第二章 有限群的表示理论.doc

第二章 有限群的表示理论2.1 概述1、从一般意义上说，若群G和群W是同态的（严格地说，是G到W的同态），则两个群有结构相似性，我们称W是G的一个同态表示。例如，任何g阶有限群，都与同态。事实上，首先两个群之间有下列对应关系：其次，都有因此，是任何有限群的一个同态表示，这是群的最简单的表示。又例如，与同态，所以L是H的同态表示由于群和它的同态表示之间，元素有多对一的对应关系，因此同态表示又称非忠实表示。2、更为有意义的是所谓同构表示。若群G和群W同构，则两个群有相同的结构，我们称W是G的一个同构表示（当然，也可以说G是W的一个同构表示）。由于群和它的同构表示之间，元素有一一对应的关系，因此同构表示又称忠实表示。3、在表示理论中，特别有价值的是便于计算的表示，比如矩阵表示。也就是，用一个与有限群G同构的矩阵群作为群的一个表示。今后，我们所说的表示如未作特殊说明均指矩阵表示，简称表示。2.2 群的矩阵表示首先，我们想要指出的是，任何一个群至少可以找到一个同构的矩阵群。例如：(1) 二阶群：由于所有的二阶群都是同构的（二阶循环群），因此，任何一个二阶群，有无数个与之同构的矩阵二阶群：；(2) 三阶群：三阶群是素数阶群，只有一种结构就是三阶循环群。因此，任何三阶群，至少有一个与之同构的矩阵三阶循环群，例如：(3) 群和下列矩阵群同构：其中：， 当然，还可以找到其它与此群同构的矩阵群。因此，我们有下列定义：定义2.1 任何n阶有限群，称一个与G同构的矩阵群为G的一个矩阵表示（简称表示）。矩阵的阶数称为该表示的维数。对此定义因该注意以下几条：a) 对，有；b) G群中幺元素E总是对应中的单位矩阵；c) G群中两个互逆元素总是对应中的两个互逆的矩阵；d) 群的阶数与表示的维数是两个概念。e) 给定有限群的表示不是唯一的。定义2.2 设和为群G的两个维数相同的表示，若存在满秩方阵X，使得：（或：）则称这两个表示是等价的。定理2.1 有限群G的任何一个表示总等价于一个幺正表示（酉表示）。换句话，对于任何有限群，总可以表示为一个幺正矩阵的群。【证明】 设是n阶群G的一个m维的表示。构造一个矩阵H： (2.1)（）则H是一个正定的厄米矩阵*（，所有的本征值为大于零的实数）。因此，必然存在一个幺正变换（酉变换）U使得：将(2.1)代入上式有 (a1)其中， （a2）H是正定的，因此是正定的，故可 导出一个满秩矩阵： (2.2)定义满秩方阵(2.3) （，）以X为变换矩阵，将表示中的每一个矩阵被变换为 (2.4)()即得到群G的一个新的表示。不难验证，该表示中的每一个矩阵都是幺正矩阵，事实上 注：定理2.1的证明过程，给出了将一个群G的非幺正表示通过相似变换化为幺正表示的步骤：a) 求厄米矩阵：；b) 求解H的本征问题得到：幺正矩阵U、对角矩阵；c) 令，则在X的变换下得到一个幺正表示：。2.3群的可约表示与完全可约表示定义2.3 设g阶有限群的一个n维的表示为：若对有：(2.5)（）其中，是m维方阵，是n-m维方阵，则称是群G的一个可约表示，否则就称不可约表示。不难说明，如果表示是一个可约表示，则由可以约化出群G的另外两个表示：m维的表示：n-m维的表示：事实上，首先，群G与和的元素间有一一对应的关系；2）其次，对有：由于是可约表示，故此有对比两端对应元素有定义2.4 设g阶有限群的一个n维的表示为：若对有：(2.6)（）其中，是m维方阵，是n-m维方阵，则称是群G的一个完全可约表示。定理2.2 有限群G的任何一个可约幺正表示必然是一个完全可约表示。（任何可约的幺正矩阵群必然是完全可约的）。【证明】 设是群G的一个幺正可约表示，则对有：（）将第一个式子代入第二个式子：因此必有这就证明了幺正群是完全可约的，并且、也是幺正的。由于一个群的非幺正表示，总可以通过相似变换化为幺正表示，故今后的讨论总是假定群的表示是幺正的。2.4 不可约表示及相关定理在前面的讨论中我们看到，群G的一个n维可约表示（假定是幺正的）可以约化为一个m维的幺正表示和一个n-m维的幺正表示，即如果（或）仍然是可约的表示，则将其约化为其中、仍然是群G的幺正表示。我们将约化过程持续下去直到其中，k=1, 2, , s 是群G的不可约表示。应该注意的是，在上述不可约表示中，可能有一些是相互等价的。由此可见，通过对可约表示的反复约化，最终总能得到群的不可约表示。因此，以下将重点讨论群的不可约表示。2.4.1 舒尔(Schur)引理在此，先介绍两个引理，为下一节将要介绍的大正交定理做好数学的准备。舒尔引理1： 设g阶群的一个n维不可约表示为,若存在矩阵M，对有：则M必为常数矩阵（即）。【证明】 假设 ( i=1,2,g )两端取转置共轭两端左右同乘由于是幺正的，故有令： 则： 显然，H、都是厄米矩阵，并且故只要证明H、都是常数矩阵即可（仅需证明一个即可）。由于H是厄米矩阵，必存在幺正变换U，使得由于所以有令： （也是一个不可约的幺正表示）则有：亦即也就是有两种情况可使上式成立a) 所有是一个准对角矩阵，但由于表示是不可约的，故这种情况应该排除；b) ，即；由此推知进而推之舒尔引理2： 设g阶群的两个不可约表示为和，表示的维数分别，若存在矩阵M，使得则(i) 若，M必为零矩阵；(ii) 若，M或为零矩阵，或者是一个满秩矩阵。如果是满秩矩阵，则和等价。【证明】 假设存在矩阵M使得 （b1）( a =1,2,g )两端取转置共轭 （b2）由于和都是幺正的，故代入（b2）式有 （b3）两端左乘M有 （利用了（b1）此式表明，与不可约表示对易，根据舒尔引理1知 （b4）(1) , M是n阶方阵a) 若,则显然，即M是满秩的；b) 若，则有，亦即，是零矩阵。(2) , M是矩阵（不妨设）先定义一个阶的方阵：其中，Z是一个的零矩阵。显然有另一方面所以 故只有，则有，亦即，是零矩阵。2.4.2 不可约表示的正交性定理1、正交性定理定理2.3设g阶群的两个不可约表示为-表示的维数分别为，则有下列正交关系： (2.7)【证明】 证明分为两个部分(1) （两个不等价的表示）构造一个矩阵M：其中，X是任意的矩阵。以左乘两端有（）由舒尔引理2知，即由表示的幺正性（）得到取k行s列元素有取 （X矩阵中只位于第m行第n列的元素为1，其余为零）代入上式，并注意到，因而有 (2.8)（）(2) （同一个表示）构造一个矩阵N：其中，X是任意的矩阵。对，再次可以得到根据舒尔引理1，N必为常数矩阵，即由表示的幺正性（）得到 (a)取k行s列元素有 (b)为了决定常数c，可在(a)式两端取矩阵的trace，为此取k行k列元素并求和得到 (c)而 ()代入(c)式得到常数c代入(b)式有 (d)取 （X矩阵中只有m行n列元素为1，其余为零），则代入(d)式后最终得到 (2.9)(2.8)、(2.9)可以合写为2、正交性定理的解释用向量空间的语言，可以给不可约表示正交性定理一个直观地解释。设群共有q个不等价的不可约表示：，（维数：）用同一表示中各矩阵的对应阵元组成列向量： (2.10)显然，这样的向量一共有个，如果它们是完备的（稍后会证明），将张开一个g维向量空间，称为群空间，而将向量称为群空间的表示向量。这样我们就可将不可约表示的正交性定理，表达为群空间中两个向量的正交关系，即 (2.11)( )a) （两个不等价的表示）即任何两个属于不同不可约表示的表示向量正交；b) （同一个不可约表示）即属于同一个不可约表示的两个不同表示向量也是正交的。由此可见，群空间中有个表示向量彼此正交（线性无关）。稍后我们会证明，它们还是一个完备无关组，可以作为群空间的正交基张开整个群空间。由于群空间是g维空间，基中的向量的个数应该等于空间的维数，于是 (2.12)这个式子给出了关于g阶群不可约表示数目的一个限制。例2.1 一个6阶群的乘法表为EA1A2A3A4A5EEA1A2A3A4A5A1A1EA4A5A2A3A2A2A5EA4A3A1A3A3A4A5EA1A2A4A4A3A1A2A5EA5A5A2A3A1EA4它的一个2维不可约表示为在这个不可约表示中，各表示向量为， 显然，这四个表示向量彼此正交，并且此外，根据(2.12)式，还有两个不等价的1维不可约表示：它们都是不可约的同态表示。这两个表示决定的表示向量为：；显然，这些表示向量彼此正交，6个表示向量构成这个6阶群的群空间的基。由此可见，一个不可约表示给出群空间中部分基向量，所有不等价的不可约表示给出群空间的一个完备基。最后，我们想要指出的是，这个六阶群有三个不等价的不可约表示，而此群恰好有三个类：这个结果并非是偶然的，它是我们在下一节将要给出的一个重要结论。2.5 表示的特征标在此，将介绍群表示理论中另外一个重要的概念，即群表示的特征标。特征标的引入将有助于解决下列问题：(1) 群的表示（无论是可约的还是不可约的）不是唯一的，即使是两个等价的表示，也可能因基矢的选择不同而有不同的形式。然而，两个等价的表示通过相似变换相联系，因此可以推测，两个等价的表示在相似变换下必然有不变的共性，这个共性就是矩阵的迹（特征标）。(2) 直到现在，我们还没有解决的一个问题是：对于给定的群，究竟有多少个不等价的不可约表示。（2.12）仅给出一个限制性的关系）。(3) 如何去判断一个给定的表示的可约性。(4) 可约表示约化为不可约表示的线性组合问题。2.5.1特征标的定义定义2.5 设g阶有限群的一个l维的表示为：将的阵迹定义为群中元素在表示下的特征标，记作(2.13)（）全体的集合称为表示群G在表示下的特征标（简称为表示的特征标），记作： (2.14)为了区分可约表示与不可约表示的特征标，将不可约表示的特征标称为单纯特征标，而可约表示的特征标称为复合特征标。例如，在例2.1中我们给出了一个六阶群G的3个不可约表示，它们的特征标分别为：可以清楚的看到：首先，群中同一类的元素有相同的特征标；其次，这3个特征标向量彼此正交（如果将所有特征标排列为一个矩阵，可以发现矩阵行与行之间，列与列之间都是正交的）。以下就会说明这个结果是一般性的。2.5.2特征标的性质1、共轭元素的特征标、等价表示的特征标性质1：群中属于同一类的元素在任何表示下有相同的特征标。【证明】 设、属于群的同一个类，则必有使得（共轭）又设是群的一个表示，则有两端求矩阵的迹 （也就是。性质2：群的两个等价表示的特征标相同。（矩阵在相似变换下阵迹不变）由于，群中同一类的元素有相同的特征标，因此可以把特征标定义为一个类的函数，于是有下列定义定义2.6 设g阶有限群共有p个类：，则群在任何表示下的特征标可以写为(2.15)注意：定义2.5和2.6的区别在于，如果我们把特征标看作一个向量，那么前者定义的是群空间的一个向量（g维），后者则是将前者简并为类空间的一个向量（m维, ）。或者用函数的语言来说，前者是群元的函数，后者是类的函数。2、特征标的正交性定理2.4 （单纯特征标的正交性）：设g阶群G共有p个类，每个类中所包含的元素的个数依次为。又设和是群的两个维数分别为和的不可约表示，它们的特征标（单纯特征标）满足下列正交关系： (2.16a)或 (2.16b)也就是说，两个不等价的不可约表示的特征标相互正交。【证明】 设和是群的两个维数分别为和的表示，根据不可约表示的正交性定理有；在上式中令则有两端对m和n取和也就是亦即；由于同一类中的元素有相同的特征标，假设第k个类有元素，它们的特征标之和表示为，因此正交关系又可写为按类求和的形式。单纯特征标的正交关系还可写为下列规一化的形式 (2.17a)(2.17b)我们再次用向量空间的观点来审视(2.17b)。设g阶群G共有p个类，每个类中所包含的元素的个数依次为。又设此群共有q个不可约表示，则群的每个类在每个表示下对应一个特征标。所有类的特征标构成特征标向量（同一表示下各个类的特征标向量）：(2.18)（）这样，正交关系(2.17b)可以写为(2.19)显然，这是一个p维的向量，这样的向量一共有q个，彼此正交。稍后会证明它们是完备的，因此以它们为基将张开一个p维向量空间，称为类空间。由于空间的维数必须等于基的个数，因而有这就是说：不可约表示的数目等于类的数目。定理2.5 有限群的不可约表示的数目等于该群的类的数目。此外，如果我们定义向量（同一个类在不同表示下的特征标向量）(2.20)（）则可得到下列正交关系(2.21)这是特征标正交性的另一种表达形式，它表明两个不同类在所有不可约表示下的特征标向量也是正交的。为了便于记忆，可以把群的每个类在所有不可约表示下的特征标排列成一个矩阵，即 (2.22)由于，因此这是一个方阵，它的行向量彼此正交，满足它的列向量也彼此正交，满足3、特征标的乘积关系由特征标的正交性还可导出一个不可约表示特征标的乘积关系，它对构造群的单纯特征标非常有用。(1) 类的表示矩阵定义：设群的一个不可约表示为如果群共有p个类：，每个类中包含的元素个数依次为：则类的表示矩阵定义为类中所有元素的表示矩阵的和，即 (2.23)性质：群的任何一个类的表示矩阵必为常数矩阵，即(2.24)证：设D(G)是群G的一个不可约表示，是群的一个类。由于群中任意一个元素与类对易，即有因此，类的表示矩阵必与不可约表示D(G)中的所有矩阵对易，即有根据舒尔引理1知：。(2) 不可约表示特征标的乘积关系定理2.6 设群G的一个维的不可约表示为，是群的两个类，每个类中所包含的元素的个数分别为。则在不可约表示下两个类的特征标有下列乘积关系： (2.25)其中，为组合系数，它的取值取决于类的乘积。【证明】 由于群的两个类的乘积（内积）包含着群的完全类，即因此，类的表示矩阵也有相应的组合关系，即由于类的表示矩阵是常数矩阵，因而有亦即 （c1）另一方面，由于两端求trace得到由此解出（c2）将(c2)代入(c1)即有。2.5.3 可约表示的约化在此将进一步讨论一个群的可约表示与不可约表示的关系。在本章2.4节开始部分曾指出，如果是g阶群的一个n维的可约表示（假定是幺正的），那么通过反复约化最终可以将表示中的每一个表示矩阵约化为同型的准对角矩阵，即每个给出群的一个不可约表示，这样可以得到此群的s个不可约表示。另一方面，如果群G有p个类，那么此群的不可约表示的数目为p。因此，可约表示完全约化后的矩阵可以表达为 (2.26a)其中，系数表示第k个不可约表示 在约化后重复度。或者把它写为一个和的形式(应该理解为矩阵的直和) (2.26b)此式表明，群的可约表示可以约化为不可约表示的线性组合。对(2.26b)两端求矩阵的迹，则可约表示的特征标表示为不可约表示的特征标的线性组合，即 (2.27)利用特征标的正交性，可以确定系数。用乘以上式两端，并对群中元素取和有即 (2.28)2.5.4 不可约表示的一个判据定理2.7 g阶群的一个表示是不可约表示的充要条件是其特征标满足 (2.29)【证明】 (1) 必要性。设和是群的一个不可约表示，其特征标为。由单纯特征标的正交性得到；(2) 充分性。又设和是群的一个表示，其特征标满足(2.29)。根据(2.27),可将此特征标表达为单纯特征标的线性组合，即因此有 （特征标的正交性）上式左端满足(2.29),因此由此可见，是单纯特征标，因而必是一个不可约表示。2.5.5 例子1 群的不可约表示与特征标以群作为例子，讨论如何应用前几节介绍的知识求出一个有限群的所有不可约表示及对应的特征标。1、预备信息8阶群：类：，乘法表：EEEEEEEEEE2、群的特征标首先，因为该群有5个类，所以此群共有5种不可约表示，依次记为：每个表示对应的特征标（向量）依次为其次，由于表示的维数的平方和等于群的阶，即因此，可以确定此群的5个不可约表示中，有4个一维表示，一个2维表示（假定是）。将群的每个类在各表示下的特征标列于下表（特征标矩阵）。表2.1群的特征标表类特征标CICIICIIICIVCVc111111c21-11-11c31-111-1c4111-1-1c520-200说明： 是一维表示的特征标，一维表示的特征标等于表示自身，所以必须满足群乘表和正交关系。（1）第一行所有的特征标均为1；对应表示（1，1，1，1，1，1）； 第一列也容易得出，因为。（2）所有一维表示的特征标必须满足群乘表，因而有下列关系， 可见，表中第3列前4行全为1。（3）由群乘表还可得出下列几组关系 以及：据此，再参考特征标的正交关系即可写出表中前4行所有的特征标。（4）最后一行是二维表示的特征标，利用特征标列向量的正交性可以直接写出。检验求得的特征标表，可以看出它满足正交性和(2.29)式。3、群的不可约表示首先，一维表示的特征标等于表示自身，即，因此可直接由特征标表写出前四个一维表示。第五个表示是2维表示，可按下列方法求出：由于群中的每个元素是二维向量空间上的一个变换，故取该空间的一组正交基，对有或30这样，就把群中的每个元素（变换）表达为矩阵。例如：， ，如此，即可得到所有的表示。表2.1群的不可约表示D111111111D21-11-1-1-111D31-11-111-1-1D41111-1-1-1-1D5求群的维不可约表示的问题，关键是选择l个适当的基。有时这是一个相当困难的事情。以下几节，有相关问题的讨论。2.5.6 例子2 一个6阶群的不可约表示与特征标1、预备信息6阶群：一个6阶群的的乘法表为EA1A2A3A4A5EEA1A2A3A4A5A1A1EA4A5A2A3A2A2A5EA4A3A1A3A3A4A5EA1A2A4A4A3A1A2A5EA5A5A2A3A1EA4类：，不可约表示的个数：3不可约表示的维数：由于，故有2个一维表示和1个二维表示，依次记为：；每个表示对应的特征标（向量）依次为：。2、群的特征标将群的每个类在各表示下的特征标列于下表（特征标矩阵）。类特征标C1C2C3c1111c21abc32cd（1） 由和的正交关系：和是单纯特征标： 得到：，解出：（2） 由和的正交关系：及和的正交关系： 得到：，解出：因此该群的特征表矩阵为：；3、群的不可约表示首先，一维表示的特征标等于表示自身，因此 ：；第三个表示是2维表示，原则上可选择个正交基，然后用例一的办法求出（也可用群的大正交定理求出）： 有关问题见以下几节的讨论。2.6 正规表示2.6.1 正规表示的定义由群的乘法表很容易得到群的一种可约表示，这就是所谓正规表示。为了说明这个概念，我们首先举一个例子。例2.2 一个6阶群的的乘法表为EA1A2A3A4A5EEA1A2A3A4A5A1A1EA4A5A2A3A2A2A5EA4A3A1A3A3A4A5EA1A2A4A4A3A1A2A5EA5A5A2A3A1EA4求它的正规表示。解：将群乘表重新写为下列形式EA1A2A3A4A5EEA1A2A3A4A5A1A1EA4A5A2A3A2A2A5EA4A3A1A3A3A4A5EA1A2A5A5A2A3A1EA4A4A4A3A1A2A5E可按下列规则求出每个元素对应的矩阵：对，令它对应的矩阵为，其阵元定义为：也就是在表中出现的位置为1，其它位置为0。这样，对群中的每一个元素得到一个对应的矩阵：，可以证明*，以上6个矩阵构成所给6阶群的一个表示，称为正规表示。此外，我们注意到（1） 该表示的维数等于群的阶数；（2） 该表示的特征标为：；（3） 该表示为可约表示，因为。定理2.8 对于任何有限群，可以按下述方法构造它的一个可约表示： 其中的阵元为(2.30)这个可约表示称为群的正规表示。【证明】 要证明是群G的一个表示，只须证明对有 (d1)事实上， (d2)由于显然，乘积因子不为零的条件是，存在唯一的，使得 代入(d2)式有另一方面根据矩阵的构造规则有可见(d1)式成立。2.6.2 正规表示的性质性质一：正规表示的维数等于群的阶数；性质二：正规表示的特征标满足：(2.31)（对于正规表示：幺元的特征标为群的阶，其余元素的特征标为零）证：设，对于正规表示a) 若，则，求trace得到，；b) 若，则有当i=j时,由于，故有性质三：正规表示的简约系数等于相应不可约表示的维数，即 (2.32a) (2.32b)其中，是不可约表示的维数。证：设，由于正规表示是可约表示，因而有求trace得到两端乘以并对群元素取和有（利用了单纯特征标的正交性）也就是 （利用了正规表示特征标的性质）2.6.3 有关不可约表示的几个性质利用正规表示，还可得到几个有关不可约表示的性质。性质一：g阶群的不可约表示的特征标满足；(2.33) 其中，是相应不可约表示的维数。证：设，根据上节性质3，它的正规表示的特征标可以写为根据上节性质二即可得到结论。性质二：群的所有不可约表示维数的平方和等于群的阶，即(2.12)证：在(2.33)中令，则有性质三：群的所有不可约表示的数目等于群的类的数目。证： 性质2的成立表明，由群的所有不可约表示决定的表示向量对于群空间是完备的，由此可以推知由群的所有不可约表示决定的特征标向量对于类空间也是完备的。因此，不可约表示的数目（特征标向量的数目）必须等于类的数目（类空间的维数）。事实上，若假定g阶群有p个类，q个不可约表示，则特征标向量排成下列矩阵 (2.22)它的q个行向量是p维空间（类空间）中的正交向量，因此有它的p个列向量是q维空间中的正交向量，因此又有故而有。2.7 群的直积2.7.1 矩阵的直积1、定义定义2.7 设A是矩阵，B是矩阵，由这两个矩阵按下列方式可以生成一个矩阵： (2.34