高职高等数学 第八章 空间解析几何第五节 平面及其方程.pdf

沈阳工程学院 第五节平面及其方程第五节平面及其方程 Plain and Equation 教学目的教学目的 理解平面方程的概念 熟练掌握平面的点法式方程 一般方程 会判断两平面间的 位置关系 并会建立平面方程 课题课题 平面的点法式方程 平面的一般方程 两平面的夹角 平行与垂直的条件 教学重点教学重点 空间平面的图形及其方程 教学难点教学难点 平面方程的求解及两平面关系的判定 教学方法教学方法 精讲平面的点法式方程 精炼用点法式求平面方程及两平面平行与垂直的条件 教学内容教学内容 一 平面的点法式方程一 平面的点法式方程 垂直与平面的任何非零向量称为该平面的法向量 易知 平面内任一向量都与其法向量 垂直 设在空间直角坐标系中 一平面 经过点 0000 Mxy z且有法向量 A B C n 如教 材图 7 18 所示 下面讨论平面 上的点的坐标对应的方程 即求平面 的方程 在平面 上任取一点M 设其坐标为 M x y z 作向量 0 M M uuuuu u r 则 0 M M uuuuu u r 在平面 内 因 为向量n垂直于平面 因此 0 M M n uuuuu u r 于是 0 0M M n uuuuu u r 又 0000 A B CM Mxxyy zz n uuuuu u r 故 000 0A xxB yyC zz 1 这就是平面 的方程 这种形式的方程是由平面上的一个点的坐标和平面的法向量确定的 因 此称之为平面的点法式方程 例例 1 已知平面 过点 0 2 1 1 M 法向量 3 2 4 n 求平面 的方程 解解根据平面的点法式方程得所求平面的方程为 3 2 2 1 4 1 0 xyz 即3240 xyz 例例 2 已知一平面 过三点 123 0 1 1 1 1 3 1 2 0 MMM 求此平面的方程 解解由于 123 M MM都在平面 内 因此 1213 M MM M uuuuuu r uuuuuu r 也在平面 内 设n为 的法向 量 则 1213 M MM M nn uuuuuu ruuuuuu r 故可取 1213 M MM M n uuuuuu ruuuuuu r 而 1213 1 0 4 1 1 1 M MM M uuuuuu ruuuuuu r 所以 1213 4 5 1 M MM M n uuuuuu ruuuuuu r 于是所求的平面方程为 4 0 5 1 1 0 xyz 即4560 xyz 例例 3 求过点 0 3 0 5 P且平行于已知平面2820 xyz 的平面的方程 解解由已知平面方程可知其法向量 2 8 1 n 沈阳工程学院 由于所求平面与已知平面平行 故n也可作为所求平面的法向量 代入点法式方程得所求平面 方程为 2 3 8 0 5 0 xyz 即28110 xyz 二 平面的一般方程二 平面的一般方程 将 1 式展开得 000 0AxByCzAxByCz 令 000 DAxByCz 则方程 1 可化为 0AxByCzD 2 其中 A B C不全为零 方程 2 称为平面的一般方程 向量 A B C为平面的法向量 例例 4 求过点 123 0 0 0 0 0 0 M aMbMc的平面方程 其中 a b c不全为零 解解设所求平面方程为 0AxByCzD 3 由于点 123 M MM在平面上 故它们的坐标满足方程 3 即 0 0 0 A aD B bD C cD 解之得 DDD ABC abc 将其代入 3 得所求的方程为 0 0 DDD xyzDD abc 即1 xyz abc 4 其中 a b c依次称为该平面在 x y z轴上的截距 方程 4 称为平面的截距式方程 例例 5 求通过z轴和点 2 1 2 M 的平面方程 解解由于平面过z轴 设其方程为0AxBy 又平面过点 2 1 2 M 则 2 1 0AB 即2AB 取1 2AB 于是所求平面方程为20 xy 三 两平面的夹角 平行与垂直的条件三 两平面的夹角 平行与垂直的条件 两相交平面的夹角就是它们的法向量的夹角 一般说来 两个平面的夹角有两个 它们互 补 我们规定两平面的夹角是其中较小者 设平面 11111 0A xB yC zD 其法向量 1111 A B C n 22222 0A xB yC zD 其中向量 2222 A B C n 那 么 平 面 1 和 2 的 夹 角 应 是 12 n n或 12 n n中 的 较 小 者 因 此 12 coscos n n 且 121212 222222 111222 cos A AB BC C ABCABC 沈阳工程学院 如果两平面平行 则它们的法向量平行 反之亦然 由此可得两平面 1 和 2 平行的充要条 件是 111 222 ABC ABC 同理 如果两平面垂直 则其法向量互相垂直 反之亦然 由此可得两平面 1 和 2 垂直得充 要条件是 121212 0A AB BC C 设平面 0AxByCzD 点 000 M xy z 点M到平面 的距离为 000 222 AxByCzD d ABC 例例 6 求两平面110 xy 和380 x 的夹角 解解设两平面的夹角为 则 222222 1 3 1 00 01 cos 2 1 1 0300 故 4 例例 7 一平面通过点 1 1 1 1 M和点 2 0 1 1 M 且垂直于平面0 xyz 求其方 程 解解设所求平面的法向量为 A B C n 因为 12 M M在平面内 所以 12 1 0 2 M M uuuuuu r 在平面上 因此 12 M M n uuuuuu r 故有 20AC 又所求平面与已知平面垂直 因此其法向量互相垂直 故有 0ABC 由以上两式得BC 取1C 得所求平面的方程为 2 1 1 1 0 xyz 即20 xyz 课堂练习课堂练习 1 求满足下列条件的平面方程 1 过原点且法向量 1 2 3 n 2