两道考研试题的探讨.pdf

第 2 7卷 第 6期 2 0 1 1年 l 2月 大 学 数 学 COLLEGE M A TH EM ATI CS Vo 1 2 7 6 De c 2 O1 1 两道考研试题 的探讨 宁荣健 苏灿荣 殷 明 合肥工业大学 数学 学院合肥 2 3 0 0 0 9 摘 要 主要讨论 了函数 z 一 l n 1 z z z 1 z 1 m为正整数 关 于 z的幂级 数展开式在点 z l 处的敛散性 关键 词 幂级 数展开式 收敛 考研 欧拉常数 中图分类号 01 7 3 1 文献标识码 C 文章编号 1 6 7 2 1 4 5 4 2 0 1 1 0 6 0 1 5 0 0 3 文E 1 2 中介绍 了如下两道考研试题 试题一 把函数 z 一i n 1 z X z 展开成 X的幂级数 并求其收敛域 华南工学 院 1 9 8 1 年硕 士研 究 生入 学试题 试题二 把函数 厂 z 一 i n 1 X z z 展开成 z的幂级数 并指出收敛区域 上海交通 大学 1 9 7 9 年 硕 士研究 生入 学试 题 对于试题一 文 1 2 分别给出了下列解答 解 法 1 当 一 1 z 1 时 恒 有 1 z z z 3 于 是 由对 数 性质 及展 开公 式 有 厂 一 I n 1 z X z I n l n 1一 2 3 一 l n 1一 z 一 一 由于 l n 1一 的展 开 区间为 一1 1 l n 1 一z 的展 开 区间 为 一1 1 故 l n 1 z z 的展 开 区 间为 一 1 1 即有 所 以 厂 一 l n 1 z 一一 一 1 z 1 解法 2 z 一 I n 1 2 2 z 3 l n 1 z 1 一 I n 1 I n 1 而 一 1 z 1 一 1 z 1 厂 z 一 ln z z 一 妻 n l 1 1 T n l 一 等 一 妻 n l 一 1 收稿 日期 2 0 0 9 1 0 2 O 基金项目 安徽省教育厅教改项目 2 0 1 0 6 2 4 5 6 4 3 合肥工业大学研究生教改项 目 Y J K2 0 1 0 2 0 2 n 雄 1 一一 一 一 一 第 6期 宁荣健 等 两道 考研 试 题 的探 讨 1 5 1 其收敛域为 一 l z 1 对于试题二 文 2 1 给出了与第一道试题相似的解法 因为 厂 一 I n 1 z z 一 I n 一 l n 1一 X 5 一 I n 1一 1 而 ln 1 一 z 一 一 等 ln 1 一 一 一 警 且它们 的收敛区域均为 1 1 故当 一1 z 1时 f x 一 ln 1 z z z 一 等 一 孚 一 1 1 受 以上 解法 的启 发 我们发 现 两个 问题 问题一 厂 z 一 l n 1 z z z 的幂级数展开式的收敛域是 一 1 1 还是 一 1 1 问题 二 z 一 l n 1 z z 的幂 级数 展 开式在 点 X一 1 处是 否 收敛 于 l n 5 即其 收 敛域可否扩充为 一1 1 本 文将 对这 些 问题进 行讨 论 实际上 以上 问题 可 以归并 为 厂 z 一 I n 1 z 一 1 z 1 为正 整数 的幂 级数 展 开式在 点 X一 1处是 否 收敛 于 l n m 1 为了讨论方便 我们不妨考虑 一 4的情形 当 1 z 1 1 时 有 I 1n I 水 1 厂 z 一 l n z 一 ln 5 z 一 1 0 一 一 1 因此 当 I z I 1时 z 一 1 n 1一X 一 1 n 1一 z 一 1 一 1 5 一 a 1 吼扣 一 丽 一 1 一 1 一 一 忌 一 1 2 一 一 一 一 意 一 z 当 z一 1时 奎 妻 n 1 一 1 1 1十 1 十 1 十 i 1 1 1 一 1 其 前 5 k项 部分 和为 一 1 1 十 1 十 1 十 1 1 一i 1 一 1 1 一 1 1 i 1 一 1 1 一 1n 5 忌 一 1 1 1 一 ln 是 ln 5 l i ms 5 C C 1 n 5一 l n 5 其 中 C为 欧拉 常数 另外 一 一 丢 n 5 一 一 o l 0 定 定 l I J 一 4 卜 如 中 其 l 5 2 大 学 数 学 第 2 7卷 同理可 得 l i ra s 5 2一 l i m s 5 卜3一 l i ras 5 一 4一 I n5 女 o o 所 以有 l i ras 一 l n 5 即 口 在 点z一1 处收 敛于厂 1 一 1 因此 厂 z 一 I n 1 X z 的幂 级数 展开 式在 点 X 1 处 收敛 于 厂 1 即其 收敛 域 可 扩充为 一1 1 从而 厂 l n 1 X z z 一 口 z 一1 1 其中 与上述讨论完全相仿 我们可得下列一般结论 若则 m 为偶数 则有 厂 z 一 l n 1 lz 一 若则 为奇 数 则 有 厂 一 l n 1 z z 一 口 z 一1 z 1 n一 1 口 一1 z 1 1 1 卅 m一 F 二 州一 口 1 一1 l 干 1 忌 二 1 1 二 二 1 1 科 一 丽一 百 一 参 考 文 献 1 k k 1 2 1 吉林 大学高等数学教研室 研究生入学考试试题精选详