数学模型《三级火箭发射人造卫星分析》（很齐全很给力）.doc

三级火箭发射人造卫星分析摘要：发射人造卫星是一个复杂的系统工程，我们从中抽出几个问题，忽略一些次要因素将问题简化得到几个简单的数学模型。首先通过天体物理学知识求解得到发人造卫星的在轨速度。又通过动力守恒定律求解出火箭的飞行速度与其喷气推动力、火箭初始质量和飞行过程中的质量有关，进而分析得出提高火箭的飞行速度的简单措施。问题一：由万有引力定律及牛顿第三定律推理得到，当时，带入（5-1-3）式得：问题二：由式得火箭的末速度有喷气速度及火箭在飞行中的质量决定，为了提高火箭的末速度可以通过提高喷气速度和减少火箭在飞行过程中的质量。具体地说就是加大火箭推力，抛掉已经没用的结构，以此来加大火箭末速度。问题三：由计算得到，当，时：，由此得到结论：使用一级火箭不能发射人造卫星。问题四：燃料用完时末速度为问题五：二级火箭：要使，则应使： ，而：即发射一吨重的卫星需要148吨重的火箭。三级火箭：要使，则，而即发射一吨重的卫星需要76吨重的火箭，由此可见三级火箭比二级火箭几乎节省了一半。四级火箭：要使，则，而。即使用四级火箭发射1吨重的卫星需要64吨重的火箭，比三级火箭要省。 但是由于工艺的复杂性及每节火箭都需配备一个推进器，所以使用四级或四级以上火箭是不合算的，三级火箭提供了一个最好的方案。 当然若燃料的价钱很便宜而推进器的价钱很贵切且制作工艺非常复杂的话，也可选择二级火箭。关键词：动量守恒定律 万有引力定律 牛顿第三定律一、 问题重述建立一个模型说明要用三级火箭发射人造卫星的道理。1设卫星绕地球做匀速圆周运动，证明其速度为，R为地球半径，r为卫星与地心距离，g为地球地面重力加速度。要把卫星送上离地面600km的轨道，火箭末速度应为多少？2设火箭飞行中速度为v(t),质量为m(t),初速度为零，初始质量为m0,火箭喷出的气体相对于火箭的速度为u，忽略重力和阻力对火箭的影响。用动量守恒原理证明。由此你认为要提高火箭的末速度应采取什么措施？3火箭质量包括3部分：有效载荷（卫星）mp；燃料mf结构（外壳、燃料舱等）ms，其中ms在mf+ms中的比例计作，一般不小于10%。证明若mp=0（即火箭不带卫星），则燃料用完时火箭达到的最大速度为。已知目前的u=3km/s，取=10%，求vm。这个结果说明什么？4假设火箭燃料燃烧的同时，不断丢弃无用的结构部分，即结构质量与燃料质量以和1的比例同时减少，用动量守恒原理证明。问燃料用完时火箭末速度为多少？与前面的结果有何不同。5 4是个理想化的模型，实际上只能用建造多级火箭的办法一段段地丢弃无用的结构部分。计mi为第i级火箭质量（燃料和结构部分），mi为结构质量（对各级是一样的）。有效载荷仍用mp表示。当第一级的燃料用完时丢弃第一级的结构，同时第二级点火。再设燃烧级的初始质量与其负载质量之比保持不变，比例系数为k。证明3级火箭的末速度。计算要v3=10.5km/s，发射1吨重的卫星需要多重的火箭（u，用以前的数据）。若用2级火箭或4级火箭，结果如何？由此得出使用3级火箭发射卫星的道理）二、基本假设1 卫星轨道为过地球中心的某一平面上的圆，卫星在此轨道上作匀速圆周运动。 2、地球是固定于空间中的均匀球体，其它星球对卫星的引力忽略不计。 3、忽略重力和阻力对火箭的影响、4、假设卫星绕地球做匀速圆周运动5、假设产生影响的各个因素相互独立；三、符号说明：卫星绕地球做匀速圆周运动的速度：地球半径为：卫星与地心距离：地球地面重力加速度：火箭飞行中速度：火箭飞行中质量：火箭初始质量：火箭喷出的气体相对于火箭的速度：有效载荷（卫星） ：燃料：结构（外壳、燃料舱等），其中在中的比例计作：为第i级火箭质量：燃烧级的初始质量与其负载质量的比例系数：第i级火箭的速度四、问题的分析五、模型的建立与求解问题一：由万有引力定律及牛顿第三定律得： （5-1-1）在地面上： （5-1-2）由（5-1-1）和（5-1-2）联立得： （5-1-3）当时，带入（5-1-3）式得：问题二：用动量守恒原理证明由动量守恒定律得：（5-2-1）火箭在t时刻的质量和速度分别为m(t)和v(t)有： （5-2-2） 由（5-2-1）和（5-2-2）联立得： （5-2-3）由此解得：（5-2-4）得以证明。由（5-2-4）式得火箭的末速度有喷气速度及火箭在飞行中的质量决定，为了提高火箭的末速度可以通过提高喷气速度和减少火箭在飞行过程中的质量。具体地说就是加大火箭推力，抛掉已经没用的结构，以此来加大火箭末速度。问题三：由问题二的结果知：在此问题中 （5-3-1）代入（5-2-4）式解得： （5-3-2）当，时：由此得使用一级火箭不能发射人造卫星。问题四： 记结构质量在中占的比例为，假设火箭理想，它能随时抛弃无用的结构，即结构质量与燃料质量以与的比例同时减少建立模型：由动量守恒定律（5-4-1）得到： （5-4-2） 解得：，得证。理想火箭与一级火箭最大的区别在于，当火箭燃料耗尽时，结构质量也逐渐抛尽，它的最终质量为， 所以燃料用完时末速度为：，只要足够大，我们可以使卫星达到我们希望它具有的任意速度。考虑到空气阻力和重力等因素，发射卫星要使才行，则可推算出约为51,即发射一吨重的卫星大约需要50吨重的理想火箭 。问题五：理想过程的实际逼近多级火箭卫星系统 考虑二级火箭：由（5-5-1），第一级火箭燃烧完时，其末速度为：（5-5-2），第二级火箭燃尽时，末速度为（5-5-3）又由假设燃烧级的初始质量与其负载质量之比保持不变，比例系数为k，可知：（5-5-4），代入上式，并且仍设，取则可得：（5-5-5）要使，则应使：，即，而：。即发射一吨重的卫星需要148吨重的火箭类似的可以推算出三级火箭：（5-5-6）在同样假设下（5-5-7）要使，则，而。即发射一吨重的卫星需要76吨重的火箭。由此可见三级火箭比二级火箭几乎节省了一半。四级火箭：（5-5-8）同样假设下：（5-5-9）要使，则，而。即使用四级火箭发射1吨重的卫星需要64吨重的火箭，比三级火箭要省。 但是由于工艺的复杂性及每节火箭都需配备一个推进器，所以使用四级或四级以上火箭是不合算的，三级火箭提供了一个最好的方案。 当然若燃料的价钱很便宜而推进器的价钱很贵切且制作工艺非常复杂的话，也可选择二级火箭。六、模型改进 由于条件限制，缺乏相关数据，在建立模型的时候没有考虑空气