与等积式可以互相转化，由此演变出一系列的情形，因此要求学生要善于归纳和总结一定的方法与技巧，这又增加了难度，由此引发相似三角形部分的分化点的产生。3、教师的教学心理归因急于求成。由于相似三角形和全等三角形之间的一般与特殊的关系，因而在进行相似三角形的教学时，教师往往会急于求成，喜欢将相似三角形的全部判定方法和性质定理一气呵成的教授给学生，这样做对于上段学生来讲不成问题，可是中下段学生原本的全等知识就不扎实，在这样的情况下就会“消化不良”，导致中段生产生分化掉队。4、教师的教学方法归因忽视“错误”。在相似三角形的初步学习阶段学生经常会因为无法准确找到对应关系而产生错误，这些错误并不是简单的马虎大意，而是知识结构造成的，如果教师对学生的错误不够重视，那么一定会产生不可避免的分化。（三）应对第一分化点的教学策略及案例分析1、应对第一分化点的策略：化腐朽为神奇-借助“纠错”的力量皮亚杰认为：错误是有意义的学习所必需的，否定也是一种有意义的学习。在日常教学中，“错误”来源于学生的学习活动，它对学生的特殊教育价值有时比教师的讲解更有说服力，尤其在相似三角形的初步学习阶段学生经常会因为无法准确找到对应关系而产生错误，我们可以利用这种特殊的资源，充分利用“错误”所带来的特殊教学价值，开展“纠错”活动。具体做法可以为：预设错误、建立纠错本。在课堂教学中，教师可应针对相似三角形的知识特点在知识生成的过程中设置一些常见的错误让学生来纠错，未雨绸缪，并且激起学生求知的主动性，起到自我教育的目的。从而有效的控制错误的发生，以达到顺利生成新知识的过程。同时老师可以让学生把在平时遇到过的错误都整理到一个“纠错本”上，在单元复习或综合复习阶段重点使用纠错本，这样的复习更有针对性也更有效率。2、【案例分析五：通过归纳相似三角形中的常见图形来降低分化点的影响】为降低分化点对解决相似三角形问题所带来的影响，我们可以在教学中对相似三角形中的常见图形来加以归类整理，以下是相似三角形问题中的几类常见基本图形：相似三角形中的常见图形基本图形条件常用比例关系DEBCABCDABAC且ADBCABBC且DEACB=CADBC且BEAC3、【案例分析六：通过归纳相似三角形中的常见错误来降低分化点的影响】预设错误、建立纠错本，其目的是培养学生的反思意识，使学生在纠错的过程中巩固基础知识，理解相似三角形概念的本质，从而明确解题时要多层面、多角度的去思考解决之道，提高认识水平，帮助学生建立正确的知识结构。三角形相似中的常见错误常见错误错解正解分析1、甲、乙两个相似三角形的对应角平分线的比为14，求乙和甲的周长比为1441在解这题时知道相似三角形对应角平分线之比和周长之比都等于它们的相似比，但是在审题时忽略了比的有序性2、已知如图 ，DEBC，AD3，BD=4，BC=6，求 DE的长因为 BC，所以所以 ，解得