工艺技术_fir滤波器设计知识讲座

DigtlalSignalProcessing UsingMATLAB FIR滤波器设计 数字频率w的概念 定义 其中 2 f为模拟角频率T 抽样时间间隔 fs 抽样频率所以数字滤波器设计必须给出抽样频率数字频率的2 等价于模拟抽样频率 s 2 fs按照Nyquist抽样定理 基带信号的频率特性只能限于 w ws 2 的范围 数字滤波器幅度响应 1 数字滤波器幅度响应 2 数字带通 数字带阻 7 1概论 滤波器设计 给定技术要求设计系统设计步骤 确定技术要求 由具体应用条件决定提供一个逼近要求的滤波器的表述根据表述实现滤波器下面讨论时我们均假设技术要求已知 7 1 1技术要求的给定 幅度要求 绝对指标要求 对幅度响应 H ejw 给出要求相对指标要求 以分贝dB形式给出相位要求 线性相位 一 绝对指标要求 1 绝对指标 2 频带 0 wp 称为通带passband 1是在理想通带响应上可以接受的容度 或波纹 频带 ws pi 称为阻带stopband 2是相应的阻带容度 或波纹 频带 wp ws 称为过渡带transitionband 在这个频带内幅度响应不作要求 二 相对指标要求 1 0 相对指标 2 Rp 以dB计的通带波纹As 以dB计的阻带衰减两种指标之间的关系 Rp和As的计算见P214ex7 1 ex7 2 三 为什么只讨论低通滤波器 LPF 上述指标都是针对低通滤波器的其他类型的频率选择性滤波器 如高通或带通 也能给出类似要求滤波器设计最重要的参数是频带容限和频带边缘频率 四 技术指标举例 设计一个低通滤波器 它具有一个通带 0 wp 通带内频带容限为 1 或Rp 单位dB 一个阻带 ws pi 阻带内容度为 2 或As 单位dB 最后求得结果是得出滤波器的系统函数H z 或差分方程 五 FIR滤波器的优点 相位响应可以真正线性系统绝对稳定 设计相对容易高效实现可用DFT实现实际应用时 我们感兴趣的是线性相位的FIR滤波器 六 线性相位响应的优点 设计问题中仅有实数运算时延固定 没有时延失真对长为M的滤波器 运算次数只有M 2量级 7 2线性相位FIR滤波器性质 包括脉冲和频率响应的形状 系统函数零点的位置设h n 是长为M的脉冲响应 0 n M 1 则 在原点z 0处有 M 1 阶零点 在z平面其它处有M 1个零点 频率响应函数可写为 线性相位的脉冲响应形状 1 因为频率响应函数具有线性相位 这里 是恒定相位延迟 constantphasedelay 由第6章知 h n 是对称脉冲响应 因此 h n 关于 对称 根据M的奇偶有两种对称类型 线性相位的脉冲响应形状 1 线性相位的脉冲响应形状 2 第二类线性相位满足条件 相位响应不通过原点 但斜率 恒为常数 此时 称群时延 groupdelay 可知h n 是反对称脉冲响应 h n 仍然关于 对称 根据M的奇偶有两种对称类型 线性相位的脉冲响应形状 2 对应频率响应特性H ejw 将M为奇和偶数结合对称和反对称的情况 得到四种类型的线性FIR滤波器对应每种类型其频率响应特性都有独特性质 令 其中 Hr w 是连续的振幅响应函数 可正可负的实函数相位响应是一个不连续函数 例 设脉冲响应为h n 1 1 1 1 求出并画出频率响应 解 频率响应函数为 由方程可得 I类线性相位 对称脉冲响应 M为奇数 这种情况下 beta 0 alpha M 1 2是整数h n h M 1 n 0 n M 1 将两式比较可得 II类线性相位 对称脉冲响应 M为偶数 这种情况下 beta 0 alpha M 1 2不是整数h n h M 1 n 0 n M 1 注意 Hr pi 0 因此不能采用这种类型设高通or带阻滤波器 III类线性相位 反对称脉冲响应 M为奇数 这种情况下 beta pi 2 alpha M 1 2是整数h n h M 1 n 0 n M 1 Hr 0 Hr pi 0 因此这种滤波器不适合设计低通或高通滤波器exp jpi 2 j 这种特性非常适合设计希尔伯特变换器和微分器 IV类线性相位 反对称脉冲响应 M为偶数 这种情况和II类似 有 Hr 0 0andexp jpi 2 j 因此这种类型适合用于设计数字希尔伯特变换器和微分器 MATLAB实现 Hr type1 求I类线性相位的Hr w 调用格式 Hr w a L Hr type1 h Hr type2 求II类线性相位的Hr w 调用格式 Hr w b L Hr type2 h Hr type3 求III类线性相位的Hr w 调用格式 Hr w c L Hr type3 h Hr type4 求IV类线性相位的Hr w 调用格式 Hr w d L Hr type4 h 小结 了解了线性相位FIR滤波器的各种特性 便可根据实际需要选择合适的FIR滤波器 同时设计时要遵循有关约束条件 如 第3 4种情况 对于任何频率都有固定的 2相移 一般微分器及90 相移器采用这两种情况 而选频性滤波器则用第1 2种情况 1 设计线性相位的低通DigtalFilter 从幅度特性考虑 只能选择第1种或第2种第一种 第二种 2 设计线性相位的高通DF 从幅度特性看 可用第一种或第四种第一种第四种 3 设计线性相位的带阻DF 从幅度特性考虑 只能选择第一种 4 设计线性相位的带通DF 从幅度特性考虑 可以选择任一种 线性相位滤波器的零点位置 对实序列而言 零点是共轭出现的 对对称序列而言 零点是镜像出现的 令q z 1 f q 的系数与f z 刚好倒序 由于h n 的系数是对成的 倒序并不会改变系数 如果zk是多项式的根 则pk zk 1也是 对称系数多项式的镜像零点 如果zk满足多项式 h0 h1zk 1 h2zk 2 hM 2zk M 2 hM 1zk M 1 0此时hM 1 h0 hM 2 h1 那么rk zk 1同样会满足方程h0 h1rk h2rk2 h1rkM 2 h0rkM 1 h0zkM 1 h1zkM 2 h2zk2 h1zk h0 zkM 1 h0 h1zk 1 h1zk M 2 h0zk M 1 0 1 z1 1 conj z1 z1 conj z1 特殊的 如果零点为实数 则只有两个零点 z2 1 z2如果零点在单位圆上且为虚数 则只有两个零点z3 z3 如果零点在单位圆上且为实数 则只有一个零点z4 7 3窗口设计法 设计步骤给定要求设计的理想滤波器的频率响应Hd ejw 设计一个FIR滤波器频率响应H ejw 由于设计是在时域中进行 使所设计滤波器的h n 去逼近理想单位取样响应序列hd n 理想滤波器的频率响应Hd ejw 设希望设计的滤波器传输函数为Hd ejw 对应脉冲响应为hd n 则它们满足关系 若已知Hd ejw 即可求出hd n 再经过z变换 就可以求出系统函数H z 从而设计出系统 一般情况下 Hd ejw 逐段恒定 在边界频率处有不连续点 因而hd n 是无限时宽的 且是非因果序列 例 理想低通滤波器的传输函数Hd ejw 无失真的理想低通的传输函数为 相应的单位取样响应hd n 由上式可知 hd n 无限长 且为非因果序列 理想低通滤波器的Hd ejw 和h n 波形 设实际实现的低通滤波器单位取样响应为h n 长为N 其系统函数设计过程相当于找到一个有限长序列h n 去逼近理想低通的hd n 这必然会引入误差 频域的吉布斯 Gibbs 效应 截断效应 后果 引起通带和阻带内的波动效应 尤其是使阻带衰减减小 设计实现一个FIR滤波器H ejw 例 设计截止频率wc 3时延为6的具有线性相位的FIR低通滤波器 为了构造一个长为N的线性相位滤波器 只有将hd n 截取一段 并保证对 N 1 2对称设截取的段用h n 表示 则其中W n 长为N的窗函数 这里取矩形序列 当 N 1 2时 截取的h n 对 N 1 2对称 保证设计的滤波器具有线性相位 这里 hd n 是以n 6为中心偶对称的无限长序列现用一个有限长N 13的因果序列h n 逼近它最简单的方法 给hd n 加矩形窗RN n 即令W n RN n 则 低通滤波器脉冲响应波形截断处理示意图 截断处理后 由于h n 满足对称脉冲响应 所以一定满足第一类线性相位 设计步骤 先由Hd ejw 求付里叶反变换hd n 砍头去尾 因为我们要设计FIR滤波器h n 必须满足 因果性 t砍头线性相位 要求h n 中心对称或反对称 由于砍头 所以必须去尾 让它们中心对称 即用有限长的h n 去逼近无限长的hd n 利用卷积过程 即h n W n hd n 可见窗函数序列的形状及长度的选择是设计关键 窗口法设计数字滤波器 主要任务 寻找最有效的方法截断hd n 即用一个有限长度的窗口函数序列W n 来截取hd n 使H ejw 最逼近Hd ejw 通过加窗可得到不同类型的数字滤波器数字低通数字高通数字带通数字带阻 数字低通 设h n 是长为N 以 N 1 2为中心偶对称的函数 h n 的设计 根据前面讨论可知 低通滤波器只能选择对称脉冲响应当N为奇数时 设计第一种情况的线性相位低通DF当N为偶数时 设计第二种情况的线性相位低通DF设选用矩形窗 即 设计举例 用矩形窗设计截止频率wc 3的具有线性相位的FIR低通滤波器若取N 13 为奇数 则对称脉冲响应 若取N 12 为偶数 则 数字高通 理想的线性相位高通DF的频率特性为 其幅度特性 冲激响应 理想高通滤波器冲激响应加窗处理后的数字滤波器冲激响应 分析 因为为偶函数 W n 为常数当N为奇数时 对应第一种线性相位 h n h N 1 n 为对称脉冲响应当N为偶数时 对应第四种线性相位 h n h N 1 n 为反对称脉冲响应 取矩形窗时 W n RN n 取N 13 为奇数 则 取N 12 为偶数 则 理想数字带通滤波器 理想的线性相位带通DF的频率特性为 其冲激响应hd n 加矩形窗处理后 得到 分析 若选择相位有相移的理想带通DF频率特性为 此时的脉冲响应 加矩形窗处理后 分析 此时的h n 一定为反对称序列 当N为奇数时 对应第三种线性相位 当N为偶数时 对应第四种线性相位 7 4加窗对系统频率响应的影响 根据频域卷积定理 加窗后 滤波器的频率响应现在我们以低通滤波器为例来讨论 加窗后 频率响应发生了什么变化加什么样的窗 可以使变化减至最小 7 4 1矩形窗 矩形窗口的频率特性为 用幅度响应和相位响应的乘积表示为 矩形窗 2 当w很小时 当w很大时 WR w 为周期函数 矩形窗处理后的频率响应 根据频域卷积定理可得 Wr w wc Wr w wc 2 N Wr w wc 2 N 加窗后的低通滤波器频谱 几个特殊频率点 w 0处 响应值为窗函数频谱Wr w 和理想低通滤波器频率特性Hd 的乘积的积分 可近似看作Wr 在 到 的全部积分面积w wc处 Hd 刚好与Wr w 的一半重叠 因此H wc 0 5H 0 w wc 2 N处 Wr w 的全部主瓣在Hd 的通带之内 因此卷积结果有最大值 频率响应出现正肩峰w wc 2 N处 Wr w 的全部主瓣在Hd 的通带之外 通带内的旁瓣负的面积大于正的面积 因此卷积结果有最负值 频率响应出现负肩峰 几个特殊频率点 2 当w wc 2 N后 Wr w 的左边旁瓣的起伏部分扫过通带 卷积值围绕零值而波动当w wc 2 N时 Wr w 的右旁瓣进入通带 卷积值围绕H 0 而波动 加矩形窗对理想低通滤波器的影响 使理想频率特性不连续点处边沿加宽 形成过渡带 过渡带的宽度等于窗的频谱主瓣宽度4 N在截止频率wc的两边处 H w 出现肩峰 肩峰的两侧形成起伏振荡 振荡幅度取决于旁瓣相对幅度 振荡多少 取决于旁瓣的多少增加截取长度 则主瓣附近的窗的频率响应可见改变N 只能改变窗的主瓣宽度 w坐标的比例和Wr w 的绝对值大小 而不能改变主瓣与旁瓣的相对比例 矩形窗的频谱示意图 各种窗函数 矩形窗阶段造成府肩峰为8 95 阻带最小衰减为21dB 不符合工程需要为了加大阻带衰减 只能改善窗函数形状 使窗谱尽量逼近冲击函数 即绝大部分能量集中在频谱中点一般窗函数满足两项要求 窗谱主瓣尽可能的窄 以得到较陡的过渡带尽量减少最大旁瓣的相对幅度一般而言 上面两项要求不能同时满足 矩形窗 三角形 BARTLETT 窗 升余弦窗 汉宁Hanning窗 1 左移 右移 倒余弦 升余弦窗 汉宁Hanning窗 2 升余弦窗 汉宁Hanning窗 3 由于频谱是由三个互有频移的不同幅值的矩形窗函数相加而成 这样使旁瓣大大抵消 从而能量相当有效地集中在主瓣内 其代价 主瓣加宽一倍 可达到减少肩峰 余振 提高阻带衰减 缺点 过滤带加大 改进的升余弦窗 汉明Hanning窗 1 其频谱函数为 其幅度函数为 改进的升余弦窗 汉明Hamming窗 2 二阶升余弦窗 布拉克曼Blackman窗 凯塞窗 Kaiser窗 以上几种窗函数是各以一定主瓣加宽为代价 来换取某种程度的旁瓣抑制 而凯窗则是 全面地反映主瓣与旁瓣衰减之间的交换关系 可以在它们两者之间自由地选择它们的比重 滤波器阶数 长度 M的选择 取Kaiser窗时设定beta 再用kaiserord函数求得M Matlab实现 W boxcar M 产生M点的矩形窗W triang M 产生M点的Bartlett窗W hanning M 产生M点的Hanning窗W hamming M 产生M点的Hamming窗W blackman M 产生M点的Blackman窗W kaiser M beta 产生beta值的M点Kaiser窗Examples 例 设计一个数字FIR低通滤波器 技术指标如下 wp 0 2 Rp 0 25dB ws 0 3 As 50dB 首先查表选择满足阻带衰减的窗函数从中选择最合适的 过渡带较小的 调用MATLAB函数进行设计验证设计滤波器是否满足通带波纹如果不能满足 则换用过渡带较大的 重复以上步骤如果满足 则设计成功 频率采样设计法 1 设计原理 系统函数H z 能够从频率响应H ejw 的样本H k 中恢复基本思想 已知理想低通滤波器Hd ejw 选取滤波器长度为M 在 0 2 区间以M等分频率对Hd ejw 采样得H k 再由其离散傅里叶反变换h n 得系统函数H z h n IDFT H k 可用函数ifft计算 频率采样设计法 2 特点 采样频率点上近似误差为0其它频率点上的近似误差取决于理想响应的形状 理想响应愈陡峭 近似误差越大靠近通带边缘的误差较大 通带内误差较小分类 直接设计法 直接利用基本思想 在近似误差上不给出任何条件最优设计法 通过改变过渡带内的样本值将阻带内误差减至最小 PhaseforType1 2PhaseforType3 4 直接设计法 Naivedesignmethods 设计思想 令H k Hd ej2 k M k 0 1 M 1 用h n IDFT H k 求得脉冲响应h n 例 用频率采样法设计一个数字FIR低通滤波器 技术指标如下 wp 0 2 Rp 0 25dB ws 0 3 As 50dB 分析 取M 20 使在wp处有一个样本 即k 2 wp 0 2 2 20 2下一个样本在ws 即在k 3wp 0 3 2 20 3这样通带内 0 w wp 内有3个样本 在阻带 ws w 内有7个样本Hr k 1 1 1 0 0 1 1 共15个零由于M 20 M 1 2 9 5 为II类线性相位滤波器再由IDFT可得h n MATLAB编程解得 M 20 alpha M 1 2 l 0 M 1 w1 2 pi M l Hrs 1 1 1 zeros 1 15 1 1 Hdr 1 1 0 0 wdl 0 0 25 0 25 1 k1 0 floor M 1 2 k2 floor M 1 2 1 M 1 angH alpha 2 pi M k1 alpha 2 pi M M k2 H Hrs exp j angH h real ifft H M db mag pha grd w freqz m h 1 Hr ww a L Hr Type2 h 最优设计法 Optimumdesignmethod 设计方法 增大取样点数M 并让过渡样本作为自由样本 改变他们的值以得到在给定M的条件下的最大衰减及过渡带宽例 利用最优设计法设计一个比上例更好的低通滤波器增加取样点数M 40 以使过渡带内 0 2 w 0 3 有一个样本 在k 5和k 35处 用T表示这两个样本值 其中0 T 1 则以采样的振幅响应Hr 1 1 1 1 1 T 0 0 T 1 1 1 1 共29个零 由于alpha M 1 2 19 5 相位响应的样本是 现在我们考虑如何选取T值 以得到更好的最小阻带衰减首先我们选取通带和阻带幅度的中值0 5用MATLAB编程解得 MATLAB程序 M 40 alpha M 1 2 l 0 M 1 w1 2 pi M l Hrs 1 1 1 1 1 0 5 zeros 1 29 0 5 1 1 1 1 Hdr 1 1 0 0 wdl 0 0 25 0 25 1 k1 0 floor M 1 2 k2 floor M 1 2 1 M 1 angH alpha 2 pi M k1 alpha 2 pi M M k2 H Hrs exp j angH h real ifft H M db mag pha grd w freqz m h 1 Hr ww a L Hr Type2 h 结论 通过改变一个样本值 我们得到一种更好的设计实际系统的过渡带往往很小 只有一到两个样本 只需优化较少的样本就可以获得最大的最小阻带衰减这等小于使最大旁瓣幅度最小化 因此这类优化问题也称最大最小化问题 minimaxproblem 最优过渡值表见文献19的附录B 最优等波纹设计法 窗口设计法和频率采样设计法的缺陷设计过程不能将边缘频率wp和wc精确给定不能够同时标定波纹因子 1和 2 近似误差在频带区间上不是均匀分布的 靠近频带边缘误差愈大 远离频带边缘误差愈小 上述缺陷的克服 对线性相位FIR滤波器而言 可以导出一组条件 使最大近似误差最小化的意义下设计的解达到最优 最大值最小误差或Chebyshev误差 满足这种条件的滤波器称为等波纹滤波器 其近似误差在通带和阻带均匀分布 且实现相同性能滤波器时阶数更低 最大最小问题的建立 线性相位FIR滤波器4种情况的频率响应都能写为如下形式 其中beta和Hr w 的表达式在表7 2 P 265 中给出利用三角函数恒等式 可将上面每个Hr w 表达式写成一个w的函数Q w 和一个余弦和的函数P w 其中四种情况下的Q w L和P w 由表7 3 P 279 给出 Chebyshev近似问题 分析的目