最小二乘法与最小二分法.doc

最小二乘法公式最小二乘法公式 (X-X平)(Y-Y平)=(XY-X平Y-XY平+X平Y平)=XY-X平Y-Y平X+ nX平Y平=XYnX平Y平-nX平Y平+nX平Y平=XY-nX平Y平 (X -X平)2=(X2-2XX平+X平2)=X2-2nX平2+nX平2=X2-nX平2 编辑本段最小二乘法原理用各个离差的平方和M=(i=1到n)yi-(axi+b)2最小来保证每个离差的绝对值都很小。解方程组?M/?a=0；?M/?b=0，整理得(xi2)a+(xi)b=xiyi；(xi)a+nb=yi。解出a,b。 在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据(x1, y1、x2, y2. xm , ym)；将这些数据描绘在x -y直角坐标系中, 若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如(式1-1)。 Y计= a0 + a1 X (式1-1) 其中：a0、a1 是任意实数 为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用最小二乘法原理，将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计=a0+a1X)的离差(Yi-Y计)的平方和(Yi - Y计)2最小为“优化数据”。 令: = (Yi - Y计)2 (式1-2) 把(式1-1)代入(式1-2)中得: = (Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3) 当(Yi-Y计)平方最小时，可用函数 对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。 (式1-4) (式1-5) 亦即： m a0 + (Xi ) a1 = Yi (式1-6) (Xi ) a0 + (Xi2 ) a1 = (Xi, Yi) (式1-7) 得到的两个关于a0、 a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出： a0 = (Yi) / m - a1(Xi) / m (式1-8) a1 = nXi Yi - (Xi Yi) / nXi2 - (Xi)2 ) (式1-9) 这时把a0、a1代入(式1-1)中, 此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即：数学模型。 在回归过程中，回归的关联式是不可能全部通过每个回归数据点(x1, y1、 x2, y2.xm,ym),为了判断关联式的好坏,可借助相关系数“R”，统计量“F”，剩余标准偏差“S”进行判断；“R”越趋近于 1 越好；“F”的绝对值越大越好；“S”越趋近于 0 越好。 R = XiYi - m (Xi / m)(Yi / m)/ SQRXi2 - m (Xi / m)2Yi2 - m (Yi / m)2 (式1-10) 在(式1-1)中，m为样本容量，即实验次数；Xi、Yi分别任意一组实验X、Y的数值。 编辑本段最小二乘法拟合对给定数据点(Xi，Yi)(i=0,1,，m)，在取定的函数类 中,求p(x) ,使误差的平方和E2最小，E2=p(Xi)-Yi2。从几何意义上讲，就是寻求与给定点 (Xi，Yi)(i=0,1,m)的距离平方和为最小的曲线y=p(x)。函数p(x)称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数p(x)的方法称为曲线拟合的最小二乘法。最小二乘法 在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据(x1, y1、x2, y2. xm , ym)；将这些数据描绘在x -y直角座标系中(如图1), 若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如(式1-1)。 Y计= a0 + a1 X (式1-1) 其中：a0、a1 是任意实数 为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用最小二乘法原理，将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计=a0+a1X)的离差(Yi-Y计)的平方和(Yi - Y计)2最小为“优化判据”。 令: = (Yi - Y计)2 (式1-2) 把(式1-1)代入(式1-2)中得: = (Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3) 当(Yi-Y计)平方最小时，可用函数 对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。 (式1-4) (式1-5) 亦即： m a0 + (Xi ) a1 = Yi (式1-6) (Xi ) a0 + (Xi2 ) a1 = (Xi, Yi) (式1-7) 得到的两个关于a0、 a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出： a0 = (Yi) / m - a1(Xi) / m (式1-8) a1 = Xi Yi - (Xi Yi)/ m / Xi2 - (Xi)2 / m) (式1-9) 这时把a0、a1代入(式1-1)中, 此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即：数学模型。 在回归过程中，回归的关联式是不可能全部通过每个回归数据点(x1, y1、 x2, y2.xm,ym),为了判断关联式的好坏,可借助相关系数“R”，统计量“F”，剩余标准偏差“S”进行判断；“R”越趋近于 1 越好；“F”的绝对值越大越好；“S”越趋近于 0 越好。 R = XiYi - m (Xi / m)(Yi / m)/ SQRXi2 - m (Xi / m)2Yi2 - m (Yi / m)2 (式1-10) 在(式1-1)中，m为样本容量，即实验次数；Xi、Yi分别任意一组实验X、Y的数值。微积分应用课题一 最小二乘法 从前面的学习中, 我们知道最小二乘法可以用来处理一组数据, 可以从一组测定的数据中寻求变量之间的依赖关系, 这种函数关系称为经验公式. 本课题将介绍最小二乘法的精确定义及如何寻求 与 之间近似成线性关系时的经验公式. 假定实验测得变量之间的 个数据 , , , , 则在 平面上, 可以得到 个点 , 这种图形称为“散点图”, 从图中可以粗略看出这些点大致散落在某直线近旁, 我们认为 与 之间近似为一线性函数, 下面介绍求解步骤. 考虑函数 , 其中 和 是待定常数. 如果 在一直线上, 可以认为变量之间的关系为 . 但一般说来, 这些点不可能在同一直线上. 记 , 它反映了用直线 来描述 , 时, 计算值 与实际值 产生的偏差. 当然要求偏差越小越好, 但由于 可正可负, 因此不能认为总偏差 时, 函数 就很好地反映了变量之间的关系, 因为此时每个偏差的绝对值