数列章末总结.doc

数列章末总结 学习目标 1探索并掌握一些基本的数列求前n项和的方法；2能在具体的问题情境中，发现数列的数列的通项和递推关系，3能用有关等差、等比数列知识解决相应的实际问题。 学习过程 一、课前准备（1） 有关概念：1数列：按一定次序排列的一列数，数列中的每一个数叫做数列的项。2数列的通项公式：如果数列an的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做数列的通项公式。3数列的递推公式：如果已知数列an的第一项（或前n项，且任一项an与它的前一项an-1（或前n项）间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。4若数列an的前n项和为Sn则 （2）等差与等比数列等差数列等比数列定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。即an-an-1=d，公差d可为正数、负数和零（A.P） 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。即，公比q是一个不等于零的常数。通项公式（来源：定义，迭加，迭代）（证明）(定义,迭乘，迭代）中项 若a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且2A=a+b。（充要条件存在唯一）若a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且G2=ab。G2=ab，仅是a，G，b成等比数列的必要非充分条件。前n项和（倒序相加）（错位相减）性质（1）（2）（3）若an为等差数列，则an，a2n，a3n也为等差数列（4）若an为等差数列，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也为等差数列（5）若an，bn都是等差数列，则an+c，kan，an+bn也是等差数列（其中k、c为任何常数）(1)（2）（3）若an为GP，则an，a2n，a3n也为等比数列（4）若an为GP，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也为等比数列。（5）若an，bn都是等比数列，则kan（k0），也是等比数列。判断方法（1）（常数）an为等差数列（2）（k、b不同时为0的常数）an为等差数列（3）不同时为0的常数）为等差数列（4）为等差数列（1）（q0常数）an为等比数列。（2）常数）an为等比数列。（3）（）为等比数列。二、典例分析数列通项公式的求法数列的通项公式是数列的核心内容之一。它如同函数中的解析式一样，对研究数列的性质起着重要的作用。围绕数列的通项公式，不仅可以判断数列的类型，研究数列的项的变化规律与趋势，而且还便于研究数列的前n项和，因此求数列的通项公式往往是解决数列问题的突破口，在解题时，根据题目所给条件的不同，可以采用不同的方法求数列的通项公式，常见方法如下：1.叠加法（累加法）对于形如an+1-an=f(n)型的，用叠加法例1：已知数列an中，a1=1，且an+1-an=3n-n，求数列an的通项公式。变式：已知数列满足，求。2.叠乘法（累乘法）对于形如)型的，用叠加法例2:已知数列满足，求。变式：已知， ，求。3.构造法其他的，已知数列递推公式求an，用构造法（构造等差或等比数列）例3：数列中，求该数列的通项公式。评注：一般地，形如为非零常数，可变形为，其中，则是一个公比为的等比数列。变式：已知数列中，求.4.由Sn求an利用与消去 或与消去进行求解。例4：数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式. 数列求和1、公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n项和的公式来求.等差数列求和公式：等比数列求和公式：常见的数列的前n项和：， 1+3+5+(2n-1)=，等.2、倒序相加法：类似于等差数列的前n项和的公式的推导方法。如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法.例5：已知函数（1）证明：；（2）求的值.小结：解题时，认真分析对某些前后具有对称性的数列，可以运用倒序相加法求和.3、错位相减法：类似于等比数列的前n项和的公式的推导方法。若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差比”数列，则采用错位相减法.若，其中是等差数列，是公比为等比数列，令 则 两式相减并整理即得例6、（2008年全国第19题第（2）小题，满分6分）已知 ，求数列an的前n项和Sn.小结：错位相减法的求解步骤：在等式两边同时乘以等比数列的公比；将两个等式相减；利用等比数列的前n项和的公式求和.变式：求和：4、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。适用于类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等。用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法：（1），特别地当时，（2），特别地当时例7、数列的通项公式为，求它的前n项和小结：裂项相消法求和的关键是数列的通项可以分解成两项的差，且这两项是同一数列的相邻两项，即这两项的结构应一致，并且消项时前后所剩的项数相同.变式：在数列an中，又，求数列bn的前n项的和.5、分组求和法：有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列.若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例8、求和：小结：这是求和的常用方法，按照一定规律将数列分成等差（比）数列或常见的数列，使问题得到顺利求解.变式：求和：例题参考答案例1变式：解：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即所以，例2解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，例2变式解：。例3解：由有： 故数列是以为公比的等比数列，且首项为 例3变式：解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.例4解：（1）由得：于是所以.（2）上式两边同乘以得：由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以例5解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边（2）利用第（1）小题已