线性代数部分1.docx

线性代数部分 线性代数是高等数学中一个重要部分,也是一门应用十分广泛的数学分支,是经济管理类，理工科等各专业的一门重要的理论基础课程，线性代数为研究和处理涉及许多变元的线性问题提供了有力的数学工具，这一工具在工程技术，经济科学和管理科学中都有广泛的应用.通过本课程的学习，使学生掌握线性代数的基本概念，基本理论和方法，培养学生应用线性代数的基本思想和基本方法来分析和解决实际问题的能力.本模块主要讲述了行列式、克莱姆法则、矩阵的概念与运算、逆矩阵、分块矩阵、矩阵的秩、向量、线性方程组的解的结构，Mathematica软件应用等基本知识、基本概念和方法.第一章 行列式与矩阵【案例1】一百货商店出售四种品牌的电风扇：A，B，C，D四种品牌，售价分别为：220元，240元，260元，300元，若某周共售出13台风扇，毛收入为3200元.并已知C品牌的销售量为A、D销售量的总和，C品牌的毛收入也是A、D毛收入的总和，问各种品牌的销售量.【案例2】某地区甲，乙，丙三家商场同时销售两种品牌的家用电器，三个商场第一季度第一种品牌的销售量分别为20，25，18，（单位：台），第二种品牌的销售量分别为10，11，9，三个商场第二季度第一种品牌的销售量分别为30，28，20，第二种品牌的销售量分别为20，19，17.两种家用电器的单位售价分别为3和4（单位：千元），单位利润分别为0.8和1（单位：千元），求这三家商场在第一季度和第二季度的总收入和总利润.【案例3】已知总成本是产量的二次函数，根据统计资料产量和总成本之间有如下表所示数据，试求总成本函数中的。时期第1期第2期第3期产量(千台)61020总成本(万元)104160370对案例1，我们将在本章引入用行列式的方法来解决对案例2，我们将引进矩阵的概念，并用矩阵的运算解决对案例3,我们用矩阵初等行变换求解.1.1 行列式的定义 一、二阶行列式与三阶行列式 行列式作为一种数学工具，起源于线性方程组的求解问题在中学我们学过用代入消元法和加减消元法求解二元一次方程组和三元一次方程组 设有二元线性方程组 （5-1）可得 （5-2），此方程组有唯一解 （5-3） 为了形式上的统一性，我们引入记号，称之为二阶行列式二阶行列式等于它的左上角到右下角连线（“主对角线”）上的两个元素的乘积减去右上角到左下角连线（“副对角线”）上的两个元素的乘积，此规律又叫做“对角线法则” 利用二阶行列式的定义，记，则解（5-3）可以表示为也就是说，的分母都是系数行列式，分子是分别用常数项取代的第一列与第二列而得到的 例1解 ，故此方程组有唯一解 类似地，我们引入三阶行列式（此式也可以解释为某种形式的“对角线法则”）将上式右端按第一行的元素提取公因子，可得 （5-4）表示式（5-4）具有两个特点：（1） 三阶行列式可以表示为第一行元素分别于对应的二阶行列式乘积的代数和； （2）对应的二阶行列式是从原三阶行列式中分别划去它们所在的行与列后剩下的元素按原来次序所组成的，分别称其为的余子式，记为 令，称之为元素的代数余子式 于是，表示式（5-4）可以改写为 （5-5）表示式（5-5）称为三阶行列式按第一行展开的展开式 注：根据上述推导过程，读者可以得到三阶行列式按其他行或列展开的展开式，例如按第三列展开的展开式为 例2计算三阶行列式的值. 解 或者 ，上面分别是按“对角线法则”与按第一行展开计算 例3计算三阶行列式的值. 解 ，或者，分别是按第一行与第二列展开计算的结果二、阶行列式研究二阶行列式与三阶行列式分别写为项与项代数和的内在规律，是给出一般行列式概念的一条可行路径但为了形式上的简洁，我们给出它的一种归纳定义定义1由个元素（）组成的记号称为阶行列式，其中横排称为行，竖排称为列它表示一个按确定规则得到的数：当时，规定；当时，；当时，（5-6）其中称为元素的代数余子式，这里为元素的余子式，它是一个由划去元素所在的行与列后余下的元素按原来次序构成的阶行列式 例如，在四阶行列式中，我们有 例5计算行列式 解 表示式（5-6）称为阶行列式按第一行展开的展开式事实上，我们可以将阶行列式按其任意一行或列展开：. （5-7） 例6计算行列式 解 因为第二列中有三个零元素，按第二列展开得，对于上面的三阶行列式，按第三列展开得 注：由此题可见，选择按零元素较多的行或列展开可大大简化行列式的计算，这是计算行列式的常用技巧之一 三、一些特殊的行列式 形如与的行列式分别称为上三角行列式与下三角行列式，其特点是主对角线以下（上）的元素全为零 根据阶行列式的定义，每次均通过按第一行展开的方法来降低下三角行列式的阶数，而每次第一行都仅有第一项不为零，故有 对上三角行列式，我们每次都按最后一行展开，而每次最后一行仅有最后一项不为零，从而. 特别地，对于上述两种行列式的交集称为对角行列式，易知. 综上可知，上、下三角行列式与对角行列式的值都等于其主对角线上元素的乘积. 顺便指出，有零行(一行元素全都为零)或者零列的行列式等于零；有相邻两行或者两列对应元素相同的行列式等于零.1.2 行列式的性质与计算一、行列式的性质二阶行列式与三阶行列式各为项与项代数和，每项还是一个连乘积的形式；一般的阶行列式用展开式计算就更复杂了我们必须讨论行列式的性质，将它化为易于计算的形式将行列式的第一行与改为第一列,第二行改为第二列,第行改为第列,得到一个新阶行列式,称为的转置行列式，记为，即若，则性质1行列式与它的转置行列式相等，即即注：由性质知道，行列式中的行与列地位是等同的；行列式对行成立的性质，对列也同样成立性质2交换行列式两行（列）的位置，行列式的值改变符号即对于如下两个行列式有. 注：交换两行（列）记为 推论1若行列式中有两行（列）的对应元素相同，则此行列式等于零 证明互换中相同的这两行（列），有，故 推论2行列式中一行（列）元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 （5-8）性质3 n阶行列式等于任意一行（列）所有元素与其对应的代数余子式乘积之和，即. 性质4用数乘行列式的某一行（列）的所有元素所得到的行列式，也就是说，行列式可以按行和按列提出公因数：. 注：第行（列）乘以，记为 推论3行列式中若有两行（列）对应元素成比例，则此行列式等于零 例如，行列式，因为第三行元素均是第一行对应元素的3倍，根据推论3，直接得 例1三阶行列式 性质5若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，设 注：在利用性质4拆开行列式时，应当逐行、逐列拆开例如， 性质6将行列式的某一行（列）的所有元素都乘以后加到另一行（列）对应位置的元素上，行列式的值不变即：.证明先用性质4将拆成两个行列式的和，再由推论3得注：以数乘第行加到第行上，记作；以数乘第列加到第列上，记作二、行列式的计算 计算行列式时，常用行列式的性质，把它化成三角形行列式来计算这种方法一般称为“化三角形法”例如，化为上三角行列式的步骤是： 如果第一列第一个元素为，先将第一行与其他行交换使得第一列第一个元素不为（如果第一列是个零列则行列式等于零）,然后把第一行分别乘以适当的数加到其他各行，使得第一列除第一个元素外其余元素全为；再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式；如此继续下去，直至将它化为上三角行列式，这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值（可能相差一个符号） 例2计算 解 例3计算解 注意到行列式中各列4个数之和都是9，故可把第2，3，4行同时加到第一行，提出公因子9，然后各行减去第一行的2倍化为上三角行列式来计算： 注：仿照上述方法可以得到更一般的结果： 例4 计算 解 根据行列式的特点，可将第1列加至第2列，然后将第2列加至第3列，再将第3列加至第4列，化为下三角行列式.此外，在行列式的计算中，还将行列式的性质与行列式按行(列)展开的方法结合起来使用.一般可先用行列式的性质将行列式中某一行（列）化为仅含有一个非零元素，再将行列式按此行（列）展开，化为低一阶的行列式，如此继续下去直到化为二阶行列式为止这种方法一般称为“降阶法”5.3 克莱姆法则 我们在第一节提到过，对三元线性方程组，记，若系数行列式，则该方程组有唯一解： 注：这个解可以通过消元的方法（引用公式（5-7）与（5-8）求出 对更一般的线性方程组是否有类似的结果？答案是肯定的在引进克莱姆（Cramer）法则之前，我们先介绍有关元线性方程组的概念含有个未知数的线性方程组 （5-10）称为（有个方程的）元线性方程组当其右端的常数项不全为零时，线性方程组（5-10）称为非齐次的；否则，（5-10）称为齐次的，此时（5-11） 方程组（5-10）、（5-11）的系数构成的行列式称为该方程组的系数行列式，即 对齐次线性方程组（5-11），易见一定是该方程组的解，称其为齐次线性方程组（5-11）的零解 定理1（克莱姆法则）若线性方程组（5-10）的系数行列式，则（5-10）有唯一解，且其解可以表示为 （5-12） 其中是把中第列元素对应地换成，而其余各列保持不变所得到的行列式例1 用克莱姆法则解线性方程组 解同样,可求得 故 从上述四元线性方程组的求解可以看出，用克莱姆法则求线性方程组的解时，计算量随着未知数数目的增加增长极快对具体的数字方程组，当未知数较多时可用计算机求解用计算机解线性方程组目前已经有了一整套成熟的方法（消元法的算法程序化） 克莱姆法则在一定条件（）下给出了一种特殊形状（方程个数等于未知数个数）的线性方程组解的存在性、唯一性，与其在计算方面的作用相比，克拉姆法则更具有重大的理论价值【案例1的分析】设A,B,C,D品牌的销售量分别为：则由题意列出方程组：将之转化为一般形式: 线性方程组的系数行列式同样，可得 故 克莱姆法则有下列明显的推论：推论1如果线性方程组（5-10）无解或者解不是唯一