求解Bloch方程的注释.doc

第 25 卷第 11 期2006 年 11 月大 学 物 理COLL E GE P H YSICSVol . 25 No . 11Nov. 2006求解 Bl och 方程的注释莉1 , 郑仁蓉1 , 朱顺泉2王( 11 上海师范大学 数理信息学院 物理系 , 上海 200234 ; 21 上海商学院 计算机与电气技术系 , 上海201400)摘要 :Bloch 方程是经典力学描述核磁共振现象最为重要的理论基础之一 ,是理解和做好核磁共振实验的必备知识 . 考虑到目前实验教学中对这部分内容的介绍有所欠缺 ,故对 Bloch 方程的形式和分阶段求解进行了详细地解释说明 ,以供大学生 在核磁共振实验前补充学习 .关键词 :Bloch 方程 ;核磁共振 ;弛豫中图分类号 :O 482153 + 2文献标识码 :A文章编号 :100020712 (2006) 1120018205核 磁 共 振 , 即 Nuclear Magnetic Resonance , 简 称NMR. 因其实验技术的不断改进发展和重大应用的 成功 ,到 2003 年 ,以 NMR 技术为基础所作出的成果 ,先后使 16 位科学家获得了 13 项诺贝尔奖1 . NMR技术已经从物理学科开始广泛地应用于化学 、生物 、 医学 、地质学 、石油勘探等领域 ,形成了一门还在不断 发展中的前沿交叉学科 ,也逐步成为大学理工科学生 的必修内容 ,成为近代物理实验的重要项目之一.N M R 是揭示物质内部运动的一种重 要 手 段 , 而量子统计理论是解释 N M R 现象的主导理论 . 但 在实验教学中 ,对于那些物理基础较弱的非物理专 业的低 年 级 学 生 来 说 , 仅 用 量 子 统 计 理 论 来 解 释 N M R 现象 ,学生不易理解. 为了让广大学生了解这一先进技术 ,我们采取了以宏观经典力学理论为主 、 量子统计理论解释为辅的教学方式.Bloch 方程是经典力学描述 NMR 最为重要的理 论基础之一. 求解 Bloch 方程是较为复杂的 ,考虑到多数教材对这部分内容的介绍有所欠缺 ,一些相关的专 业书籍一般学生又难以读懂 ,为此 ,我们意欲在他人 工作的基础上 ,丰富一些内容 ,对 Bloch 方程作一些详 细的注解和直接相关的总结 ,以帮助学生加深理解 ,对教学起到促进作用.为了便于理解 Bloch 方程的由来和物理意义 ,让我们先来看一个简单的经典例子.若将一个磁矩为 m 的条形磁体中点固定在一个支撑物上 , 并将其置于均匀的外场 B 中 , m 就要0旋转到顺着 B 0 的方向上来. 如果不计 m 与支撑之间的摩擦 , m 将在 B 0 方向的两边来回不停地摆动 , m 的势能与动能在摆动中相互转换 , 而磁体的总能 量不变. 若考虑 m 与支撑物之间的摩擦 , 则磁体在摆动过程中 , 摩擦将其能量不断地消耗 , 使磁体最后 停在能量最低的位置 B 0 方向上. 见图 1 2 .这与垂直悬挂的绳端系一小球的摆动十分相似(见图 2) . 用手将小球偏离垂直位置后再放手 , 若不计 绳的另一端悬挂处的摩擦 , 小球将一直以铅垂位置为 平衡点来回摆动下去. 若考虑摩擦 ,小球摆动的摆幅就 会越来越小 ,最后停在其能量最低的铅垂位置上.图 1 条形磁铁在外磁场 B 0 中的转动112样品中磁矩的拉莫尔进动图 2 单摆的振动1Bloch 方程的的形式与理解111与 Bloch 方程有关的简单经典例子拉莫尔进动描述的是磁化强度 M ( 即总磁矩)收稿日期 :2005 - 11 - 01 ;修回日期 :2006 - 06 - 26基金项目 :国家自然科学基金资助项目 ( 10375001) ;兰州重粒子加速器国家实验室原子核物理理论中心第三期课题基金资助项目 ; 上海市高 校科技发展基金资助项目 ( 03DZ03)作者简介 :王 莉 ( 1978 ) ,女 ,江苏连云港人 ,上海师范大学数理信息学院物理系助理实验师 ,硕士生 ,主要从事大学物理实验教学和研究.教学研究时间 ( T1) 和横向弛豫时间 ( T2 ) 的概念 , 并将其唯象地引入到宏观磁化强度矢量 M 的动力学方程中 , 构 成了研究体系总磁矩 M 的 Bloch 方程1 :在沿 z 轴正方向的恒定外磁场 B 0 中的运动. 根据角动量定理有 3 ( 1)d M / d t = M B 0写成矩阵形式为d M / d t = M B + R( M - M 0 )( 5)M xM yM zijM y0kM zB 0式中 M 0 表示平衡状态的磁化强度矢量 ; B 指样品所处位置的磁 感 应 强 度 ; 为 原 子 核 的 旋 磁 比 ; R表示弛豫矩阵 .弛豫在宏观经典理论中是宏观磁化强度矢量M 由非平衡态转向平衡态并维持平衡态的过程 ( 如= M x( d/ d t )( 2)0写成分量形式为M x = M yB 0 = 0 M y( 3a)( 3b)( 3c)M y = - B 0 M x 5 图 4) . T 1 反映的是 M 的纵向分量 M z 由非平衡态到平衡态 M 0 所需的时间 ; T 2 反映的是 M 的横 向分量 M x y 由非平衡态到平衡态 M x y = 0 所需的时 间 . 这里的平衡态就是如前面 111 节中所说的体系 势能最低的状态 . 使体系向着平衡态方向运动的机 制 , 纵向弛豫来源于自旋与固体中晶格的相互作用 ,横向弛豫来源于自旋 - 自旋耦合 . 用 M x 、M y 、M z 恢复平衡的平均速度 ( - M i / T i , 负号表示向着状态 的起始点 平衡态的方向的变化) 代替它们的瞬时速度 ( d M i / d t ) 可以近似地考虑弛豫的影响 , 则有M z = 0由式 (3b) 有M x = - M y / (B 0 ) 将其代入式 ( 3a) 得M y / (B 0 )M x = -M y + (B 0 ) 2 M y = 0该微分方程的特征方程为r2 = - (B 0 ) 2解得r = iB 0M y = A sin (B 0 t ) + B co s (B 0 t ) M x = B sin (B 0 t ) - A co s (B 0 t )于是得 :d M x M x d M y M y d M z M z - M 0= -, = -, = -d tT 2 d tT 2 d tT 1令初始条件为 :当 t = 0 时 , M 0 x = 0 , M 0 y = M sin0 ,可解得 A = 0 , B = M 0 y , 即M x = M 0 y sin (B 0 t )M y = M 0 y co s (B 0 t ) 式 (3c) 给出 M z = C = 常数 , 说明矢量 与 z 轴的夹角0 不变. 因而有M z = M co s 0(4a)(4b)M 的大小及(4c)方程 (3) 的解 (4a) (4c) 说明 ,若样品置于沿 z 方向的恒定外场 B0 中时 ,若 0 ,则磁化强度 M 沿与 B0 相 反的负 z 方向 ,以频率 0 =B0 作拉莫尔进动4 (见图3) ,它正是核磁共振 (NMR) 实验中的“原始”振动.图 4式 ( 5) 右边的第一项 M B 来自角动量定理d J / d t = M B 和 M = J , 它表示 M 在外磁场 B 中的运动 , 它与第二项弛豫部分 R ( M - M 0 ) 是各 自独立发挥作用的两部分 , 因此可以将这两种作用 进行简单的叠加.于是式 ( 5) 表示为d M / d t = M B - ( M x i + M y j ) / T 2 -图 3 磁矩 m ( 0) 绕外磁场 B0 的进动113Bloch 方程的形式与理解NMR 是指原子核中 ,角动量为 J 的磁矩在恒定 外磁场和外加射频共同作用下引起的共振吸收现象.上世纪 40 年代布洛赫 ( F1Bloch) 首次导入了纵向弛豫( M z - M 0 ) k/ T 1( 6)无外场时 , 样品中多个小磁矩有各种取向 , 样品在宏观上表现不出磁性 . 加上一个恒定的强外磁场B 0 以后 , 由于各小磁矩欲沿外场方向顺排 , 总磁矩20大学 物 理第 25 卷在外磁场中所感受的外力矩 , 使样品中磁矩有了初始的宏观拉莫尔进动 , 这种进动会因弛豫的阻力作 用而停止. 但若再外加另一个弱的交变射频磁场 , 给此初始运动提供共振条件 , 就能实现样品的 N M R. 因此 ,一般做 N M R 实验时 ,总是将样品放在一个恒 定的强外磁场中 ( 设外磁场大小为 B 0 , 作用方向沿 z 轴) , 同时加一个弱的交变磁场 , 即射频 ( 设大小为2 B 1co s t , 方向沿 x 轴方向) .图 5 线偏振场 B t 分解成圆偏振场 B 与 B 之和x ( )L RBloch 方程的求解及注释2(0 - ) ,于是式 (9a) (9c) 成为 (r 表示旋转坐标) :rrd M x / d t = (0 - ) M y(10a)(10b) (10c)下面我们分两个阶段对 Bloch 方程求解 , 以便分别探讨外加射频脉冲和弛豫时间常量对体系状态 的影响. 最后求 Bloch 方程的稳态解 .211射频脉冲作用瞬间 , Bloch 方程的解这时 ,由于弛豫 (s 级) 较射频脉冲作用时间 (s 级)长得多 ,可以忽略不计 ,因此 Bloch 方程可简化为d M rrry / d t = B 1 M z -(0 - ) M xd M rM rz / d t = B1 y达到共振时 , = 0 . 因为 = B 0 , 测出 0 , B 0 就可得到 . 这就是一般大学 N M R 实验的主要内容.共振时式 (10a) 给出 d M r / d t = 0 , 所以= C ( 常M rxxd M / d t = M B( 7)数) , 由初始条件 :当 t = 0 时 , 有M r= 0( 11a)即xiM x2 B 1co s tjM y0kM zB 0将式 (10c) 代入式 (10b) ,得d M / d t = M B = M r2rz + (B 1 ) M z = 0该微分方程与式 ( 3a) 的形式一样 ,因而解法相同. 令( 8)(9a) (9b)(9c)初始条件为 :当 t = 0 时 , M r = 0 , M r = M , 可解得z 0yd M x / d t = M yB 0 = 0 M yd M y / d t = ( 2 B 1 M z co s t - B 0 M x )d M z / d t = - 2 B 1 M y co s tM ry = M 0 sin (B 1 t )( 11b)( 11c)M rz = M 0co s (B 1 t )式 (11a) (11c) 即为射频脉冲作用时 Bloch 方程式(10) 的解. 式 (11) 表明 ,在脉冲作用期间 ,磁化强度 以 1 = 1 的圆频率在旋转坐标系 S内的 y z 平 面上绕 x 轴左旋转动 ( 称为章动 , 见图 6) . M 0 在 x1) 根据振动理论 , 沿 x 方向的线偏振交变场2 B 1co s t 可理解为以负 B 0 方向为旋转轴的一左旋 圆偏振场 BL = B 1 ( ico s t + j sin t ) 和一右旋圆偏振场 B R = B 1 ( ico s t - j sin t ) 的叠加 1 在 N M R中 ,只有当圆偏振场的旋转方向与宏观磁化强度矢 量的拉莫尔进动方向相同时才会引起经典意义上的共振. 对于旋磁比为正的系统 ,解 (4) 已表明 ,宏观磁化强度矢量沿负 z 方向进动 ,因此 ,这里右旋圆偏 振场 B R 起作用 ,而左旋分量 BL 在本文的简化模型 中可以忽略不计 ( 见图 5 ,这里的左 (L ) 、右 ( R) 旋方 向是以负 z 轴为旋转轴方向 4 ) 12) 在实验坐标系 S( x , y , z ) 中研究 M 的运动较 为困难. 为便于分析 , 将实验坐标系变换成 频 率 为 的射频场中绕负 z 方向的右旋坐标系 B R ,令其为轴上的投影 M rx = 0 . 从实验室坐标系 S 来看 , 磁化强度的运动如图 7 所示.图 6 在旋转坐标系 S中 , 图 7 在实验坐标系 S 中 , 磁磁矩 M 0 的章动矩 M 0 的章动加拉莫尔进动S( x , y, z ) , 并使z 与 z 重合. 设 t = 0 时 , B R =B 1 i 1 因为 S的旋转方向和大小与 B R 相同 ,所以 x始终与 B R 一致 , y 垂直于 BR1 在 S( x , y , z ) 中 ,B R 变成 B 1 ,而拉莫尔进动频率 B 0 = 0 变成了当脉冲作用到一定时间 tp 的瞬间 , S与 S 刚好重叠 , 这时磁化强度与 z 方向形成一个夹角p , 称 为脉冲偏转角 ( 图 6) . 我们将以此作为射频磁场撤除后 Bloch 方程的解的初始条件.212射频磁场撤除后 , Bloch 方程的解撤除交变磁场后检测 N M R 信号 , 检测是在弛 豫的时间范围内进行的 ,这时弛豫必须考虑. 我们回到实验室坐标系来考虑问题.将 Bloch 方程写为由初始条件 :当 t = 0 时 , M y = M 0 sin 0 给出C2 = M 0 sin pC2 代入式 ( 14) 得 t M x = M 0 sin p sin (B 0 t ) e - T =2 t M 0 sin p sin (0 t ) e - T( 16a)2ijkC2 代入式 ( 15) 得d M / d t = M x M y M z- ( M x i + M y j ) /T 2 - t M y = M 0 sin p co s (0 t ) e - T( 16b)00 B 02求解式 (12c) 较容易 ,直接给出结果为( M z - M 0 ) k/ T 1d M x / d t = M yB 0 - d M y / d t = M x B 0 -d M z / d t = - ( M z - t M z = M 0 1 + (co s p - 1) e - T (12a)(12b)(12c)( 16c)即M x / T 2M y / T 2M 0 ) / T 11式 (16a) ( 16c) 即为射频作用后 ,撤除交变磁场的Bloch 方程的解. 式 (16a) 、(16b) 说明 ,在弛豫时间范 围内 ,磁化强度 M 一方面在 x y 平面上以“原始”频 率 0 = B 0 进行拉莫尔进动 , 其进动的振幅 , 即锥 体底面圆周的半径 , 以时间常量 1/ T 2 呈指数衰减. 另一方面 , 式 ( 16c) 说明 , M 以 1/ T 1 为速率努力使z 方向的分量回复到 M 0 1 . 式 ( 16a) ( 16c) 说明 , 若没有由射频场造成的与拉莫尔进动的共振作用 , 阻力最终会使拉莫尔进动停止到图 4 ( a) 的平衡状 态 . 为了避免这种状态的出现 ,实验中的射频信号并 非为脉冲形式 .213 Bloch 方程的稳态解在实际 N M R 实验中 ,射频信号并不是脉冲形 式 ,而是连续作用在样品上的 . 磁化强度的 y , z 分量不是衰减到零 , 而是衰减到常数值. 为便于分析 ,在旋转坐标系中考虑问题 . 此时的 Bloch 方程为式(10a) 、(10b) 、(10c) 三式分别加上对应的弛豫作用 :脉冲信号撤除的瞬间 ,还剩 B 0 的作用 , M 的大小变为 M 0 , 磁矩系统 M 虽无脉冲作用 , 但仍保留 绕负 z 轴的拉莫尔进动. 经过一段弛豫时间的阻力 作用 , 拉莫尔进动也会归于平静 . 以下求解上面 3 个 方程式 1由式 (12a) 得11 M y =( M +M)( 13)xxB 0T 2 1 ( 1 M y = B 0 M x + T 2 M x)将之代入式 ( 12b) ,经整理得21 )(22M x + T 2 M x +B 0 +M x = 0T 22该微分方程的特征方程为21 ) = 0r2 +r + (2 B 2 +0T 2T 22d M r / d t = ( - ) M r - M r /(17a)Tx0y x2它的两个根为d M r / d t = BM r -( - ) M r -M r /T1 z02yxy 1 r1 , 2 = - T 2 iB 0(17b)(17c)rrrd M z / d t = - B 1 M y -( M z -M 0 ) /T 1所以在稳恒磁场 B 0 和射频场 2 B 1co s t 共同作用与阻力抗衡的情况下 , 磁化强度的运动最终将会达到平 衡状态 , 即 t M x = e - T C1co s (B 0 t ) + C2 sin (B 0 t ) 2该阶段的初始状态为上一阶段脉冲作用到某时刻 tp 对 应 的 偏 转 角 p 时 的 M x = 0 , M y =p , M z = M 0co s p . 即当 t = 0 时 , M x = 0 , 得tM 0 sind M rd M rd M rxyz= 0d t d t d t由式 ( 17a) ,得M x = C2e - T sin (B 0 t )( 14)2M rrx = (0 - )T 2 M y1 t t M x = C2 -e - T sin (B 0 t ) + B 0e - T co s (B 0 t ) 由式 ( 17c) ,得22T 2代入式 ( 13) 得M rrrz = M 0 - B 1 T 1 M y = M 0 - 1 T 1 M y其中 1 = B 1 是磁化强度 M 章动的频率.将上两式代入式 (17b) ,得tM y = C2e - T co s (B 0 t )( 15)222大学 物 理第 25 卷磁矩沿负 z 轴方向以频率0 = B 0 作拉莫尔进动 ,构成核磁共振 ( N M R) 实验中的“原始”振动 . 来源于 自旋与固体中晶格互相作用的纵向弛豫 ( T 1 ) 使磁矩的 z 分 量 M z 以 1/ T 1 的 速 率 回 复 到 平 衡 状 态M 0 ,来源于自旋 自旋耦合的横向弛豫 ( T 2 ) 使拉莫尔进动的振幅呈 1/ T 2 指数衰减 . 沿 x 方向安置1 M 0 T 2M ry =1 + 2 T T + ( - ) 2 T 21 1 2 02代回上两式 , 得2 (0 - ) 1 M 0 T 2 =M rx1 + 2 T T + ( - ) 2 T 21 1 2 022 2 1 + (0 - ) T 2 M 0M rz =1 + 2 T T + ( - ) 2 T 2的线偏振 2 B co s t 交变脉冲中的右旋分量 B 在1 1 2 0当共振时 , = 0 , 所以21R与拉莫尔进动发生共振时 ,使磁矩的拉莫尔进动得以继续的同时还增加了频率为 1 = B 1 的章动. 而 在稳恒磁场 B 0 和射频场 2 B 1 co s t 共同作用与阻 力抗衡的情况下 , 磁化强度即总磁矩的运动最终将 达到稳态核磁共振. 这时 , 总磁矩的大小为常数 , 且M = 0( 18a)x1 M 0 T 2M ( 18b)=1 + 2 T Ty1 1 2 M 0 M ( 18c)=1 + 2 T Tz绕外加磁场 B 0 以共振频率 = 0 作高速旋转.1 1 2式 (18a) ( 18c) 即为 Bloch 方程的稳态解 . 结果表明 ,稳态核磁共振时 ,从旋转坐标系看 , x 方向的磁 化强度衰减到零 , 而另两个分量在 y z 平面上衰减到常数值. 而从实验室坐标系看 , 磁化强度的大小与 在旋转坐标系中一样 , 只是它绕外加恒定磁场以射 频频率 作高速转动.最后还需说 明 的 是 , Bloch 方 程 的 解 在 角 动 量J = 1/ 2时与量子计算结果相同 4 .参考文献 : 1 毛希安 1 核磁共振基础简论 M 1 北京 : 科学出版社 ,19961冯 蕴 深 1 磁 共 振 原 理 M 1 北 京 : 高 等 教 育 出 版 社 ,1992 :151赵凯华 ,陈熙谋 1 电磁学 ( 上册) M 1 北京 : 人民教育 出版社 ,1978 :3121周衍柏 1 理论力学教程 M 1 北京 : 人民教育出版社 ,1979 :2151吴祥兴 ,忻贤 1 近代实验物理 M 1 上海 : 上海科学 教育出版社 ,199