浅谈解析几何综合题的一些解题技巧.doc

浅谈解析几何综合题的一些解题技巧松阳一中 叶李君摘要：解析几何是高中数学教学的重要内容，也是历年高考考查的重点内容之一，而解析几何综合题是高考命题的热点内容之一. 不少考生对突破这一常规难点心存疑虑，信心不足。造成这一困惑的主要原因除运算量较大外，还有一个非常重要的原因是在解题中的应用技巧认识不足，训练不到位。关键词：知识点交汇、方法、思维一、 知识点的交汇：有高考考试说明提到：对数学能力的考查，强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，以此来检测考生将知识迁移到不同情境中去的能力，从而检测出考生个体理性思维的广度和深度以及进一步学习的潜能。解析几何综合题体现了解析几何在数与形相互转化的数学思想，展示了解析几何在计算方法上的特点和技巧，表现出辩证思维的丰富内涵。这部分试题重在考查圆锥曲线中的基本知识和基本方法，同时也有一定的综合性和灵活性，一般是以圆锥曲线中有关的知识和方法为主线，结合解析几何中其它部分的知识：平面几何及平面向量、函数与方程、不等式、数列、三角函数等有关知识和方法的综合问题.所涉及到的知识点较多，对解题能力考查的层次要求较高，考生在解答时，常常表现为无从下手，或者半途而废。例如：（1）与向量的综合：（2010福建理7）若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为 ( )A B C D（2）与数列的综合：（2010年宁夏、海南、黑龙江、吉林第20题）.设分别是椭圆的左右焦点，过斜率为1的直线与E相交于A、B两点，且成等差数列。（1）求E的离心率；（2）设点满足，求E的方程。二、方法解析几何以坐标法为基础，建立用代数方法研究几何问题的知识体系，各种数学思想和方法在解析几何中都有集中和深刻的体现，因而解题时就需要运用多种知识、采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确解题，还须掌握一些方法和技巧。如：紧扣定义，灵活解题；巧用相关量，设而不求；引入参数，整体代入；数形结合，直观显示；适时应用“平几”知识，简化运算；结合平面向量，优化解题思路等。1. 判别式案例1: 已知双曲线，直线过点，斜率为，当时双曲线的上支上有且仅有一点B到直线的距离为，试求的值及此时点B的坐标。分析：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B到直线的距离为”，相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路:转化为一元二次方程根的问题求解问题关于x的方程有唯一解 2. 韦达定理案例2:已知椭圆C:和点P（4，1），过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB上取点Q，使，求动点Q的轨迹所在曲线的方程.分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到. 这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参.，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道.3.求根公式 案例3:设直线过点P（0，3），和椭圆顺次交于A、B两点，试求的取值范围.分析：本题中，绝大多数同学不难得到：=，但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.4.设而不求案例4: 如图，已知梯形ABCD中，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当时，求双曲线离心率的取值范围.分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系，如图，若设C，代入，求得，进而求得再代入，建立目标函数，整理，此运算量可见是难上加难.我们对可采取设而不求的解题策略,建立目标函数，整理,化繁为简.在当前的中学数学教学中,教师过于强调概念、定理和公式的死记硬背，忽视对知识形成或背景的理解；重视对数学内容的讲解，忽视数学思想方法的概括提高；当然本文只是罗列了解析几何解题