勾股定理学案.doc

人 教 版第三册 姓名： 班级： 年级 班 朱田中学 八年级数学组 编制第十八章 勾股定理 课题：18.1勾股定理（学案）内容：（第64-66页）第 1 课时教学目标：1了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。2培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。3介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。重点、难点：1.勾股定理的内容及证明。2.勾股定理的证明自主探究一：动手测量并计算如图，(1)，(2)，(3)分别为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形（1）分别测量图中a、b、c的长度，并标注在相应的位置。（精确到0.1）（2）计算：图（1）中，（填或）图（2）中，（填或）图（3）中，（填或）思考：（1）这三类三角形中，哪一类三角形的两边的平方和最近于第三边的平方？（2）若考虑到误差因素，你认为直角三角形的两条直角边的平方和与斜边的平方一定相等吗？观察观察，想一想：毕达哥拉斯在朋友家的地板上发现了什么？你从中还能发现什么？思考：结合64页中思考栏的图形说明毕达哥拉斯的发现的正确性.动动脑筋，验一验：3.等腰直角三角形有上属性质，其他的三角形也有这个性质吗？请根据65页探究中的图形来验证这一问题。归纳反思：根据1、2、3的研究结果，提出一个关于直角三角形三边关系的猜想。ABC自主探究二：简要写出赵爽证明猜想（命题1）的过程。归纳：（1）勾股弦的认识。（2）上述命题在我国叫勾股定理，此定理的研究比西方早得多。( 3 )叙述勾股定理的内容并把它写在下面。反思：a、b、c表示什么含义？勾股定理在锐角三角形、钝角三角形中也能成立吗？尝试应用： 1.如图，在RtABC中，C=90,则2.若一个直角三角形的斜边长为41，一条直角边长为9，则另一条直角边长为_.3.若一个直角三角形的两直角边分别为5和12，则斜边长为_.4.在RtABC中，C=90,若a：b=3：4,c=10,则a=_,b=_.5.如图，字母A所代表的正方形的面积是_.6.如图，在55的网格中，ABC的三边a、b、c的大小关系是_.7.如图，是一个长方形的公园，如果小红要从A景点走到C景点，至少要走_m.（5题图） （6题图） （7题图）补偿提高：1 求下列阴影部分的面积。2.若一个直角三角形的两边长分别为5和12，则第三边长为（ ）A.13 B.13或 C.13或5 D.153.受台风影响，马路边一棵大树在离地面6m处折断，大树顶端落在离大树根底部8m处，则大树高多少米？能力提升：如图，A、B两个小镇在河流CD的同侧，分别到河流的距离为AC=10千米，BD=30千米且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元。请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最省，并求出总费用是多少？小结：1.这节课我们收获了什么？2.你还有哪些困惑？请你与别人交流一下，看能否解决？达标检测：1填空题在RtABC，C=90，a=8，b=15，则c= 。在RtABC，B=90，a=3，b=4，则c= 。在RtABC，C=90，c=10，a：b=3：4，则a= ，b= 。一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 。已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，则第三边长为 。已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为 ，面积为 。2已知：如图，在ABC中，C=60，AB=，AC=4，AD是BC边上的高，求BC的长。 3已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。 4已知：如图，四边形ABCD中，ADBC，ADDC， ABAC，B=60，CD=1cm，求BC的长。课题：18.1勾股定理（学案）内容：（第66-68页）第 2 课时教学目标：1会用勾股定理进行简单的计算。2树立数形结合的思想、分类讨论思想。3. 经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法。重点、难点：1.勾股定理的简单计算。2.勾股定理的灵活运用自主探究1：一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过？为什么？思考：（1）薄木板通过门框会有几种方式？哪些方式没有可能？为什么？（2）在可能通过的方式中，只要比较哪些数量就能作出判断？做完本题后，做一小结：你认为应注意什么？尝试练习：1.如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,斜坡长13m，宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱2.一根70cm的木棒，要放在长、宽、高分别是50cm、40cm、30cm的长方体木箱中，能放里去吗？自主探究2：如图，一个长3m的梯子AB，斜靠在一竖直墙AO上，这时AO的距离为2.5m，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5米,那么梯子的低端B也外移0.5米吗？思考：（1）梯子滑动前与滑动后什么发生了变化？什么没变？（2）如何求OB、OC的长？OD如何表示？反思：从本题中你又有哪些收获？尝试练习：DBCA1.在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米？ADEBC2如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DAAB于A，CBAB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？补偿提高：1.受台风影响，马路边一棵大树在离地面9m处折断，大树顶端落在离大树根底12m处，则大树高多少米？2.将一根长24cm的筷子至于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设露在杯子外面的长为hcm,则h的取值范围是_.3.如图，一个长5m的梯子，斜靠在一竖直墙上，这时梯子的低端的距墙底为3m，如果梯子的顶端沿墙下滑1米,那么梯子的低端在水平方向沿一条直线也将滑动1m吗？用所学的知识论证你的结论。4.在ABC中，AB=15,AC=20,AD是BC边上的高且AD=12，试求BC的长。能力提升：1已知长方体的长为2cm、宽为1cm、高为4cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B点,那么沿哪条路最近,最短的路程是多少? AB2.如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程（取3）是多少？3.某校把一块形状为直角三角形的荒地开辟为植物园，如图所示，BCAACB=90,AC=80m,BC=60m,若线段CD是一条水渠且D点在边AB上。已知水渠的造价为10元米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价4.如图，AD是ABC的中线，ADC=45,把ACD沿AD对折，点C落在点C的位置。求证：BC2=2BC2达标检测：1如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC=50米，B=60，则江面的宽度为 。2有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为 米。3一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点，PQ=16厘米，且RPPQ，则RQ= 厘米。4如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24米，B=C=30，E、F分别为BD、CD中点，试求B、C两点之间的距离，钢索AB和AE的长度。（精确到1米）课题：18.1勾股定理（学案）内容：（第68-6页）第 3 课时教学目标：1会用勾股定理解决简单的实际问题。2 树立数形结合的思想。3.经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法。4.培养学生思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值重点、难点： 1.勾股定理的应用2.实际问题向数学问题的转化。自主探究：你能在数轴上画出表示2的点吗？你能在数轴上画出表示的点吗？活动1：根据图中的标注，求出斜边的长。（将结果写在斜边上）反思：1.，（根据上图填写）2.长为的线段是直角边为正整数_、_的直角三角形的斜边。活动2：在数轴上画出表示的点.画法：尝试应用：1.在数轴上作出表示的点。2.已知，线段a,在数轴上作出表示a的点。3.如图是66的网格，三角形的顶点都在网格的交点上的三角形叫格点三角形。画格点三角形ABC,使它的三边分别为4.如图，每个小方格都是边长为1的正方形，试计算出五边形ABCDE的周长和面积。5.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（ ）A0 B1 C2 D36.如图所示，AB=BC=CD=DE=1，ABBC，ACCD，ADDE，则AE=（ ）A1 B C D2达标检测：1.在数轴上作出的点。ABCD7cm2. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为_cm2。3如图，正方形网格中的ABC，若小方格边长为1，则ABC是 （ ）A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对4. 如图所示，在ABC中，三边a,b,c的大小关系是（ ）A.abc B. cab C. cba D. bac5.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，任意连结这些小正方形的顶点，可得到一些线段.请在图中画出AB= ，CD=，EF=这样的线段，并选择其中的一个说明这样画的道理.课题：18.2勾股定理逆定理（学案）内容：（第73-74页）第 1 课时教学目标：1.探索并掌握直角三角形判别思想，会应用勾股逆定理解决实际问题2.经历直角三角形判别条件的探究过程，体会命题、定理的互逆性，掌握情理数学意识3.培养数学思维以及合情推理意识，感悟勾股定理和逆定理的应用价值重点、难点： 1.理解并掌握勾股定理的逆定性，并会应用2.理解勾股定理的逆定理的推导相关知识：将65页的命题1写在下面。自主探究：三角形三边满足什么样的数量关系时，三角形为直角三角形？活动一：按下列要求画三角形，三角形的三边长分别为：（1）2，4，5 （2）6，8，10 （3）2.5，6，6.5思考：（1）请测量一下，这些三角形都近似于什么三角形？（2）算一算两边的平方和与第三边的平方有何关系？反思归纳：提出一个关于直角三角形的猜想.命题二：活动二：命题1与命题2有和关系？归纳：什么叫互逆命题？活动三：命题1通过赵爽的证明是正确的，那么命题2是否正确呢？应如何证明呢？（在下面写出证明过程）活动四：什么叫互逆命题？什么叫勾股数？尝试应用：1. 判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形？（1）a=15,b=8,c=17 （2）a=13,b=14,c=152. 课本75页第1题。3.课本75至76页第2题。4.课本第76页第3题。补偿提高：1.下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）A.8,15,17 B.4,5,6 C.5,8,10 D.8,39,402.下面是三角形三边的比，其中能组成直角三角形的是（ ）A.1：2：3 B.1：3 C.1：2 D.2：3：43.下列各组数是勾股数的是（ ）A. B.1.5,2,2.5 C.4,5,6 D.7,24,254.一个零件的形状如图，按规定这个零件中A与BDC都应为直角，工人师傅量得各边尺寸为AD=8,AB=6,DB=10,DC=24,BC=26,这个零件符合要求吗？说明理由.达标检测：1叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正确。如果a30，那么a20；如果三角形有一个角小于90，那么这个三角形是锐角三角形；如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等；关于某条直线对称的两条线段一定相等。2填空题。（1）“两直线平行，内错角相等。”的逆定理是 。（2）在ABC中，若a2=b2c2，则ABC是 三角形， 是直角；（3）若在ABC中，a=m2n2，b=2mn，c= m2n2，则ABC是 三角形。3若三角形的三边是 1、2； ； 32，42，52 9，40，41； 则构成的是直角三角形的有（ ）A2个 B3个 C4个 D1个课题：18.2勾股定理逆定理（学案）内容：（第75页）第 2 课时教学目标：1灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。2.进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。3.在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度。4.培养数学思维以及合情推理意识，感悟勾股定理和逆定理的应用价值重点、难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。自主探究一：预习课本75页的例2，将解题过程写在下面.反思归纳：画方位图的一般步骤是什么？自主探究二：如何快速地写出一组勾股数？活动一：看下面一些简单的勾股数，（1）3,4,5（2）5,12,13（3）7,24,25观察发现：每组数的第一个数都是_数，第二个数是第一个数的_减1再除以2，第三个数是第一个数的_.归纳结论：如果n是一个奇数，且n3，那么_,_,_就是一组勾股数.证明：规律应用：根据此规律写出三组勾股数.活动二：再看一些简单的勾股数：（1）4,3,5（2）6,8,10（3）8,15,17观察发现：每组数的第一个数都是_数，第二个数是第一个数的一半的平方减_，第三个数是第一个数的_.归纳结论：如果n是一个偶数，且n4，那么_,_,_就是一组勾股数.证明：规律应用：根据此规律写出三组勾股数.自主探究三：如图，P是ABC内一点，连接PA、PB、PC，以BP为边作PBQ=60,且BQ=BP,连接CQ.(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论。（2）若PA：PB：PC=3：4：5,连接PQ,试判断PQC的形状，并说明理由。尝试应用：1.在水塔O的东北方向32m处有一抽水站，在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B，在OB间建一条水管，则水管的长为_.2.三角形的三边长满足，这个三角形是_三角形，它的最大边是_.3.在ABC中，AB=9,BC=41,则当AC=_时，A=90.4.三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为_,最长边上的高为_.5.在ABC中，那么ABC是（ ）A.锐角三角形 B.钝角三角形C.三边都不等的直角三角形 D.等腰直角三角形6.如图，所示，四边形ABCD中，AB=4，BC=3，AD=13，CD=12，B=90，求该四边形的面积7.在ABC中，BAC=120,AB=AC=,一动点P从B向C以2cm/s的速度移动，问当P移动多少秒时，PA与腰垂直？ 图18-14补偿提高：1.在ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，在满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A. A：B：C=5：12：13 B.a：b：c=1：2：C. a：b：c=3：4：5 D. A：B：C=1：2：32.RtABC的三边分别为a、b、c，则以下列长度为边的三角形是直角三角形的是（ ）A.a+1,b+1,c+1 B.a-1,b-1,c-1 C.2a,2b,2c D. 3.把一根长为14cm的铁丝弯成一直角三角形的两条直角边，如果要使三角形的面积是24，那么还要准备一根长为_cm的铁丝才能按要求把三角形做好。4.已知：，则以x,y,z为三边的三角形的形状为_.5.某小区的一健身中心的平面图如图所示，活动区是面积为200的长方形，其长为20m，餐饮区是一个半圆形，面积为，休息区是一个三角形。请你判断此三角形的形状，并说明理由。6.如图，E、F分别为正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4,CE=BC,F为CD的中点，连接AE、AF，问AEF是什么三角形？说明理由。 达标检测：1小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是 。2一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ，此三角形的形状为 。3.一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。4如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40，问：甲巡逻艇的航向？5一根12米的电线杆AB，用铁丝AC、AD固定，现已知用去铁丝AC=15米，AD=13米，又测得地面上B、C两点之间距离是9米，B、D两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？6如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知B=90。课题：18.2勾股定理复习学案（共2课时）知识回顾：知识点1：勾股定理1.在RtABC中，C=90，若a=5，b=12，则c=_；若a=15，c=25，则b=_；若c=61，b=60，则a=_；若ab=34，c=10则SRtABC=_。2.已知一个Rt的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）A、25 B、14 C、7 D、7或253.一个直角三角形的三边从小到大依次为x，16，20，则x=_；4.在ABC中C=90，AB=10，AC=6，则另一边BC=_，面积为_， AB边上的高为_；题后反思：运用勾股定理应注意什么？知识点2：勾股定理的逆定理1测得一个三角形花坛的三边长分别为5cm，12cm，13cm，则这个花坛的面积是_2三角形三边长分别为6、8、10，那么它最短边上的高为_3三角形三边之比分别为1：2：3，3：4：5；1.5：2：2.5，4：5：6，其中可以构成直角三角形的有（ ） A1个 B2个 C3个 D4个4下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）A2，3，4 B3，4，6 C5，12，13 D4，6，75以下列各组数为边的三角形中，是直角三角形的有（ ）（1）3，4，5； （2），；（3）32，42，52； （4）0.03，0.04，0.05 A1个 B2个 C3个 D4个题后反思：运用勾股定理逆定理时应注意什么？知识点3：勾股数1.能够成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数。请你写出三组勾股数：_；2.下面四组数中是勾股数的有（ ） （1）1.5，2.5，2 （2），2 （3）12，16，20 （4）0.5，1.2，1.3 A1组 B2组 C3组 D4组题后反思：一组勾股数应具备哪些条件？知识点4：格点三角形1. 如图，在4个均由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4个正方形中，与众不同的是_，不同之处：_2.在55的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形。（1）从点A出发画一条线段AB，使它的另一端点B在格点上，且长度为；（2）画出所有的以（1）中的AB为边的等腰三角形，使另一个顶点在格点上，且令两边的长度都是无理数。题后反思：在解决格点三角形这一问题时应注意什么？知识点5：互逆命题下列命题都成立，写出它们的逆命题。这些逆命题成立吗？1.同旁内角互补，两条直线平行。2.如果两个角是直角，那么它们相等。3.全等三角形的对应边相等。4.如果两个实数相等，那么它们的平方相等。知识点6：方位角问题1.放学以后，萍萍和晓晓从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若萍萍和晓晓行走的速度都是40米/分，萍萍用15分钟到家，晓晓用20分钟到家，萍萍家和晓晓家的距离为（ ） A600米 B800米 C1000米 D不能确定2.如图18-12，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60方向走了500米到达B点，然后再沿北偏西30方向走了500米到达目的地C点，求A、C两点间的距离 图18-12知识点7：化曲为直问题1. 1已知长方体的长为2cm、宽为1cm、高为4cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B点,那么沿哪条路最近,最短的路程是多少? 2.如图，一个圆柱形纸筒的底面周长是40cm，高是30cm，一只小蚂蚁在圆筒底的A处，它想吃到上底与下底面中间与A点相对的B点处的蜜糖，试问蚂蚁爬行的最短的路程是多少？题后反思：综合运用：1.已知两条线段的长为5cm和12cm,当第三条线段的长为 cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.2.在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是_m。3.一直角三角形的三边分别为2、3、x，那么以x为边长的正方形的面积为 （ ）A、13 B、5 C、13或5 D、无法确定5、如图，在ABC中，ADBC于D，AB=3，BD=2，DC=1，则AC=（ ） A、6 B、 C、 D、46.矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE=_cm7.一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距_海里8.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，你能帮助他把旗杆的高度求出来是_9如图，ABC中，CDAB于D，若AD=2BD，AC=6，BC=3，则BD的长为（ ）A3 B C1 D410能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，试写出两组勾股数_ 11如图18-9所示，AB=BC=CD=DE=1，ABBC，ACCD，ADDE，则AE=（ ）A1 B C D212如图18-10所示，有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：AC=6cm，B