最优存款理论_2001年全国大学生数学建模竞赛B题论文.pdf

2002 年 第 17 卷 第 2 期 电 力 学 报 Vol 17 No 2 2002 总第 59 期 JOURNAL OF ELECT RIC POWER Sum 59 文章编号 1005 6548 2002 02 0090 03 最优存款理论 2001 年全国大学生数学建模竞赛 B 题论文 李向云1 陈 峰1 陈 坚1 1 山西大学工程学院 山西 太原 030013 Giving Priority to Deposit Theory The Theme of Nationol College Students Mathematical Model Matching LI Xiang yun1 CHEN Feng1 CHEN Jian1 1 Engineering College of Shanxi University Taiyuan 030013 China 摘 要 采用动态规划理论讨论了最优存款的方 法 根据这些讨论制定出决策流程和决策表 使得 操作更为便捷 关键词 动态规划 决策流程 数学建模 存款理 论 中图分类号 O221 3 文献标识码 A Abstract Techniques of deposit are discussed by applying theory of dynamic programming From this the decision processes and the decision table are given for easy operating Key Words dynamic programming decision pro cesses mathematical modelling deposit theory 1 问题重述 校基金会有一笔数额为 M 元的基金 打算将 其存入银行或购买国库券 假设国库券每年发行一 次 取款政策参考银行的现行政策 利率见表 1 校基金会计划在 n 年内用部分本息奖励优秀 师生 要求每年的奖金额大致相同 且在 n 年末仍 保留原基金数额 校基金会希望获得最佳使用计 划 以提高每年的奖金金额 请你帮助校基金会在 下列条件下设计基金使用方案 并对 M 5 000 万 元 n 10年给出具体结果 表 1 存款和国库券年利率 存款形式银行税后年利率 国库券年率 活 期0 792 半年期1 664 一年期1 800 二年期1 9442 55 三年期2 1602 89 五年期2 3043 14 a 只存款不购买国库券 b 可存款也可购买国库券 c 学校在基金到位后的第三年要举行百年校 庆 基金会希望这一年的奖金比其它年度多 20 2 问题假设 收稿日期 2002 04 19 作者简介 李向云 1980 男 河南济源人 山西大学工程学院电力系学生 发电厂及电力系统专业 陈 峰 1980 男 陕西富平人 山西大学工程学院动力系学生 热能动力专业 陈 坚 1981 男 江西万安人 山西大学工程学院电力系学生 发电厂及电力系统专业 a 基金到位与发奖金时间差为整年 基金到位 就发奖金可视为时间差为 0 年 b 每年发奖金时间一定 c 每年国库券发行时间基本一致 d 每年均能购买到国库券 且数量能满足要 求 e 银行年利率在计算期内基本不变 3 建立模型 3 1 模型使用的参数符号说明 L 最大定期存款年限 Xij 第 i 年采用j 年定期存款的金额 求和 Kj 采用 j 年定期存款的年利率 N 奖金 M 原始基金 t 某个集合的最大值 3 2 动态规划模型建立 3 2 1 不考虑购买国库券 基金到位一年后发奖金 基金到位后就存入银 行 第 n 年发完奖金后剩余基金为原基金 故分析 第 n 年情况 第 n 年所能取到的总款项是 Xn j j 1 jKj j 0 5 1 2 l 设第 n 年所能取到的总款项为 n则有 n L j 0 5X n j j 1 jKj M N 因为 M 为定值 所以要使 N 充分大 则 n必 须充分大 又因为我们考虑的基金为非无穷大有 限基金 所以存在一个 t1使得下式成立 l j 0 5 Xn j j t1 又因为 K K 1 K 2 K0 5 所以 lKl l 1 Kl 1 jKj 0 5K0 5 当且仅当 Xn l j j 0 j 0 5 1 2 l 1时 N 取得最大值 此时 Xn l l N M 1 jKj 因为 Xn 0 5 0 5 Xn 1 1 0 所以第 n 1 年发完奖金后无半年期或一年期存 款 又因为我们第 n 年后就不计算 所以在第 n 1 年发完奖金后 我们不再存二年期 三年期 五 年期定期存款 也即 Xn j j 0 j 2 3 4 l 1 我们所能取的款项有 Xn 1 j j 1 jKj j 2 3 4 l 1 设第 n 1 年所能取到的总款项为 n 1 n 1 l j 0 5 Xn 1 j j 1 Kj 又因为第 n 1 年发完奖金后存款不再存 所 以要使奖金充分大的条件为第 n 1 年取款全部作 为奖金 也即 n 1 N 0 即 N n 1 要使 N 充分大则 n 1应充分大 因为我们 所研究的基金为非无穷大有限基金 所以存在一个 最大下确界 t2使得 l j 0 5 Xn 1 j j t2 又因为 K K 1 K 2 K0 5 所以 lKl l 1 Kl 1 jKj 0 5 K0 5 当且仅当 Xn l j j 0 j 0 5 1 2 l 1时 Xn 1 l l t2时 N 有最大值 同理 直至第 n n 1 年情况与第 n 1 年相 同 第 n 1 年时我们所能取到的款项为 Xn l j j 1 jKj 我们所存的款项只有 Xn l 设第 n 1 年所能取到的款项为 n l n l l j 0 5 Xn l j j 1 Kj j 0 5 1 l N n l Xn l n l N Xn l Xn l由后面确定可视为定值 所以要使 N 充 分大 则必需 n l充分大 又因为我们所研究的 基金为非无穷大有限基金 所以存在一最大下确界 tl使得 l j 0 5X n l j j tl 又因为 K K 1 K 2 K0 5 所以 lKl l 1 Kl 1 jKj 0 5 K0 5 当且仅当 Xn l j j 0 j 0 5 1 2 l 1 时 Xn l l l tl时 N 有最大值 91第 2 期 李向云等 最优存款理论 2001 年全国大学生数学建模竞赛 B 题论文 此时 Xn l l l N Xn l l 1 lKl 综上分析 可以得出最优存款理论 将存款按 使 jKj最大的j 进行j 年期定期存款 一个周期为 j 年 仅取本年以前第 j 年的j 年期定期存款的本息 然后从本息和中扣除奖金 N 余款继续做 j 年期定 期存款 以此类推 便可使每年获得奖金 N 最大 当年限小于 j 时 由于 j 年期定期存款未到期 但仍 需要发奖金 为满足这段时间发奖金要求 可取使 jKj次大的j 作为上述的j 以此类推即可 由以上分析可做出决策流程和决策图表 限于 篇限具体内容省略 3 2 2 可存款也可购买国库券时 假设国库券每年发行时间大致相同 因此 便 可把国库券视为一种定期存款 根据优化理论分析 要使奖金最大 就必需加 以整定 使发奖金的时间与国库券发行及到期日保 持一致 这样便能保证每年发的奖金最多 可以假设基金到位时正是发行国库券的时期 在这种情况下 讨论基金到位后就发奖金的决策 X11 443 308 600 X23 41 838 000 X45 1 043 183N 1 206 963 X12 2 370 636X25 1 043 183 X55 44 258 4001 2N 1 448 355 6 X13 2 070 623X15 1 043 183 X35 1 043 183 N M 1 206 963 50 000 000 2 414 基金到位后一年发奖金进行决策 X11 43 835 150 X23 42 094 880 X45 1 172 601N 1 356 700 X12 2 664 739X25 1 172 601 X55 44 387 8101 2N 1 628 040 X13 2 327 506X15 1 172 601 X35 1 172 601 N M 1 356 700 50 000 000 2 713 4 模型推广 针对发奖金的时间和银行存款的时间 可控制 使其与基金到位保持同步 倘若基金到位与国库 券发行一致 可把国库券视为一种定期存款 可采 用原模型 但事实上会出现的情况是 基金到位往 往不与国库券发行保持一致 一般有两种情况 a 基金到位的时间超前于国库券发行的时间 b 基金到位的时间滞后于国库券发行的时间 若滞后时间小于半年的可视为超前时间大于 半年 由模型分析 可以得出要使每年所能发的奖金 充分多 必须使发奖金的时间与定期存款或国库券 的到期时间相一致 而它们又都是整年份 所以为 充分利用基金 可以通过进行活期存款 半年定期 存款或半年定期与活期相结合的方法来进行基金 整定 整定后的初值作为原模型的初始资本 按 模型要求进行决策 设基金到位时间起前发行国库券 t 天 当 t K0 故 K0 5 K0 0 tK0K0 5 365 K0K0 5 2 0 采用 方案整定优于方案 5 模型评价 a 模型是建立在发行国库券 存款到期年限与 发奖金的时间一致的基础之上的 具有一定的局限 性 但经过推广整定对期限不一致情况做一些特殊 处理之后 使模型更具应用价值 这种 下转第 95 页 92 电 力 学 报 2002年 定理 2 2 设 f 满足条件 H5 x pf x u u xpf x u u x x 0 其中 x u 0 定义函数 F 为 F x x pk 1 p 1 p x pf x x x p k 1 1 p 1 且 F 没有最小正周期为 2 的周期点 那么式 1 的 平衡解 x 关于所有正解全局吸引 证明 由G x y y pk 1 p p 1 ypf y x x pk 1 1 p 1 及定理 2 1 可得 xM i G xqi xqi pk 1 p p 1 y p qif xqi pk 1 1 p 1 pk 1 p p 1 x pf x pk 1 1 p 1 F 因此 F 同样可推得 F 这样定 理得到了证明 参考文献 1 Kocic K L and Ladas G Global behavior of nonlinear difference equations of higher order with applications Kluwer Academic Publishers Dordrecht 1993 2 Kocic K L and Ladas G Global attractivity in nonlin ear delay difference equations Proc Amer Math Soc 1992 115 1083 1088 责任编辑 杨兆强 上接第 92 页 推广或许使所求出的 N 不是最大值 但 可以肯定这种情况下 N 与最大值相差不多 可近 似认为就是最大值 b 由于在处理定期存款的年限及利率时使用 的均是通用字符 因此模型更有一般的应用价值 它为进行同类资金处理指明了方向 c 模型画出决策流程及决策图表后清晰明了 便于操作 模型还有其缺点 是一种流程模型 没有一个 统一的通式 比较繁琐 不够简洁 模型是在一 定的理想条件下建立起来的 具有自身的局限性 比如 关于国库券的发行 每年大致月份可能相同 但在具体哪个月哪一天则具有很大随机性 同时 能 购买到国库券或者购买到的数量是按理想情况来考 虑的 可能与实际不相符 模型没有考虑学校紧急用 款的特殊要求 是在理想环境中操作的 误差较大 6 模型可靠性分析 对只存款和可以购买国库券两种情况下基金到 位就发奖金和基金到位一年后发奖金两种状态进行 比较 可以发现数据基本符合实际 说明模型比较 可靠 a 基金到位就发奖金情况下 只存款时 N 1 039 579 N M 2 079 可购买国库券时 N 1 206 963 N M 2 414 2 079 2 414 2 414 3 14 且相差不大 与实际情况相符 b 在基金到后一年发奖金情况下 只存款时 N 927 905 8 N M 1 891 可购买国库券