解三角形高考题.doc

1.（2010天津高考理科7）在ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，则A= ( )（A） （B） （C） （D）【命题立意】考查三角形的有关性质、正弦定理、余弦定理以及分析问题、解决问题的能力。【思路点拨】根据正、余弦定理将边角互化。【规范解答】选A，根据正弦定理及得：，。【方法技巧】根据所给边角关系，选择使用正弦定理或余弦定理，将三角形的边转化为角。2.（2010北京高考文科7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（A）； （B）（C） （D）【命题立意】本题考查解三角形的相关知识，用到了面积公式、余弦定理等知识。【思路点拨】在等腰三角形中利用余弦定理求出底边，从而班徽的面积等于四个等腰三角形的面积与正方形的面积之和。【规范解答】选A。等腰三角形的底边长为。所以班徽的面积为。3.（2010湖南高考理科4）在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a,b,c，若C=120，,则（ ）A、ab B、ab C、a=b D、a与b的大小关系不能确定【命题立意】以三角形为依托，以余弦定理为明线，以方程的解为暗线考查学生的运用知识和等价转化的能力。【思路点拨】由余弦定理得到边的二元等量关系，然后从方程的角度消元求解.【规范解答】选A.C=120，2a2=a2+b2-2abcos120，a2=b2+ab，（）2+-1=0，= 1，ba. 【方法技巧】三角形是最简单的平面图形，是中学数学所学知识最多的图形，在高考中是重点.常常考查边角关系，余弦定理和正弦定理，常常结合不等式和方程来解.尤其是均值不等式的考查.4.（2010北京高考理科0）在ABC中，若b = 1，c =，则a = 。【命题立意】本题考查解三角形中的余弦定理。【思路点拨】对利用余弦定理，通过解方程可解出。【规范解答】由余弦定理得，即，解得或（舍）。【答案】1【方法技巧】已知两边及一角求另一边时，用余弦定理比较好。5.（2010广东高考理科11）已知a,b,c分别是ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=, A+C=2B,则sinC= .【命题立意】本题考察正弦定理在解三角形中的应用.【思路点拨】由已知条件求出、的大小，求出，从而求出【规范解答】由A+C=2B及得，由正弦定理得得，由知，所以，所以【答案】16.（2010山东高考理科15）在中，角所对的边分别为a，b，c，若，则角的大小为 【命题立意】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求解以及正弦定理，考查了考生的推理论证能力和运算求解能力。 【思路点拨】先根据求出B，再利用正弦定理求出，最后求出A. 【规范解答】由得，即，因为，所以，又因为，所以在中，由正弦定理得：，解得，又，所以，所以.【答案】30或7.（2010江苏高考3）在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则的值是_。【命题立意】考查三角形中的正、余弦定理以及三角函数知识的应用，等价转化思想。【思路点拨】对条件采用角化边，对采用弦化切并结合正弦定理解决.【规范解答】，由正弦定理，得：上式【方法技巧】上述解法采用了解决三角形问题的通性通法，即利用正弦定理和余弦定理灵活实现边角互化。本题若考虑到已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性，可采用以下方法解决：当A=B或a=b时满足题意，此时有：，= 4。【答案】48.（2010辽宁高考文科17）在ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.()求A的大小；（）若sinB +sinC=1,试判断ABC的形状.【命题立意】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理和运算求解能力。【思路点拨】(I)根据正统定理将已知条件中角的正弦化成边，得到边的关系，再由余弦定理求角(II)利用（I）的结论，求出角B （或角C），判断三角形的形状【规范解答】【方法技巧】利用正弦定理，实现角的正弦化为边时只能是用a替换sinA，用b替换sinB,用c替换sinC。sinA,sinB,sinC的次数要相等，各项要同时替换，反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能只替换一部分。(2) 以三角形为背景的题目，要注意三角形的内角和定理的使用。象本例中B+C609.（2010浙江高考文科18）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设S为ABC的面积，满足。（）求角C的大小；（）求的最大值。【命题立意】解析本题主要余弦定理、三角形面积公式、三角变换等基础知识，同时考查三角运算求解能力。【思路点拨】利用面积公式求角C，然后利用三角形的内角和定理及两角和的正弦公式化简求最值。【规范解答】()由题意可知absinC2abcosC. 所以tanC.因为0C，所以C.（)由已知sinA+sinB = sinA+sin(-C-A)sinA+sin(-A)sinA+cosA+sinAsin(A+).当A，即ABC为正三角形时取等号，所以sinA+sinB的最大值是.【方法技巧】求时利用转化为关于角A的三角函数的最值问题。10.（2010辽宁高考理科17）在ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且 （）求A的大小；（）求的最大值.【命题立意】考查了正弦定理，余弦定理，考查了三角函数的恒等变换，三角函数的最值。【思路点拨】（I）根据正统定理将已知条件中角的正弦化成边，得到边的关系，再由余弦定理求角（II）由（I）知角C60-B代入sinB+sinC中，看作关于角B的函数，进而求出最值【规范解答】（）由已知，根据正弦定理得即 由余弦定理得 故 ，A=120 （）由（）得： 故当B30时，sinB+sinC取得最大值1。【方法技巧】(1)利用正弦定理，实现角的正弦化为边时只能是用a替换sinA，用b替换sinB,用c替换sinC。sinA,sinB,sinC的次数要相等，各项要同时替换，反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能只替换一部分。(2)以三角形为背景的题目，要注意三角形的内角和定理的使用。象本例中B+C6011.（2010浙江高考理科18）在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知 (I)求sinC的值；()当a=2， 2sinA=sinC时，求b及c的长 【命题立意】本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。 【思路点拨】利用二倍角余弦公式求的值。再利用正弦定理求，利用余弦定理求。 【规范解答】（）因为cos2C=1-2sin2C=，及0C所以sinC=.（）当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理，得c=4由cos2C=2cos2C-1=，及0C得cosC=由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，b2b-12=0，解得 b=或2所以或。1.（2010陕西高考理科7）如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？【命题立意】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求角以及正、余弦定理，考查了解决三角形问题的能力，属于中档题。【思路点拨】解三角形【规范解答】2.（2010陕西高考文科7）在ABC中，已知B=45,D是BC边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.【命题立意】本题考查了已知三角函数值求角、正弦定理、余弦定理，考查了解三角形问题的能力，属于中档题。【思路点拨】解三角形ADC cosADCADB解三角形ABD AB【规范解答】在ADC中，AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理得cos=,ADC=120, ADB=60在ABD中，AD=10, B=45, ADB=60，由正弦定理得,AB=.3.（2010江苏高考7）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角ABE=，ADE=。(1) 该小组已测得一组、的值，算出了tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；(2) 该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？【命题立意】本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及 不等式的应用。【思路点拨】（1）分别利用表示AB、AD、BD，然后利用ADAB=DB求解；（2）利用基本不等式求解.【规范解答】（1），同理：，。 ADAB=DB，故得，解得：。因此，算出的电视塔的高度H是124m。（2）由题设知，得，（当且仅当时，取等号）故当时，最大。因为，则，由的单调性可知：当时，-最大。故所求的是m。4.（2010安徽高考理科16）设是锐角三角形，分别是内角所对边长，并且。 (1)求角的值；(2)若，求（其中）。【命题立意】本题主要考查三角函数，向量的数量积，余弦定理等知识的综合应用，考查考生化简、运算、求解能力。【思路点拨】先对化简，求出角；再根据(2)的条件和余弦定理，构造方程组求解。【规范解答】（1），由题意，所以，（2），又，由、解得。5.（2010福建高考文科21）某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口北偏西30且与该港口相距20海里的处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇。()若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？()为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；()是否存在，使得小艇以海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定的取值范围；若不存在，请说明理由。【命题立意】本题考查解三角形、二次函数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力、应用意识，考查函数方程思想、数形结合思想、化归转化思想。 【思路点拨】第一步设相遇时小艇航行的距离为S，利用余弦定理把S表示为关于t的函数，利用二次函数的方法求解S的最小值，并求解此时的速度；第二步利用余弦定理解三角形表示出v，t的关系式，并利用函数知识求解速度的范围；第三步把问题转化为二次函数根分布问题。 【规范解答】()设相遇时小艇航行距离为海里，则 故当时，即小艇以每小时海里的速度航行，相遇时距离最小。()若轮船与小艇在处相遇，由题意可得：化简得，由于，即，所以当时，取得最小值，即小艇航行速度的最小值为海里每小时。()由()知，于是有，小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇等价于上述方程有两个不等正根，解得：，所以的取值范围为。【方法技巧】解三角形的方法在度量工件、测量距离和高度及工程建筑等生产实际中，有广泛的应用，在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角形的方法。近年的高考中(特别是新课程的高考)我们发现以解三角形为背景的应用题又开始成为命题的热点了，可以说这是还原三角学的本质了。解斜三角形应用题的一般步骤是： 一“建模”： 1准确理解题意，分清已知和未知，准确理解应用题中的有关名称、术语，如视角、仰角、俯角、方位角、坡度、象限角、方向角等； 2根据题意画出图形； 3把要求解的问题归结到一个或几个三角形中，合理运用正弦定理和余弦定理等有关知识建立数学模型； 二“解模”：正确求解。注意：算法要简练，运算要准确。 三“还原说明”：作出应用题的答案。6.（2010天津高考文科7）在ABC中，。（）证明B=C：（）若=-，求sin的值。【命题立意】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力。【思路点拨】（1）只需证明sin（B-C）=0即可；（2）利用倍角公式及和角公式求解。【规范解答】（）在ABC中，由正弦定理及已知得=.于是sinBcosC-cosBsinC=0，即sin（B-C）=0.因为，从而B-C=0. 所以B=C.（）由A+B+C=和（）得A=-2B,故cos2B=-cos（-2B）=-cosA=.又02B,于是sin2B=. 从而sin4B=2sin2Bcos2B=，cos4B=. 所以【方法技巧】解题的关键是合理利用三角函数公式对关系式进行恒等变形，要注意根据角的范围来确定三角函数的符号的确定。7.（2010福建高考理科19）某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口北偏西30且与该港口相距20海里的处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇。()若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？()假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。【命题立意】本小题主要考查解三角形、二次函数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。【思路点拨】第一步设相遇时小艇航行的距离为S，把S表示为关于t的函数，利用二次函数的方法求解S的最小值，并求解此时的速度；第二步利用余弦定理解三角形表示出v，t的关系式，并利用函数知识求解速度的范围。【规范解答】 ()为使小艇航行距离最