用玻尔理论统一处理氢原子电子偶素和氦原子基态能级.doc

第 24 卷第 9 期2005 年 9 月大 学 物 理COLL EGE PHYSICSVol . 24 No . 9Sep . 2005用玻尔理论统一处理氢原子 、电子偶素和氦原子基态能级陈钢 ,吴去非( 苏州大学 物理科学与技术学院 ,江苏 苏州 215006)摘要 : 用玻尔氢原子理论处理氢原子和电子偶素基态的方法 ,在假定了氦原子基态的经典模型后 ,给出了氦原子基态能级和半径 ,并与实验和量子力学变分法计算的结果作比较 ,说明玻尔氢原子理论对氦原子基态能级的计算有一定的意义 .关键词 : 玻尔氢原子理论 ;能级 ;电子偶素 ;氦原子文章编号 :100020712 (2005) 0920035203中图分类号 :O 413文献标识码 :A玻尔以其简明扼要的模型提出了氢原子量子理论 ,给出了精确的结果. 本文依照玻尔模型的方法比 较氢原子 、电子偶素和氦原子基态的能量.me mN不重合 , 以约化质量 =则氢原子基态能量为代替电子质量 me ,me + mNc2e2 22c2E1 = -= - (8)1 氢原子基态能量根据玻尔理论 ,考虑到原子核质量比核外电子 质量大得多 ,氢原子质心与氢原子核重合 ,氢原子能 量为原子核外电子的动能以及原子核 - 价电子相互 作用能之和 ,即2hc2电子与原子核之间的距离为2rH = h a(9)e2而电子和质心间的距离 ( 轨道半径) 仍为 与核质量无关 , 见图 1.ha =, m e2e 2EH = 1 me v2 -e( 1)H2rH单电子绕核做圆周运动 , 有me v2e2H(2)r2 =rHH由式 (2) 得e2 12图 1 电子与原子核绕质心运动(3)2 me v H = 2 rH电子绕无限大质量中心做圆周运动 , 玻尔的基态轨道量子化条件为2 电子偶素 ( Ps) 基态能量电子偶素是一个 e + 和一个 e - 形成的类似氢原 子的束缚体系. 由 Ruark 定 名 为“positronium”, 元 素 符号为 Ps , 见图 2.me v H rH = h(4)由式 (3) 、( 4) 可得2hrH =(5)me e2将式 (3) 和 ( 5) 代入式 (1) , 求得氢原子基态能量me c22eE1 = -= - 2= - 13. 6 eV( 6)2 rH2其中 = e2/ hc 为精细结构常量. 基态轨道半径 ( 即玻尔半径) 为小 , 受到碰撞时较容易分离.在此推导过程中 , 运用了正 、负电子相距 R = m e m e me周运动. 用电子的约化质量 =me + me =2 代替Ps电子的质量 , 由前述式 (8) 、( 9) 得电子偶素基态能量2 rPs = 2 a 的相互作用距离 , 而所求能量与实验相符 ,以两个电子和质心的距离为体系尺寸的大小 , 电子 偶素的尺寸大小与氢原子相同.为me c2 EH2 EPs = - 2c = -1 2= - 6 . 8 eV22223 氦原子基态能量( 10)电子偶素正 、负电子间的距离为氦原子是双电子原子 , 不能用类氢理论给出其能级 , 但可以试用以下模型用玻尔理论计算氦原子 基态能量. 根据氦原子的对称性 , 可以设想核外两个电子分布在氦原子直径上核的两侧 , 见图 3. 氦原子能量为电子的动能 、核 - 电子相互 ( 吸引) 作用能以 及电子 - 电子相互 ( 排斥) 作用能 , 即2h =2 h = 2 a = 0. 104 nmR Ps =( 11)me e2me22 e作为对氢原子理论自洽性的验证 , 在质心系看 ,正 、负电子绕质心做圆周运动 , 设半径为 rPs . 电子偶素的能量为正 、负电子绕质心的动能以及正 、负电子2 e2e2相互 ( 吸引) 作用能 : 1v2E = 2 m He - 2 +(18)Hee2rHe2 rHee21EPs = 2 me v 2 -( 12)Ps22 rPs其中正 、负电子绕质心的速度 vPs与正 、负电子相对 vPs速度的关系为 vPs = 2 . 在质心系看 , 正 、负电子做圆周运动 , 有me v 2e2Ps=(13)图 3 氦原子质心与核重合 , 电子绕质心 ( 核) 运动(2 rPs) 2 rPs由式 (13) 得由核 - 电子相互作用和电子 - 电子相互作用 ,得基态氦原子中一个电子的向心力为2eme v 2 =( 14)Ps4 rPsme v22 e2e2由于正电子质量不是无限大 , 正电子与质心不He(19)-2 =2(2 rHe)rHerHe重合 , 则约化质量为 的“单电子”绕正电子运动的由式 ( 19) 得基态轨道量子化条件为e2me72vPs (2 rPs) =(2 vPs) ( 2 rPs) = hme v He = 4(20)r2He即2 me vPs rPs = h( 15)根据以上模型 , 氦原子体系的质心与核重合 , 由玻尔轨道量子化条件 , 对单个电子有此式表明 , 正 、负电子对质心的基态角动量等于两个粒子角动量的总和 , 即等于约化质量为 的“单电me v He rHe = h由式 (20) 和 ( 21) 可得( 21)子”绕正电子运动的角动量.由式 (14) 和 (15) 可得h244rHe = 72 = 7 a(22) 2 hme e将式 ( 20) 、( 22) 代入式 ( 18) , 得rPs = a(16)me e2将式 (14) 、(16) 代入式 (12) , 得e2e2e22e27777EHe =-= -= -=me v 2 e2e2e2 E 4 r2 r4 r4aPsHHeHeHeEPs = 2 - 2 rPs = - 4 rPs = - 4 a =22- 3. 06 2 13. 6 eV = - 83 . 3 eV( 23)(17)结果与氦原子基态能量实验值 79 eV 比较接近 . 由经典模型计算氦原子基态能量为 83 . 3 eV , 与实验值 相差| 83. 3 - 79| eV = 4 . 3 eV , 而用量子力学微扰法此结果与式 ( 10) 结果相同 . 电子偶素能量为氢原子能量的 1/ 2 , 据此能量关系求得其赖曼系主线波长为 243 nm , 与光谱实验值相符. 电子偶素束缚态的37第 9 期陈钢等 :用玻尔理论统一处理氢原子 、电子偶素和氦原子基态能级计算氦 原 子 基 态 能 量 为 74 . 8 eV , 与 实 验 值 相 差| 74. 8 - 79| eV = 4. 2 eV , 两种方法结果几乎相同. 而2 e2 2 e+22 17 eEHe = 2 me v2 - 2 = -He24rHe rHerHe(27)氦原子半径 rHe = 4 a = 0 . 030 nm , 与由自洽汤方法7计算氦原子基态波函数对应的最大径向电荷密度的半径 0. 030 nm 相符.在量子力学中用变分法求氦原子基态能量 , 用 试探波函数 ( 以下各式均取原子单位)将式 (26) 氦原子半径值代入式 (27) ,得e2e277EHe = -rHe = -=440. 59 a- 2. 97 2 13. 6 eV = - 80. 7 eV (28)用经典模型计算的结果与实验值相差| 80. 7 - 79| eV= 1. 7 eV , 而用量子力学变分方法求出的氦原子基 态能量与实验值相差| 77 . 5 - 79| eV = 1 . 5 eV , 两个结果基本相同 . 由此可以看出 , 用经典模型计算氦原子基态能量 ( 单态能量) 有一定的意义 .3( r1 , r2) = e - ( r + r )(24)1 2其中 = Z - 5 , 是两个电子同处 1s 轨道时 , 其中一16个电子感受到的有效电荷. 两个电子的空间概率密度为 ( r1 , r2 ) = | ( r1 , r2 ) | 2 , 由二元函数极值可参考文献 :得 , 当 r1 = r2 = r = 1 时 ,( r1 , r2) 为最大 , 由此得 :1 美 卡普路斯 M , 波特 R N. 原子与分子 M . 北京 :科学出版社 , 1986. 3334 , 167183.钱伯初 , 曾谨言. 量子力学习题精选与剖析 上册 M .第 2 版 . 北京 :科学出版社 , 1999. 142.杨福家 . 原子物理学 M . 第 3 版 . 北京 :高等教育出版 社 , 2000. 4950. 美 斯莱特 J C. 原子结构的量子理论 第一卷 M . 上 海 :上海科学技术出版社 , 1981. 133.EHe = - 77. 5 eV(25)2 r = 1 =1= 0. 59(26)Z - 5/ 163 作为比较 , 在本文所描述的经典模型中采用上述氦原子半径计算基态能量. 由经典模型 , 氦原子基态能 量为4 Treating the ground states of hydrogen ,positronium and hel ium atomsby Bohr model uniquelyCHEN Gang , WU Qu2fei( Physical Science and Technology College , Suzhou University , Suzhou 215006 , China)Abstract :By means of the method , that dealt with the ground states of hydrogen and positronium using the Bohrmodel , a classical model of the helium ground state is assumed and its energy and radius are calculated. The result is compared with experiment and variational method of quantum mechanics.Key words :Bohr theory of the hydrogen atom ; energy level ; positrnium ; helium atom( 上接 34 页)Abstract :A method of calculating crystal plane spa