矩阵概念及运算.doc

第一讲 矩阵概念及运算 一、矩阵概念 矩阵是本课程的一个重要概念，在生产活动和日常生活中，我们常常用数表表示一些量或关系，如工厂中的产量统计表，市场上的价目表等等. 例1 某户居民第二季度每个月水（单位：吨）、电（单位：千瓦时）、天然气（单位：立方米）的使用情况，可以用一个三行三列的数表表示为4月5月6月 水 电 气 由例1以及教材中的例子可以看到，对于不同的问题可以用不同的数表来表示，我们将这些数表统称为矩阵. 定义2.1 有mn个数排列成一个m行n 列，并括以方括弧（或圆括弧）的数表称为m行n 列矩阵，简称mn矩阵.矩阵通常用大写字母A, B, C表示. 记作其中aij (= 1, 2, , m；j = 1, 2, , n )称为矩阵A的第行第j 列元素.注：矩阵的行数m与列数n可能相等，也可能不等. 特别地，当m = 1时，即A = 称为行矩阵.当n = 1时，即A = 称为列矩阵.当m = n时，即A = 称为n阶矩阵，或n阶方阵.(再介绍几个特殊矩阵) 所有元素全为零的mn矩阵，称为零矩阵，记作或O.例如= 主对角线上的元素是1，其余元素全部是零的n阶矩阵，称为n阶单位矩阵，记作In或I.如E2 =， E3 = （零矩阵和单位矩阵在下面的矩阵运算中，将起着类似于数0和数1在数的加法和乘法中的作用.） 二、矩阵运算 （对从实际问题中抽象出来的矩阵，我们经常将几个矩阵联系起来，讨论它们是否相等，它们在什么条件下可以进行何种运算，这些运算具有什么性质等问题，这是下面所要讨论的主要内容.） 1相等 定义2.2 如果两个矩阵，满足： (1) 行、列数相同，即 ； (2) 对应元素相等，即aij = bij (= 1, 2, , m；j = 1, 2, , n )，则称矩阵A与矩阵B相等，记作 A = B （由定义2.2可知，用等式表示两个mn矩阵相等，等价于元素之间的mn个等式.）例如，矩阵A =， B = 那么A = B，当且仅当a11 = 3，a12 = 0，a13 = -5，a21 = -2，a22 = 1，a23 = 4 而C = 因为B, C这两个矩阵的列数不同，所以无论矩阵C中的元素c11, c12, c21, c22取什么数都不会与矩阵B相等. 2加法 定义2.3 设，是两个mn矩阵，则称矩阵C = 为A与B的和，记作C = A + B = （由定义2.3可知，只有行数、列数分别相同的两个矩阵，才能作加法运算.） 同样，我们可以定义矩阵的减法：D = A - B = A + (-B ) =称D为A与B的差. 例2 设矩阵A =， B =求A + B，A - B. 解 A + B = + = = A - B = - = 矩阵加法满足的运算规则是什么？ 设A, B, C, O都是mn矩阵，不难验证矩阵的加法满足以下运算规则 1. 加法交换律： A + B = B + A； 2. 加法结合律： (A + B ) + C = A + (B + C ) ； 3. 零矩阵满足： A + O = A； 4. 存在矩阵-A，满足：A -A = A + (-A ) = O . 3数乘 定义2.4 设矩阵，为任意实数，则称矩阵为数与矩阵A的数乘，其中，记为C =A （由定义2.4可知，数乘一个矩阵A，需要用数去乘矩阵A的每一个元素.特别地，当 = -1时，A = -A，得到A的负矩阵.） 例3 设矩阵A =那么，用2去乘矩阵A，可以得到2A = 数乘矩阵满足的运算规则是什么？ 对数k , l和矩阵A = ，B =满足以下运算规则： 1. 数对矩阵的分配律：k (A + B ) = kA + kB； 2. 矩阵对数的分配律：( k + l ) A = kA + lA； 3. 数与矩阵的结合律：( k l ) A = k (lA ) = l (kA ) ； 4. 数1与矩阵满足： 1A = A. 例4 设矩阵 A =，B =，求3A - 2B. 解 先做矩阵的数乘运算3A和2B，然后求矩阵3A与2B的差. 3A = 2B = 3A - 2B = -= 4乘法 某地区甲、乙、丙三家商场同时销售两种品牌的家用电器，如果用矩阵A表示各商场销售这两种家用电器的日平均销售量（单位：台），用B表示两种家用电器的单位售价（单位：千元）和单位利润（单位：千元）： I II 单价 利润III甲乙丙 A = B = 用矩阵C = 表示这三家商场销售两种家用电器的每日总收入和总利润，那么C中的元素分别为总利润总收 入 ， 即C = =其中，矩阵C中的第行第j列的元素是矩阵A 第行元素与矩阵B 第j列对应元素的乘积之和. 定义2.5 设A=是一个ms矩阵，B=是一个sn矩阵，则称mn矩阵C =为矩阵A与B的乘积，记作 C = AB.其中cij = ai1b1 j + ai2b2 j + + ai s bs j = (= 1, 2, , m；j = 1, 2, , n ). （由定义2.5可知：） (1) 只有当左矩阵A的列数等于右矩阵B的行数时，A, B才能作乘法运算AB； (2) 两个矩阵的乘积AB亦是矩阵，它的行数等于左矩阵A的行数，它的列数等于右矩阵B的列数； (3) 乘积矩阵AB中的第行第j列的元素等于A的第行元素与B的第j列对应元素的乘积之和，故简称行乘列的法则. 例5 设矩阵 A = ， B = ，计算AB. 解 AB = = = 在例5中，能否计算BA？ 由于矩阵B有2列，矩阵A有3行，B的列数A的行数，所以BA是无意义的. 例6 设矩阵 A = ，B =， 求AB和BA. 解 AB = = = BA = = = 由例5、例6可知，当乘积矩阵AB有意义时，BA不一定有意义；即使乘积矩阵AB和BA有意义时，AB和BA也不一定相等.因此，矩阵乘法不满足交换律，在以后进行矩阵乘法时，一定要注意乘法的次序，不能随意改变. 在例6中矩阵A和B都是非零矩阵（AO, B O ）,但是矩阵A和B的乘积矩阵AB是一个零矩阵（AB = O），即两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.因此，当AB = O，不能得出A和B中至少有一个是零矩阵的结论. 一般地，当乘积矩阵AB = AC，且AO时，不能消去矩阵A，而得到B = C.这说明矩阵乘法也不满足消去律. 那么矩阵乘法满足哪些运算规则呢？ 矩阵乘法满足下列运算规则： 1. 乘法结合律：（AB）C = A（BC）； 2. 左乘分配律：A（B + C） = AB + AC； 右乘分配律：（B + C）A = BA + CA； 3. 数乘结合律：k（AB）= （k A）B = A（k B），其中k是一个常数. 5转置 定义2.6 把将一个mn矩阵A =的行和列按顺序互换得到的nm矩阵，称为A的转置矩阵，记作，即 = 由定义2.6可知，转置矩阵的第行第j列的元素等于矩阵A的第j行第列的元素，简记为的（，j）元 = A的（j，）元 矩阵的转置满足下列运算规则： 1. = A； 2. = +； 3. = k , ( k为实数)； 4. =.运算规则13都容易验证.若要了解运算规则4的证明 4. =. 证 设矩阵A =是ms矩阵，B =是sn矩阵，那么AB是mn矩阵， 是nm矩阵；同样是ns矩阵，是sm矩阵，那么是nm矩阵. 的元 = AB的元 = BTAT的元 = = = (AB )T 的