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小学数学奥数基础教程(六年级)本教程共30讲百分数百分数有两种不同的定义。 （1）分母是100的分数叫做百分数。这种定义着眼于形式，把百分数作为分数的一种特殊形式。（2）表示一个数（比较数）是另一个数（标准数）的百分之几的数叫做百分数。这种定义着眼于应用，用来表示两个数的比。所以百分数又叫百分比或百分率。百分数通常不写成分数形式，而采用符号“”来表示，叫做百分号。在第二种定义中，出现了比较数、标准数、分率（百分数），这三者的关系如下：比较数标准数=分率（百分数），标准数分率=比较数，比较数分率=标准数。根据比较数、标准数、分率三者的关系，就可以解答许多与百分数有关的应用题。例1 纺织厂的女工占全厂人数的80，一车间的男工占全厂男工的25。问：一车间的男工占全厂人数的百分之几？分析与解：因为“女工占全厂人数的80”，所以男工占全厂人数的1-80=20。又因为“一车间的男工占全厂男工的25”，所以一车间的男工占全厂人数的2025=5。例2 学校去年春季植树500棵，成活率为85，去年秋季植树的成活率为90。已知去年春季比秋季多死了20棵树，那么去年学校共种活了多少棵树？分析与解：去年春季种的树活了50085=425（棵），死了500-425=75（棵）。去年秋季种的树，死了75-20=55（棵），活了 55（1-90）90=495（棵）。所以，去年学校共种活425+495=920（棵）。例3 一次考试共有5道试题。做对第1，2，3，4，5题的人数分别占参加考试人数的85，95，90，75，80。如果做对三道或三道以上为及格，那么这次考试的及格率至少是多少？分析与解：因为百分数的含义是部分量占总量的百分之几，所以不妨设总量即参加考试的人数为100。由此得到做错第1题的有100（1-85）=15（人）；同理可得，做错第2，3，4，5题的分别有5，10，25，20人。总共做错15+5+10+25+20=75（题）。一人做错3道或3道以上为不及格，由753=25（人），推知至多有25人不及格，也就是说至少有75人及格，及格率至少是75。例4 育红小学四年级学生比三年级学生多25，五年级学生比四年级学生少10，六年级学生比五年级学生多10。如果六年级学生比三年级学生多38人，那么三至六年级共有多少名学生？分析：以三年级学生人数为标准量，则四年级是三年级的125，五年级是三年级的125（1-10），六年级是三年级的125（1-10）（1+10）。因为已知六年级比三年级多38人，所以可根据六年级的人数列方程。解：设三年级有x名学生，根据六年级的人数可列方程： x125（1-10）（1+10）=x+38， x12590110=x+38， 1.2375x=x+38， 0.2375x=38， x=160。三年级有160名学生。四年级有学生 160125=200（名）。五年级有学生200（1-10）180（名）。六年级有学生 160+38=198（名）。160+200+180+198=738（名）。答：三至六年级共有学生738名。在百分数应用题中有一类叫溶液配比问题。我们都知道，将糖溶于水就得到了糖水，其中糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液。如果水的量不变，那么糖加得越多，糖水就越甜，也就是说，糖水甜的程度是由糖（溶质）与糖水（溶液=糖+水）二者重量的比值决定的，这个比值就叫糖水的含糖量或糖含量。类似地，酒精溶于水中，纯酒精与酒精溶液二者重量的比值就叫酒精含量。溶质、溶剂、溶液及溶质含量有如下基本关系：溶液重量=溶质重量+溶剂重量，溶质含量=溶质重量溶液重量，溶液重量=溶质重量溶质含量，溶质重量=溶液重量溶质含量。溶质含量通常用百分数表示。例如，10克白糖溶于90克水中，含糖量（溶例5 有含糖量为7的糖水600克，要使其含糖量加大到10，需要再加入多少克糖？分析与解：在600克含糖量为7的糖水中，有糖（溶质）6007=42（克）。设再加x克糖，可使其含糖量加大到10。此时溶质有（42+x）克，溶液有（600+x）克，根据溶质含量可得方程需要再加入20克糖。例6 仓库运来含水量为90的一种水果100千克，一星期后再测，发现含水量降低到80。现在这批水果的总重量是多少千克？分析与解：可将水果分成“水”和“果”两部分。一开始，果重100（1-90）=10（千克）。一星期后含水量变为80，“果”与“水”的比值为因为“果”始终是10千克，可求出此时“水”的重量为所以总重量是10+40=50（千克）。练习91.某修路队修一条路，5天完成了全长的20。照此计算，完成任务还需多少天？2.服装厂一车间人数占全厂的25，二车间人数比一车间少20，三车间人数比二车间多30。已知三车间有156人，全厂有多少人？3.有三块地，第二块地的面积是第一块地的80，第三块地的面积比第二块多20，三块地共69公顷，求三块地各多少公顷。4.某工厂四个季度的全勤率分别为90，86，92，94。问：全年全勤的人至少占百分之几？5.有酒精含量为30的酒精溶液若干，加了一定数量的水后稀释成酒精含量为24的溶液，如果再加入同样多的水，那么酒精含量将变为多少？6.配制硫酸含量为20的硫酸溶液1000克，需要用硫酸含量为18和23的硫酸溶液各多少克？7.有一堆含水量14.5的煤，经过一段时间的风干，含水量降为10，现在这堆煤的重量是原来的百分之几？答案与提示练习91.20天。解：520-5=20（天）。2.600人。解：156(1-20) (1+30)25=600（人）。3.第一、二、三块依次为25，20和24公顷。解：第一块地的面积为691+80+80(1+20)=25（公顷），第二块地为2580=20（公顷），第三块地为69-25=24（公顷）。4.62。解；设全厂有100人，则四个季度没有全勤的共有10+14+8+6=38（人次）。当四个季度没有全勤的人互不相同时，全年没有全勤的人最多，为38人，所以至少有100-36=62（人）全勤，即全年全勤率至少为62。5.20。解：设酒精含量为30的酒精溶液有100克，则溶质为30克。稀释成酒精含量为24的酒精溶液需加水3024-100=25（克）。若再加入25克水，则酒精含量变为30(100+25+25)=20。6.600克，400克。提示：设需要18的溶液x克，则需要23的溶液(100-x)克。根据溶质重量可得x18+(1000-x)23=100020。解得x=600。7.95。解：设原有100吨煤，则有水份14.5吨。又设风干掉水份x吨，则由含现在煤的重量为100-5=95（吨），是原来的95。小学数学奥数基础教程(六年级)本教程共30讲商业中的数学市场经济中有许多数学问题。同学们可能都有和父母一起去买东西的经历，都知道商品有定价，但是这个价格是怎样定的？这就涉及到商品的成本、利润等听起来有些陌生的名词。这一讲的内容就是小学数学知识在商业中的应用。利润=售出价-成本，例如，一件商品进货价是80元，售出价是100元，则这件商品的利润是100-80=20（元），利润率是在这里我们用“进货价”代替了“成本”，实际上成本除了进货价，还包括运输费、仓储费、损耗等，为简便，有时就忽略不计了。例1某商品按每个7元的利润卖出13个的钱，与按每个11元的利润卖出12个的钱一样多。这种商品的进货价是每个多少元？解：设进货价是每个x元。由“售出价=进货价+利润”，根据前、后两次卖出的钱相等，可列方程（x+7）13=（x+11）12， 13x+91=12+132 x=41。答：进货价是每个41元。例2 租用仓库堆放3吨货物，每月租金7000元。这些货物原计划要销售3个月，由于降低了价格，结果2个月就销售完了，由于节省了租仓库的租金，所以结算下来，反而比原计划多赚了1000元。问：每千克货物的价格降低了多少元？分析与解：原计划租仓库3个月，现只租用了2个月，节约了1个月的租金7000元。如果不降低价格，那么应比原计划多赚7000元，但现在只多赚了1000元，说明降价损失是7000-1000=6000（元）。因为共有3吨，即3000千克货物，所以每千克货物降低了60003000=2（元）。例3 张先生向商店订购了每件定价100元的某种商品80件。张先生对商店经理说：“如果你肯减价，那么每减价1元，我就多订购4件。”商店经理算了一下，若减价5，则由于张先生多订购，获得的利润反而比原来多100元。问：这种商品的成本是多少元？分析与解：设这种商品的成本是x元。减价5就是每件减1005=5（元），张先生可多买45=20（件）。由获得利润的情况，可列方程（100-x）80 +100=（100-5-x）（80 + 20）， 8000-80x+100=9500-100x， 20x=1400， x=70，这种商品的成本是70元。由例2、例3看出，商品降价后，由于增加了销售量，所以获得的利润有时反而比原来多。例4 某商店到苹果产地去收购苹果，收购价为每千克1.20元。从产地到商店的距离是400千米，运费为每吨货物每运1千米收1.50元。如果在运输及销售过程中的损耗是10，商店要想实现25的利润率，零售价应是每千克多少元？分析与解：本题的成本包括收购价、运费、损耗。每千克的收购价加运费是1.20+1.504001000=1.80（元）。因为有10的损耗，所以每千克的成本为1.80（1-10）=2.00（元）。售出价=成本（利润率+1） =2.00（25+1） =2.50（元），即零售价应是每千克2.50元。例5 小明到商店买了相同数量的红球和白球，红球原价2元3个，白球原价3元5个。新年优惠，两种球都按1元2个卖，结果小明少花了8元钱。问：小明共买了多少个球？例6 某厂向银行申请甲、乙两种贷款共40万元，每年需付利息5万元。甲种贷款年利率为12，乙种贷款年利率为14。该厂申请甲、乙两种贷款的金额各是多少？解：设申请甲种贷款x万元，则申请乙种贷款（40-x）万元。根据需付利息可得方程 x12+（40-x）14=5， 0.12x+5.6-0.14x5， 0.02x0.6， x=30（万元）。 40-30=10（万元）。答：申请甲种贷款30万元，乙种贷款10万元。练习101.商店进了一批钢笔，用零售价10元卖出20支与用零售价11元卖出15支的利润相同。这批钢笔的进货价每支多少元？2.某种蜜瓜大量上市，这几天的价格每天都是前一天的80。妈妈第一天买了2个，第二天买了3个，第三天买了5个，共花了38元。若这10个蜜瓜都在第三天买，则能少花多少钱？3.商店以每双13元购进一批凉鞋，售价为14.8元，卖到还剩5双时，除去购进这批凉鞋的全部开销外还获利88元。问：这批凉鞋共多少双？4.体育用品商店用3000元购进50个足球和40个篮球。零售时足球加价9，篮球加价11，全部卖出后获利润298元。问：每个足球和篮球的进价是多少元？5.某种商品的利润率是20。如果进货价降低20，售出价保持不变，那么利润率将是多少？6.某商店到苹果产地去收购苹果，收购价为每千克1.20元。从产地到商店的距离是400千米，运费为每吨货物每运1千米收费1.50元。如果不计损耗，那么商店要想实现25的利润率，零售价应是每千克多少元？减价10元出售，全部售完，共获利润3000元。书店共售出这种挂历多少本？答案与提示练习101.7元。解：（1020-1115）（20-15）=7（元）。2.6元。解：设第一天每个蜜瓜x元。由2x+3x80+5x80=38，解得x=5（元）。10个瓜都在第三天买要花5108080=32（元），少花38-32=6（元）。3.90双。解：(88+14.85)(14.8-13)=90（双）。4.足球32元，篮球35元。解：设50个足球的进价为x元，则40个篮球的进价为(3000-x)元。根据利润可得方程x9+(3000-x)11=298。解得x=1600。每个足球的进价为160050=32（元），每个篮球的进价为(3000-x)40=35（元）。5.50。解：设原来进价为1元，则售出价为1(1+20)=1.2（元）。现在的进价为1(1-20)=0.8（元），利润率为（1.2-0.8）0.8=50。6.2.25元。解：(1.20+1.504001000)(1+25)=2.25（元）。7.250本。解：将售出的挂历分组，每组5本，其中原价的2本，减价的3本。每组可获利润182+83=60（元），推知共有300060=50（组），所以共售出550=250（本）。小学数学奥数基础教程(六年级)本教程共30讲圆与扇形五年级已经学习过三角形、矩形、平行四边形、梯形以及由它们形成的组合图形的相关问题，这一讲学习与圆有关的周长、面积等问题。圆的面积=r2，圆的周长=2r，本书中如无特殊说明，圆周率都取=3.14。例1 如下图所示，200米赛跑的起点和终点都在直跑道上，中间的弯道是一个半圆。已知每条跑道宽1.22米，那么外道的起点在内道起点前面多少米？（精确到0.01米）分析与解：半径越大，周长越长，所以外道的弯道比内道的弯道长，要保证内、外道的人跑的距离相等，外道的起点就要向前移，移的距离等于外道弯道与内道弯道的长度差。虽然弯道的各个半径都不知道，然而两条弯道的中心线的半径之差等于一条跑道之宽。设外弯道中心线的半径为R，内弯道中心线的半径为r，则两个弯道的长度之差为R-r（R-r） 3.141.223.83（米）。即外道的起点在内道起点前面3.83米。例2 有七根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆（如左下图），此时橡皮筋的长度是多少厘米？分析与解：由右上图知，绳长等于6个线段AB与6个BC弧长之和。将图中与BC弧类似的6个弧所对的圆心角平移拼补，得到6个角的和是360，所以BC弧所对的圆心角是60，6个BC弧等于直径5厘米的圆的周长。而线段AB等于塑料管的直径，由此知绳长=5653.1445.7（厘米）。例3 左下图中四个圆的半径都是5厘米，求阴影部分的面积。分析与解：直接套用公式，正方形中间的阴影部分的面积不太好计算。容易看出，正方形中的空白部分是4个四分之一圆，利用五年级学过的割补法，可以得到右上图。右上图的阴影部分的面积与原图相同，等于一个正方形与4个半圆（即2个圆）的面积之和，为（2r）2r22=1023.1450257（厘米2）。 例4 草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊（见左下图）。问：这只羊能够活动的范围有多大？分析与解：如右上图所示，羊活动的范围可以分为A，B，C三部分，所以羊活动的范围是例5 右图中阴影部分的面积是2.28厘米2，求扇形的半径。分析与解：阴影部分是扇形与等腰直角三角形相差的部分。所以，扇形的半径是4厘米。例6 右图中的圆是以O为圆心、径是10厘米的圆，求阴影部分的面积。分析与解：解此题的基本思路是：从这个基本思路可以看出：要想得到阴影部分S1 的面积，就必须想办法求出S2和S3的面积。S3的面积又要用下图的基本思路求： 现在就可以求出S3的面