教师版—2009年高考试题解析数学(理科)学科新课标分项版之专题九__立体几何.doc

大毛毛虫倾情搜集精品资料2009年高考解析数学(理科）分项版之专题九立体几何教师版【考查要点】高考考纲要求 1掌握直线与平面的位置关系。2掌握空间的角和距离的计算。3了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念，了解多面体的欧拉定理。掌握棱柱、正棱锥的性质，及球的表面积、体积公式。4画图、读图、想图的要求。 59（A）还包括，会用反证法证明简单的问题6能力要求：以空间想象能力为基础，运用 思维能力、运算能力等，对具体的空间图形进行位置关系的判断、证明和计算 高考分值：一般在17-22分之间，题型一般为1个选择题，1个填空题，1个解答题.考查重点 仍然是直线与平面的位置关系判定、证明及角度与距离的计算。直线平面的平行、垂直作为知识体系的轴心，在考查中地位突出，贯穿整个大题。角度的计算线线角、线面角、二面角是必考内容，线面角、二面角的出现频率更高些。距离以点面距、异面直线的距离为主，前者的出现频率更高。 考查方式(1)大题以考查直线与平面的位置关系的证明，角度与距离计算为主。大题通常以多面体为载体，如正方体、长方体、三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥，09年全国大部分试卷中立几以四棱锥为载体；有时出现不规则几何体，或改变常用几何体的放置方式，这些变化提高了空间想象的要求。(2)小题类型大体有：直线与平面的位置关系的判定，角度、距离的计算（用于覆盖大题未考查到的内容），球的问题，体积、表面积问题，空间想象能力，与其它知识综合的问题（如排列组合等），考查难度 立体几何大题一般出现在试卷中第18、19题，难度中等，少数省份出现在20、21或17题位置，难度中等偏上或偏下。小题通常为容易题、中等题，中上难度的题也时有出现。【名师解题指南】1有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力2 判定两个平面平行的方法： （1）根据定义证明两平面没有公共点； （2）判定定理证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面； （3）证明两平面同垂直于一条直线。3两个平面平行的主要性质： 由定义知：“两平行平面没有公共点”。 由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行”。 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 夹在两个平行平面间的平行线段相等。 经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。以上性质、在课文中虽未直接列为“性质定理”，但在解题过程中均可直接作为性质定理引用。4空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间的角主要研究射影以及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概念，由它们的定义，可得其取值范围，如两异面直线所成的角(0，直线与平面所成的角，二面角的大小，可用它们的平面角来度量，其平面角0，对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用通过空间角的计算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力如求异面直线所成的角常用平移法（转化为相交直线）与向量法；求直线与平面所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角；而求二面角alb的平面角（记作q）通常有以下几种方法：(1) 根据定义；(2) 过棱l上任一点O作棱l的垂面g，设gaOA，gbOB，则AOBq ；(3) 利用三垂线定理或逆定理，过一个半平面a内一点A，分别作另一个平面b的垂线AB(垂足为B),或棱l的垂线AC(垂足为C)，连结AC，则ACBq 或ACBpq；(4) 设A为平面a外任一点，ABa，垂足为B，ACb，垂足为C，则BACq或BACpq；(5) 利用面积射影定理，设平面a内的平面图形F的面积为S，F在平面b内的射影图形的面积为S，则cosq.5.空间的距离问题，主要是求空间两点之间、点到直线、点到平面、两条异面直线之间（限于给出公垂线段的）、平面和它的平行直线、以及两个平行平面之间的距离求距离的一般方法和步骤是：一作作出表示距离的线段；二证证明它就是所要求的距离；三算计算其值此外，我们还常用体积法求点到平面的距离6棱柱的概念和性质理解并掌握棱柱的定义及相关概念是学好这部分知识的关键，要明确“棱柱 直棱柱 正棱柱”这一系列中各类几何体的内在联系和区别。平行六面体是棱柱中的一类重要的几何体，要理解并掌握“平行六面体 直平行六面体 长方体 正四棱柱 正方体”这一系列中各类几何体的内在联系和区别。须从棱柱的定义出发，根据第一章的相关定理对棱柱的基本性质进行分析推导，以求更好地理解、掌握并能正确地运用这些性质。关于平行六面体，在掌握其所具有的棱柱的一般性质外，还须掌握由其定义导出的一些其特有的性质，如长方体的对角线长定理是一个重要定理并能很好地掌握和应用。还须注意，平行六面体具有一些与平面几何中的平行四边形相对应的性质，恰当地运用平行四边形的性质及解题思路去解平行六面体的问题是一常用的解题方法。多面体与旋转体的问题离不开构成几何体的基本要素点、线、面及其相互关系，因此，很多问题实质上就是在研究点、线、面的位置关系，与直线、平面、简单几何体第一部分的问题相比，唯一的差别就是多了一些概念，比如面积与体积的度量等从这个角度来看，点、线、面及其位置关系仍是我们研究的重点 经纬度及球面距离根据经线和纬线的意义可知，某地的经度是一个二面角的度数，某地的纬度是一个线面角的度数，设球O的地轴为NS，圆O是0纬线，半圆NAS是0经线，若某地P是在东经120，北纬40，我们可以作出过P的经线NPS交赤道于B，过P的纬线圈圆O1交NAS于A，那么则应有：AO1P=120(二面角的平面角) ，POB=40（线面角）。两点间的球面距离就是连结球面上两点的大圆的劣弧的长，因此，求两点间的球面距离的关键就在于求出过这两点的球半径的夹角。例如，可以循着如下的程序求A、P两点的球面距离。线段AP的长 AOP的弧度数 大圆劣弧AP的长球的表面积及体积公式S球表=4R2 V球=R3球的体积公式可以这样来考虑：我们把球面分成若干个边是曲线的小“曲边三角形”；以球心为顶点，以这些小曲边三角形的顶点为底面三角形的顶点，得到若干个小三棱锥，所有这些小三棱锥的体积和可以看作是球体积的近似值.当小三棱锥的个数无限增加，且所有这些小三棱锥的底面积无限变小时，小三棱锥的体积和就变成球体积，同时小三棱锥底面面积的和就变成球面面积,小三棱锥高变成球半径.由于第n个小三棱锥的体积Snhn（Sn为该小三棱锥的底面积,hn为小三棱锥高），所以V球S球面R4R2RR3.球与其它几何体的切接问题，要仔细观察、分析、弄清相关元素的位置关系和数量关系，选择最佳角度作出截面，以使空间问题平面化。【09真题全解全析】考点1：证明空间线面平行与垂直1山东理5. 已知，表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4全国1理18（本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面， ，点M在侧棱上，=60（I）证明：M在侧棱的中点（II）求二面角的大小。5四川理19（本小题满分12分）如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，（I）求证：；（II）设线段的中点为，在直线上是否存在一点，使得？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；（III）求二面角的大小。6辽宁理（18）（本小题满分12分）如图，已知两个正方行ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点。（I）若平面ABCD 平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正值弦；（II）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。 ()假设直线ME与BN共面，8分则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF。又AB/CD，所以AB/平面DCEF。面EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所以AB/EN。又AB/CD/EF，所以EN/EF，这与ENEF=E矛盾，故假设不成立。所以ME与BN不共面，它们是异面直线. 12分7宁夏理（19）（本小题满分12分）如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点。 （）求证：ACSD；（）若SD平面PAC，求二面角P-AC-D的大小（）在（）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC若存在，求SE:EC的值；若不存在，试说明理由。解法一：（）连BD，设AC交BD于O，由题意。在正方形ABCD中，所以,得.()设正方形边长，则。又，所以, 连，由（）知,所以, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 且,所以是二面角的平面角。由,知,所以,即二面角的大小为。（）在棱上存在一点使.由（）知是平面的一个法向量，且 设 w.w 则 而即当时，而不在平面内，故【考点定位】：本题以三棱锥为载体，考察学生对空间几何体的关系的认识和空间几何体的体积公式，在第二问的处理上要灵活运用线面垂、线线垂直和面面垂直三者之间的转换关系，本题较全面的考察了立体几何的基础知识和基本技巧。9福建理17（13分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且MD=NB=1，E为BC的中点（1） 求异面直线NE与AM所成角的余弦值（2）在线段AN上是否存在点S，使得ES平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由考点2：求空间图形中的角与距离1全国1理（7）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（A）（B） （C） (D) 4北京理4若正四棱柱的底面边长为1，与底面成60角，则到底面的距离为 A B C D【答案】D【解析】是正四棱柱，平面，是与底面所成的角，即，则，所以到底面的距离为，选D.【考点定位】本题主要考查对线面角、线面距离概念的理解和计算.立体几何中的“空间角”和“空间距离”是高考的重点内容.5重庆理（9）已知二面角的大小为500，为空间中任意一点，则过点且与平面和平面所成的角都是250的直线的条数为（A）2 （B）3 （C）4 （D）59四川理15.如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线所成的角的大小是 。11全国2理5.已知正四棱柱中，E为中点，则异面直线BE与所成角的余弦值为（A） (B) (C) (D) 答案：C解析：平移成三角形用余弦定理解，或建立坐标系解，注意线线角不大于90012宁夏理（8）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F且EF=，则下列结论中错误的是 D（A）ACBE（B）EF/平面ABCD（C）三棱锥ABEF的体积为定值（D）异面直线AE，BF所成的角为定值13北京理16（本小题共14分）如图，在三棱锥中，底面，点，分别在棱上，且（I）求证：平面；（）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；（）是否存在点使得二面角为直二面角？并说 明理由。14全国2理18（本小题满分12分） 如图，直三棱柱中，、分别为、的中点，平面 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （I）证明：（II）设二面角为60，求与平面所成的角的大小。分析三：利用空间向量的方法求出面的法向量，则与平面所成的角即为与法向量的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考答案。总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益。15天津理（19）（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD/BC/FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD (I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II) 证明平面AMD平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值16重庆理（19）（本小题满分12分，（）小问5分，（）小问7分）如题（19）图，在四棱锥S-ABCD中，ADBC且ADCD；平面CSD平面ABCD，CS DS，CS=2AD=2；E为BS的中点，CE=，AS=求：（）点A到平面BCS的距离；（）二面角E-CD-A的大小。解：（）因为ADBC，且BC平面BCS，所以AD平面BCS，从而A点到平面BCS的距离等于D点到平面BCS的距离。因为平面CSD平面ABCD，ADCD，故AD平面CSD，从而ADDS，由ADBC，得BCDS，又由CSDS，又由CSDS知DS平面BCS，从而DS为点A到平面BCS的距离。因此，在RtADS中，（）如答（19）图1，过E点作EGCD，交CD于点G，又过G点作GHCD，交AB于H，故EGH为二面角E-CD-A的平面角，记为，过E点作EFBC，交CS于点F，连结GF，因平面ABCD平面CSD，GHCD，易知GHGF，故由于E为BS边中点，故CF=中，FGCD，从而又可得CGFCSD，因此，而在CSD中，CD=故 在，故所求二面角的大小为解法二：（）如答（19）图2，以S(O)为坐标原点，射线OD,OC分别为x轴，y轴正向，建立空间坐标系，设，因平面即点A在xoz平面上，因此又因AD/BC，故BC平面CSD，即BCS与平面yOx重合，从而点A到平面BCS的距离为.()易知C(0,2,0)，D(,0,0). 因E为BS的中点.BCS为直角三角形 ,知 17安徽理（18）（本小题满分13分）如图，四棱锥FABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，BD=，AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2.（I）求二面角BAFD的大小；（II）求四棱锥EABCD与四棱锥FABCD公共部分的体积.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、相交平面所成二面角以及空间几何体的体积计算等知识，考查空间想象能力和推理论证能力、利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力。本小题满分13分。由，得（向量法）以A为坐标原点，、方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系18山东理（18）（本小题满分12分） 如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB/CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D （1） 证明：直线EE/平面FCC；（2） 求二面角B-FC-C的余弦值。 解法一：（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中点F1，连接A1D，C1F1，CF1，因为AB=4, CD=2,且AB/CD，所以CDA1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1/A1D，E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 O P 又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，所以EE1/A1D，所以CF1/EE1，又因为平面FCC，平面FCC，所以直线EE/平面FCC.（2）因为AB=4, BC=CD=2, 、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,BCF为正三角形,取CF的中点O,则OBCF,又因为直四棱柱ABCD-ABCD中,CC1平面ABCD,所以CC1BO,所以OB平面CC1F,过O在平面CC1F内作OPC1F,垂足为P,连接BP,则OPB为二面角B-FC-C的一个平面角, 在BCF为正三角形中,在RtCC1F中, OPFCC1F, 在RtOPF中,所以二面角B-FC-C的余弦值为.19江西理20（本小题满分12分）在四棱锥中，底面是矩形，平面，. 以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成的角的大小；（3）求点到平面的距离.方法二：（1）同方法一；（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则， ，；设平面的一个法向量，由可得：，令，则。设所求角为，则， 所以所求角的大小为。（3）由条件可得，.在中，,所以,则, ，所以所求距离等于点到平面距离的，设点到平面距离为则，所以所求距离为。20湖南理18（本小题满分12分） 如图，在正三棱柱中, , 点是的中点，点在上，且.()证明：平面平面；()求直线和平面所成角的正弦值. 图4解 （）如图所示，由正三棱柱的性质知平面又平面，所以而，所以平面又平面，故平面平面 （）解法1如图所示，设是的中点，连结，由正三棱柱的性质及是的中点知，又，所以平面而，所以平面又平面，故平面平面过点作垂直于点，则平面连结，则是直线和平面所成的角. 由已知，不妨设，则，.所以.即直线和平面所成角的正弦值为.解法2 如图所示，设是的中点，以为原点建立空间直角坐标系. 不妨设，则，相关各点的坐标分别是，.易知，.设平面的一个法向量为，则有解得，.故可取. 所以，.由此即知，直线和平面所成角的正弦值为. CBAC1B1A121陕西理18（本小题满分12分）如图，直三棱柱中， AB=1，ABC=60.()证明：；（）求二面角AB的大小。22上海理19（本题满分14分）如图，在直三棱柱中，,求二面角的大小。解 如图，建立空间直角坐标系。则 A，C，A1，B1，C1， 2分设AC的中点为M，BMAC，BMCC1，23天津（19）（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD/BC/FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II) 证明平面AMD平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，点为坐标原点。设依题意得 （I） w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 所以异面直线与所成的角的大小为.24湖北理18（本小题满分12分） 如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD=2a，点E是SD上的点，且（）求证：对任意的，都有（）设二面角CAED的大小为，直线BE与平面ABCD所成的角为，若，求的值.18.（）证法1：如图1，连接BE、BD，由地面ABCD是正方形可得ACBD。SD平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，ACBE（）解法1：如图1，由SD平面ABCD知，DBE= , SD平面ABCD，CD平面ABCD, SDCD。 又底面ABCD是正方形， CDAD，而SD AD=D，CD平面SAD.连接AE、CE，过点D在平面SAD内作DEAE于F，连接CF，则CFAE，故CDF是二面角C-AE-D的平面角，即CDF=。在RtBDE中，BD=2a，DE=在RtADE中, 从而在中，. w由，得.由，解得，即为所求.考点3：球体与多面体的组合问题1全国1理(15)直三棱柱-各顶点都在同一球面上.若=，则此球的表面积等于 .【考点定位】本题考查了同学们对于简单几何体的外接球半径的求解问题运用能力。2全国2理12.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标的面的方位是（A）南 （B）北 （C）西 （D）答案：B解析：空间想象几何体还原能力200904235湖北理9.设球的半径为时间t的函数。若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径A.成正比，比例系数为C B. 成正比，比例系数为2C C.成反比，比例系数为C D. 成反比，比例系数为2C 【答案】D【解析】由题意可知球的体积为，则，由此可得，而球的表面积为，所以，即，故选D 16全国2理15.设OA是球O的半径,M是OA的中点,过M且与OA成角的平面截球O的表面得到圆C.若圆C的面积等于,则球O的表面积等于 .10浙江（理）17如图，在长方形中，为的中点，为线段（端点除外）上一动点现将沿折起，使平面平面在平面内过点作，为垂足设，则的取值范围是 ABO1O13湖南理14在半径为的球面上有, , 三点，, , , 则（1）球心到平面的距离为 ；（2）过, 两点的大圆面与平面所成二面角（锐角）的正切值为 14陕西理15如图球O的半径为2，圆是一小圆，A、B是圆上两点，若A，B两点间的球面距离为，则= .15上海理8.已知三个球的半径，满足，则它们的表面积，满足的等量关系是_.【解析】根据题意,得，同理得，代入得，化简可得.AGA1D1C1CBDFEB1图618广东理18（本小题满分14分）如图6，已知正方体的棱长为2，点是正方形的中心，点F、G分别是棱的中点设点分别是点E、G在平面内的正投影（1）求以E为顶点，以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积；（2）证明：直线；（3）求异面直线所成角的正弦值【09命题特点与10备考要点】09命题特点立体几何在每一年高考中都有一个解答题，这是不变的，主要考查空间位置关系（线线、线面及面面的平行与垂直）及空间量（线线角、线面角、面面角、点线距离、点面距离、线线距离、线面距离、面面距离），一般以三棱柱、四棱柱、三棱 锥、四棱锥作为考查的载体，当然，也有不规则几何体，(1)解答题的考查稳中求新，稳中求活.解答题在考查中经常涉及的知识及题型有：证明“平行”和“垂直”，求多面体的体积，三种角的计算，有关距离的计算，多面体表面积的计算.这类问题的解法主要是化归思想，如两条异面直线所成的角转化为两相交直线所成的角，面面距离转化为线面距离，再转化为点面距离等.但近几年来，也推出了一些新题型，就是开放性试题，也是探索性的问题(2)依托知识，考查能力.由于近几年加强了对能力的考查，因此应重视空间想象能力、逻辑思维能力、化归转化能力的培养，因高考数学是通过知识考能力，本章尤其突出的是空间想象能力，而空间想象能力并不是漫无边际的胡想，而应以题设为根据，以某一几何体为依托，这样会更好的帮助你解决实际问题，提高解题能力.(3)一题两法，支持新课程改革.立体几何解答题的设计，注意了求解方法既可用向量方法处理，又可用传统的几何方法解决，并且向量方法比用传统方法解决较为简单，对中学数学教学有良好的导向作用，符合数学教材改革的要求，有力地支持了新课程的改革.10备考要点立体几何高考命题及考查重点、难点稳定：高考始终把空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的性质与判定、线面间的角与距离的计算作为考查的重点，尤其是以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证