电磁场与电磁波作业(汇总).doc

电磁场与电磁波作业电子版 071244146 朱志峰 071214121 周少波1.6 证明：如果和,则。解: ，有 由 同理有1.14 利用直角坐标系证明： uv)=uv+vu 证明：uv+vu=u() = = =1.15 一球面S的半径为5，球心在原点，计算的值。 解： 原式= =15 =75补充题 已知在直角坐标系中U(x,y,z)，求证。 证明：z = =学号071244104 陈继龙 学号071244103 陈凤的作业1.28 利用直角坐标，证明 证明：在直角坐标下，=Ae+Ae+Ae, , 则1.30利用直角坐标，证明 证明：在直角坐标系下, , , 所以：1.31利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明及，试证明。 证明：（1）由斯托克斯定理知 因为曲面是任意的，所以被积函数（2）由散度定理知， 把闭合曲面任意分成两半， 由斯托克斯定理知，有 因为C1和C2同一回路，方向相反。 所以 也就是 又因为体积是任意的， 故得：补充题 证明 ，其中。071244143 张康 071244144 张黎明2.3 电荷均匀分布在半径为的导体球面上，当导体以角速度绕通过球心的轴旋转时，试计算导体球面上的面电流密度。解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为轴。设球内任一点的位置矢量为，且与轴的夹角为，则点的线速度为球面的上电荷面密度为故 2.5 一个半径为的球体内均匀分布总电荷量为的电荷，球体以匀角速度绕一个直径旋转，求球内的电流密度。解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为轴。设球内任一点的位置矢量为，且与轴的夹角为，则点的线速度为球内的电荷体密度为故 212 一个很薄的无限大导电带电面，电荷面密度为。证明：垂直于平面的轴上处的电场强度中，有一半是有平面上半径为的圆内的电荷产生的。解 半径为、电荷线密度为的带电细圆环在轴上处的电场强度为故整个导电带电面在轴上处的电场强度为而半径为的圆内的电荷产生在轴上处的电场强度为216 一个一半径为a的导体球带电荷量为q,当球体以均匀角速度绕一个直径旋转时，如图题2.16所示,试求球心处的磁感应强度B.解：球面上的电荷面密度为 当球体以均匀角速度绕一个直径旋转时，球面上位置矢量点处的电荷面密度为 将球面划分为无数个宽度为的细圆环，则球面上任意一个宽度为的细圆环的电流为细圆环的半径为b=sin圆环平面到球心的距离d=a cos利用电流圆环的轴线上的磁场公式，则该圆环电流在球心产生的磁场为故整个球面电流在球心产生的处产生的磁感应强度为2.22通过电流密度为J的均匀电流长圆柱导体中有一平行的圆柱形空腔,其横截面如图题2.22所示.试计算各部分的磁感应强度,并证明空腔内的磁场是均匀的.解:建立如解2-22图所示坐标系,因为空腔的电流密度为0,可把该电流分布看做是两个电流密度的合成. 设整个半径为b的圆柱导体内通有电流密度为的电流,半径为a的圆柱体内通有电流密度为-的电流,那么,这时整个空间的场是由这二者共同产生的. 对于大圆柱体,由安培环路定律得:=)(2)(2200brerJbbreJrBjjmm大 同理, 对于小圆柱有:-=)(2)(2200arerJaareJrBjjmm小空间任一点的磁感应强度应有二者的矢量和,所以在大圆柱体处时,-=-=-=)(2)(2222222202202202020rrarrbeJrerJarerJberJaerJbBzzzmmmmmjj在空腔和大圆柱之间时，-=-=)(222220200rrareJerJaeJrBzmmmjj在空腔内时，deJrreJreJreJrBz=-=-=2)(2220000mmmmjjj因为d为一定值所以空腔内的磁场是均匀的.成康与陈莹的作业2.3 电荷q均匀分布在半径为a的导体球面上，当导体以匀角速度绕通过球心的z轴旋转时，试计算导体球表面的面电流密度。解：设球面上任一点的位置矢量为，且与轴的夹角为，则点的线速度为 球面的上电荷面密度为 故 2.5 一个半径为的球体内均匀分布总电荷量为q的电荷，球体以匀角速度绕一个直径旋转，求球内的电流密度解：球内电荷体密度为：设球内任一点P的位置矢量为且与z轴夹角为，则P点线速度 212 一个很薄的无限大导电带电面，电荷面密度为。证明：垂直于平面的轴上处的电场强度中，有一半是有平面上半径为的圆内的电荷产生的。证明： 半径为a，电荷线密度为的带电细圆环在轴上处的电场强度为 题2.10图故整个导电带电面在轴上处的电场强度为而半径为的圆内的电荷产生在轴上处的电场强度为2.16 一个半径为的导体球带电荷量为，当球体以均匀角速度绕一个直径旋转，如题2.10图所示。求球心处的磁感应强度。解 球面上的电荷面密度为当球体以均匀角速度绕一个直径旋转时，球面上位置矢量点处的电流面密度为将球面划分为无数个宽度为的细圆环，则球面上任一个宽度为细圆环的电流为 细圆环的半径为，圆环平面到球心的距离，利用电流圆环的轴线上的磁场公式，则该细圆环电流在球心处产生的磁场为 故整个球面电流在球心处产生的磁场为 2.22 通过电流密度为的均匀电流的长圆柱导体中有一平行的圆柱形空腔，其横截面如图2.22所示。试计算各部分的感应强度，并证明空腔内的磁场是均匀的。解：建立如图所示坐标系，因为空腔中的电流密度为0，可把该电流分布看做是两个电流密度的合成。 设整个半径为b 的圆柱导体内通有电流密度为J的电流，半径为a的圆柱内通有电流密度为- J的电流。那么，这时整个空间的场是由这二者共同产生的。 对于大圆柱，由安培环路定律得： 同理，对于小圆柱有： 空间任一点的磁感应强度应为二者的矢量和，所以在的圆柱体外时，在空腔和大圆柱之间时， 在空腔内时， 为一定值 空腔内的磁场是均匀的。071244141 余文林 071244142 张静2.21 下面的矢量函数中那些可能是磁场？如果是，求出其源量J。（2）H= (3) 解: （2）该矢量是磁场矢量，其源量J为： （3）该矢量是磁场矢量，其源量J为： J=0（4）= 该矢量是磁场矢量，其源量J为： 2.22 通过电流密度为的均匀电流的长圆柱导体中有一平行的圆柱形空腔，如题2.22图所示。计算各部分的磁感应强度，并证明腔内的磁场是均匀的。解 将空腔中视为同时存在和的两种电流密度，这样可将原来的电流分布分解为两个均匀的电流分布：一个电流密度为、均匀分布在半径为的圆柱内，另一个电流密度为、均匀分布在半径为的圆柱内。由安培环路定律，分别求出两个均匀分布电流的磁场，然后进行叠加即可得到圆柱内外的磁场。题2.22图由安培环路定律，可得到电流密度为、均匀分布在半径为的圆柱内的电流产生的磁场为 电流密度为、均匀分布在半径为的圆柱内的电流产生的磁场为这里和分别是点和到场点的位置矢量。将和叠加，可得到空间各区域的磁场为 圆柱外： 圆柱内的空腔外： 空腔内： 式中是点和到点的位置矢量。由此可见，空腔内的磁场是均匀的。2.25 平行双线传输线与一矩形回路共面，如题6.3图所示。设、，求回路中的感应电动势。解 由题给定的电流方向可知，双线中的电流产生的磁感应强度的方向，在回路中都是垂直于纸面向内的。故回路中的感应电动势为 i i b d c a 题2.25 式中故则212 一个很薄的无限大导电带电面，电荷面密度为。证明：垂直于平面的轴上处的电场强度中，有一半是有平面上半径为的圆内的电荷产生的。解 半径为、电荷线密度为的带电细圆环在轴上处的电场强度为故整个导电带电面在轴上处的电场强度为而半径为的圆内的电荷产生在轴上处的电场强度为2.16 一个半径为的导体球带电荷量为，当球体以均匀角速度绕一个直径旋转，如题2.10图所示。求球心处的磁感应强度。 题2.10图解 球面上的电荷面密度为当球体以均匀角速度绕一个直径旋转时，球面上位置矢量点处的电流面密度为将球面划分为无数个宽度为的细圆环，则球面上任一个宽度为细圆环的电流为 细圆环的半径为，圆环平面到球心的距离，利用电流圆环的轴线上的磁场公式，则该细圆环电流在球心处产生的磁场为 故整个球面电流在球心处产生的磁场为 制作人：熊锐 071244139 杨求星 0712441402.27 同轴线的内导体半径a=1mm，外导体的内半径b=4mm，内外导体间为空气，如图题所示。假设内、外导体间的电场强度为。(1)求与相伴的；（2）确定k的值；（3）求内导体表面的电流密度；（4）求沿轴线0z1m区域的位移电流。解：（1）由麦克斯韦方程有：z 图题 2.27 对积分得 =（2）对于自由空间，传导电流为0 两边对比得 （3）把内导体看为理想导体，由理想导体表面的边界条件得 （4）位移电流 2.28 试将微分形式的麦克斯韦方程组写成8个标量方程：（1）在直角坐标系中；（2）在圆坐标系中；（3）在球坐标系中。解：（1）在直角坐标系中 （2）在圆柱坐标系中 （3）在球坐标系中3.3 电场中有一半径为a的圆柱体，已知圆柱体内、外的电位函数分别为 （1） 求圆柱体内、外的电场强度；（2） 这个圆柱体是什么材料制成的？其表面有电荷分布吗？试求之。解：（1）由，可得到 时， 时，（2）该圆柱体为等位体，所以圆柱体是由导体构成制成的，其表面有电荷分布，电荷面密度3.6 电场中有一半径为a、介电常数为的介电球，已知球内、外的电位函数分别为 试验证介质球表面上的边界条件，并计算介质球表面上的束缚电荷密度。 解： 由题知 在介质球表面（即r=a时）， 蔡张达 071244101 陈彬 071244102 3.9 有一半径为a、带电荷量q的导点球，其球心位于介电常数分别为和的两种介质分界面上，设该分界面为无限大平面。试求：（1）导体球的电容；（2）总的静电能量。 解：（1）依题意知电场沿径向分布，则由 ，得 DS+DS=q即 E2r+E2r 孤立导体球的电位为=球的电容为 C=(2) W=CU=2= 3.11 同轴电缆的内导体半径为a，外导体半径为c；内、外导体之间填充两层有损耗介质，其介电常数分别为和，电导率分别为和，两层介质的分界面为同轴圆柱面，分界面半径为b。当外加电压时，试求：（1）介质中的电流密度和电场强度分布；（2）同轴电缆单位长度的电容及漏电阻。 解：（1）电流连续，两层介质中单位长度的总电流必相等，设为I,，则由 得 （arc） 又 J= = (arb) = (brc) =+ (arc) (arb) (brc)(2) 总电容可以视为两电容串联 = ，= =3.13 在一块厚度为d的导体板上，由两个半径分别为r和r的圆弧和夹角为的两半径割出的一块扇形体，如图题3.13所示。试求：（1）沿导体板厚度方向的电阻；（2）两圆弧面间的电阻；（3）沿方向的两电极间的电阻。设导体板的电导率为。 解：（1）设沿导体板厚度方向加电压，则有 = = （2）在两圆弧面间 题3.13图 (3)设沿方向的两电极间的电压为，则 3.15 无限长直线电流I垂直于磁导率分别为和的两种磁介质的分界面，如图题3.15所示，试求：（1）两磁介质中的磁感应强度B和B;(2)磁化电流分布。 解：由题意知，无限长指导线在其周围产生的磁场强度 B= = B= = （2）M= M= 磁化电流体密度为: J=磁化电流面密度为： J=M=x O IZ 题3.15图 ba3.19 同轴线的内导体是半径为a的圆柱，外导体是半径为b的薄圆柱面，其厚度可以忽略不计。内、外导体间填充有磁导率分别为和的两种磁介质，如图题3.19所示。设同轴线中通过的电流为I，试求：（1）同轴线中单位长度所储存的磁场能量；（2）同轴线单位长度的自感。 题3.19图解：（1）由安培环路定理得： （0ra）， （0ra） (arb) ， (arb) 因为同轴线内外导体间的磁场沿方向，在两介质分界面上只有法向分量。由边界条件可知，B=B （arb） 题3.19图 W=+= (2) W= L=071244137 王元武 071244138 吴超3.9 有一半径为、带电荷量为的导体球，其球心位于介电常数分别为和的两种介质分界面上，设该分界面为无限大平面。试求：（1）导体球的电容；（2）总的静电能量。解:(1)电厂沿径向分布 在两介质分界面上，有边界条件：由得： 即 孤立导体球的电位为： 球的电容为： （2）3.11同轴电缆的内导体半径为，外导体半径为；内、外导体之间填充两层有损耗介质，其介电常数分别为和，导电率分别为和，两层介质的分界面为同轴圆柱面，分界面半径为。当外加电压时，试求（1）介质中的电流密度和电场强度分布；（2）同轴电缆单位长度的电容及漏电阻。解 （1）电流连续，两层介质中单位长度的径向电流必相等，设为I，则由可得电流密度 ，故介质中的电场为 (arb) (brc)又 故 (arc) (arb) (brc)(2) 同轴线单位长度的漏电阻为 由静电比拟可得同轴线单位长度的电容 或先求电容再求漏电阻 O3.13在一块厚度为的导体板上，由两个半径分别为和的圆弧和夹角为的半径割出的一块扇形体，如图题3.13所示。试求：（1）沿导体板厚度方向的电阻；（2）两圆弧面间的电阻；（3）沿方向的两极间的电阻。设导体板的电容率。解：（1）设沿导体板厚度方向加电压,则有 = （2）在两圆弧面间 （3）沿方向的两电极间3.15无限长直线电流垂直于磁导率分别为和的两种磁介质的分界面，如图题3.15所示，试求：（1）两种磁介质中的磁感应强度和;(2)磁化电流分布。解：（1）由题意知，无限长直导线在其导线周围产生的磁感应强度z0x（2）磁化电流体密度为：磁化电流面密度：3.19同轴线的内导体是半径为的圆柱，外导体是半径为的薄圆柱面，其厚度可忽略不计。内、外导体间填充有磁导率分别为和的两种磁介质，如图题3.19所示。设同轴线中通过的电流为，试求：（1）同轴线种单位长度所储存的磁场能量；（2）同轴线单位长度的自感。解：（1）由安培环路定理得： （） （） （）（）因为同轴线内外导体间的磁场沿方向，在两介质分界面上只有法向分量。由边界条件可知， + =(2)071244135 谭劲松 071244136 屠跃3.20 如图题3.20所示的长螺线管，单位长度上密绕N匝线圈，通过电流I，铁心的磁导率为、截面积为S,求作用在他上面的磁场力。 图 3.20解：由安培环路定理： 设铁心沿方向有一位移，则磁场能变化为：则所以作用在铁心上的磁场力为。3.22 一个点电荷q放在60的接地导体角域内的点（1，1，0）处，如图题3.22所示。试求：（1）所有镜像电荷的位置和大小；（2）点P（2,1,0）处的电位。解 这是一个多重镜像的问题，共有5个像电荷，分布在以点电荷到角域顶点的距离为半径的圆周上，并且关于导体平面对称，其电荷量的大小等于，且正负电荷交错分布，其大小和位置分别为 图 3.22 点处电位 3.23一个电荷量为q、质量为m的小带电体，放置在无限大导体平面的下方，与平面相距为h。欲使带电体收到静电力恰好与重力相平衡，电荷q的量值应为多少？（设m=2kg，h=0.02m）解 将小带电体视为点电荷，导体平面上的感应电荷对的静电力等于镜像电荷对的作用力。根据镜像法可知，镜像电荷为，位于导体平面上方为处，则小带电体受到的静电力为 令的大小与重力相等，即 于是得到 题 3.26图)图 2.13题 3.26图题 3.26图)3.26如图题3.26所示，在z0和z0区域的媒质的介电常数为，在此媒质前置有厚度为d、介电常数为的介质板，对于一个从左面垂直入射来的TEM波，证明当时（为自由空间的波长），没有反射。 证明：