求动点的轨迹或轨迹方程.doc

求动点的轨迹或轨迹方程，是历年高考重点考查的内容。它既考查解析几何基本知识、基本方法的运用，同时又考查分析问题和解决问题的能力。这种题型往往条件比较复杂，综合程度比较高，在高考中多以压轴题形式出现，因此难度比较大，如果不掌握一定的解题方法是既考查解析几何基本知识、基本方法的运用，同时又考查分析问题和解决问题的能力。这种题型往往条件比较复杂，综合程度比较高，在高考很难驾驭的，为了让同学们在复习过程中有法可循，下面就以高考题为例，归纳一下它的解题方法，希望对同学们有所裨益。1.直接法这是求动点轨迹(或轨迹方程)的一种最常用的方法。这种办法是根据题中条件直接依据求轨迹的基本步骤(建系、设点、列式、代换、化简)得出动点坐标x，y所满足的方程(即五步法)。这种求轨迹的方法的关键是寻找动点所满足的儿何条件(等式或方程)，这种几何条件有时题目已知，有时需要自己去寻找。例1(2005上海)直角坐标平面xoy中，若定点A(1，2)与动点P(x,y)满足OPTXOATX=4，则动点p的轨迹方程是CD#4。解：令OPTX=(x,y)，OATX=(1，2)，又依题意动点P满足条件的几何条件是OPTXOATX=4 OPTXOATX=(x,y)(1，2)=x+2y=4，所以动点P的轨迹方程是x+2y=4例2(2005北京T18()已知直线l1：y=kx(k0)与直线l2：y=-kx之间的区域(不含边界)记为W，若区域w中的动点P(x，y)到l1，l2的距离之积等于d2，求点P的轨迹C的方程:解：直线l1：kx-y=0，直线如l2：kx+y=0，由题意得SX(|kx-y|KF(k2+1KF)SX)SX(|kx+y|KF(k2+1KF)SX)=d2，即SX(|k2x2-y2|k2+1SX)=d2，由P(x,y)W，知k2x2-y20，所以SX(k2x2-y2k2+1SX)=d2,即k2x2-y2-(k2+1)d2=0，所以动点P的轨迹方程为（）例3(2005辽宁理T22)已知椭圆SX(x2a2SX)+SX(y2b2SX)=1(ab0)的左、右焦点分F1(-c,0)、F2(c,0)，Q是椭圆外的动点，满足|F1QTX|=2a，点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足PTTXTF2TX=0,|TF2TX|0，求点T的轨迹C的方程：解：设点T的坐标为(x，y)，当|PTTX|=0时，点(a，0)和点(-a，0)在轨迹上，当PTTX0时|TF2TX|0时，由PTTXTF2TX=0,得PTTX|TF2TX|，又|PQTX|=|PF2TX|,所以T为线段F2Q的中点，设点Q的坐标为(x,y)则JB(x=SX(x+c2SX)y=SX(y2SX)JB)因此JB(x=2x-cy=2yJB) 由|F1QTX|=2a得(x+c)2+y2=4a2将代入，可得x2+y2=a2综上所述，点T的轨迹C的方程是x2+y2=a2.练习1(2005江苏理T19)如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2=4，过动点分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切点)，使得PM=KF(2KF)PN.试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程。练习2(1993上海)动点P到直线x+4=0的距离减去它到M(2，0)的距离之差等于2，则点P的轨迹是()A.直线 B椭圆 C双曲线 D抛物线练习3(1994全国、文)己知直角坐标平面上的点Q(2，0)和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数(0)，求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线。注：当动点所满足的几何条件已知或容易找到动点所满足的几何条件时，一般用“直接法”，求动点的轨迹方程，此时只需要将动点的坐标代入几何条件即将几何条件坐标化，便可求出动点的轨迹方程。2.定义法这种办法是通过对动点所满足的条件的分析，得知动点的轨迹与我们悉知的直线或圆锥曲线等基本曲线的定义相符，进而通过定义分析或采用待定系数法得出所求轨迹(或轨迹方程)的方法。例4(2005江西)以下四个关于圆锥曲线的命题中。设A、B为两个定点，k为非零常数，|PATX|-|PBTX|=k，则动点P的轨迹为双曲线；设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若OPTX=SX(12SX)(OATX+OBTX),则动点P的轨迹为椭圆；方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；双曲线SX(x225SX)-SX(y29SX)=1与椭圆SX(x235SX)+y2=1有相同的焦点。其中真命题的序号为CD#4(写出所有真命题的序号)解：双曲线的第一定义是：平面上的动点P到两定点是A，B之间的距离的差的绝对值为常数2a，且2a|AB|,那么P点的轨迹为双曲线，故错，由OPTX=SX(12SX)(OATX+OBTX)，得P为弦AB的中点，其轨迹为圆。故错。正确答案为例5，(见例3)解：设点T的坐标为(x,y)，当|PTTX|=0时，点(a,0)和点(-a,0)在轨迹上，当|TF2TX|0且|TF2TX|0时，由|PTTX|TF2TX|，得|PTTX|TF2TX，又|PQTX|=|PF2TX|，所以T为线段F2Q的中点，在QF1F2中，|OTTX|=SX(12SX)|F1QTX|=a,所以动点T到定点O的距离等于定长a，满足圆的定义，故动点T的轨迹是以原点为圆心，以a为半径的的圆即T(x,y)，满足方程x2+y2=a2。综上所述，点T的轨迹C的方程是x2+y2=a2。例6(见练习1)解：通过分析不难得知：动点P到点M(2，0)的距离等于它到直线x+2=0的距离，且点M不在直线x+2=0上，所以P点的轨迹符合抛物线的定义，且P的轨迹是以M为焦点，直线x+2=0为准线的抛物线，故选D。例7(2006山东理T22)已知动圆到定点(SX(p2SX)，0)，且与直线x=-SX(p2SX)相切其中P0。求动圆圆心的轨迹C的方程。解：如图，设M为动圆圆心，点F(SX(p2SX),0),过点M作直线x=-SX(p2SX)的垂线，垂足为N，由题意知：|MF|=|MN|，即动点M到定点F与定直线x=SX(p2SX)的距离相等。由抛物线的定义可知：点M的轨迹为抛物线，其中F(SX(p2SX),0)为焦点，x=SX(p2SX)为准线，所以动圆圆心M的轨迹方程为：y2=2px(p0)。练习4(1995上海)到动点A(-1，0)和直线x=3距离相等的点的轨迹方程是CD#3。练习5(1998全国)如图，直线l1和l2相交于点M，l1l2，点Nl1，以A，B为端点的曲线段C上的任意一点到l2的距离与到点N的距离相等，若AMN为锐角三角形，|AM|=KF(17KF),|AN|=3，且|BN|=6建立适当的坐标系，求曲线C的方程。注：当动点的轨迹与动点到定点的距离有关；或与动点到两定点的距离的和或差有关；或与动点到一定点和一定直线的距离有关时，可以试着用圆或圆锥曲线的定义来分析动点的轨迹，采用“定义法”求解。3.代点法如果动点P(x,y)依赖于已知曲线上另一动点Q(x,y)而运动，且Q点的坐标x,y可用P点坐标x,y来表示：x=f(x,y),y=g(x,y),然后将x，y代入已知曲线方程，从而求出动点P的轨迹方程，把这一方法我们形象的称之为“代点法”。例8(2005江西理22)如图，设抛物线C：y=x2的焦点为F，动点P在直线l:x-y-2=0上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别切于A、B两点，求APB的重心G的轨迹方程。解：设切点坐标A、B分别为(x0,x02)和(x1,x12)(x1x0)，所以切线AP的方程为：2x0x-y-x02=0；切线BP的方程为2x1x-y-x12=0，解得P点的坐标为xp=SX(x0+x12SX),xp=x0x2,所以APB的重心G的坐标为：xG=SX(x0+x1+xp3SX)=xp，yG=SX(y0+y1+yp3SX)SX(x02+x12+x0x13SX)SX(x0+x1)2+x0x13SX)=SX(4xp2-yp3SX)所以yp=-3yG+4xG2,由点P在直线l上运动，将点P的坐标代入直线方程，从而得到重心G的轨变迹方程为：x-(-3y+4x2)-2=0，即y=SX(13SX)(4x2-x+2)例9(2001北京、安徽春招)设动点P在直线x=1上，O为坐标原点，以OP为直角边，点O为直解顶点作等腰RtOPQ,则动点Q的轨迹是()A、圆B、两条平行直线C、抛物线D、双曲线解:设动点Q(x,y),P(x,y),依复数向量的运算有：ZOQTX=ZOPTX(i)即：x+yi=(x+yi)(i)x+yi=xiyJB(x=yy=xJB),因此，x=1,将x=y代入即得y=1为动点Q的轨迹方程。所以选B。练习6(2001上海)设P为双曲线SX(x24SX)-y2=1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是CD#4。注：采用“代点法”求轨迹的关键是寻找动点与已知曲线上动点坐标之间的关系，一般可通过：中点坐标公式、定比分点坐标公式、对称关系、复数的运算、解方程组等，当在直角坐标系下难于寻找时，我们还可以建立极坐标系，通过极坐标的关系来寻找。4.参数法当动点P(x,y)的坐标x,y之间的直接关系难于寻找时，可以引起一个参数t，先建立动点坐标x,y与参数t的关系，得到动点P的轨迹的参数方程JB(x=f(t)y=g(t)JB),然后消去参数t，从而得到动点P的轨迹的普通方程。这种求动点轨迹方程的方法称为“参数法”。例10(1999全国)如图，给出定点A(a,0)(a0)和直线l:x=-1,B是直线l上的动点，BOA的角平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系。解：因为动点C是由于动点B的运动而运动，因此可以设B(-1，b)(bR)，C(x,y),先建立x,y与参数b的关系，然后通过消去参数b而求得动点C的轨迹方程，易求得OA和OB的方程分别是y=0和y=-bx。则有0xa，由OC平分AOB，知点C到OA、OB的距离相等。根据点到直线的距离公式可得：|y|=SX(|y+bx|KF(1+b2KF)SX),依题设，点C在直线AB上，故有：y=-SX(b1+aSX)(x-a),由x-a0，得b=-SX(1+a)yx-aSX),将式代入式得：y21+HT5”SSSX(1+a2)y2(x-a)2SX)=y-SX(1+a)xyx-aSX)，整理得：y2(1-a)x2-2ax+(1+a)y=0若y0,则(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0xa)；若y=0,则b=0,AOB=,点C的坐标为(0，0)。满足上式。综上得点C的轨迹方程(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0xa)；a1， SX(x-SX(a1-aSX)2(SX(a1-aSX)2SX)+SX(y2SX(a21-a2SX)SX)=1(0xa)由此知，当0x1时