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近世代数中与素数相关的性质与应用 The properties and applications of primes in modern algebra专 业: 数学与应用数学作 者: #指导老师: #大学数学学院二一三年五月 #大学 本科毕业论文摘 要本文主要探究了素数在近世代数中的相关性质和应用. 首先, 我们根据素数的性质, 讨论了素数和素元的关系, 解决了整环中元的唯一分解问题, 进一步探讨了素元在环和域中的因式分解定理, 并给出了高等代数中的艾森斯坦定理的更一般的形式; 其次, 我们讨论了素数在阶中的应用; 再次, 归纳总结了素数在几类特殊群和子群中的应用; 最后, 我们讨论了素数在特殊环和域中的相关结论. 全文都附有相关例题, 以便更好地解释和说明. 关键词: 素数; 素元; 因式分解; 艾森斯坦定理; 素理想; 群和子群; 环和域Abstract This paper attempts to make a general inquiry to the relevant properties and applications of primes in modern algebra. First, according to properties of algebra, we discuss the relationship between prime and prime element, solve the only factorization problem in integral domain, further explore the prime elements factorization theorem in ring and domain, and give the more general form of Eisenstein Theorem in advanced algebra. Second, we discuss applications of primes to order. Third, we summarize application of primes in some kind of special group and subgroup. Finally, we come to some related conclusions of primes in special ring and domain. Relevant examples are attached to give better explanation and demonstration. Key words: prime number; prime element; factorization; Eisenstein theorem; prime ideal; groups and sub-groups; ring and domain II 目 录摘 要IABSTRACTII0 引言11 素数的性质与多项式的因式分解12 素数在阶中的应用53 素数在几类特殊的群和子群中的应用83.1素数在置换群和交换群中的应用8 3.2素数在群中的应用10 3.3素数在子群中的应用114 素数在特殊环和域中的相关结论134.1素数在剩余类环中的应用13 4.2 素数在素理想与极大理想中的应用16参考文献180 引言素数本身有着简单的性质, 却在其数学领域中有着广泛的应用. 素数在近世代数中的应用也比较广泛, 在文献2,3中, 作者给出了素数的基本性质与素元以及多项式因式分解概念及相关定理. 文献2,4讨论了素数在环和域中的相关结论和应用. 文献4还讨论了素数在阶中的应用. 素数在其阶的应用引申到一些特殊群和子群中, 其应用特别广泛, 这在文献4-11中都有涉及, 特别是在子群中应用相当广泛. 而且文献6中对高等代数中的艾森斯坦定理给出了进一步的讨论和证明. 在这篇文章中, 我们将做进一步的探讨.1 素数的性质与多项式的因式分解首先我们来简单的讨论一下素数的基本性质. 根据定义, 对于普通的素数来说, 它既不能为零, 也不能为, 而且它并不是没有因子, 它有因子和它本身, 即素数只有平凡因子. 依照素数的这些性质, 我们在整环中下了这样的定义: 设是整环的一个元, 若既不是零元, 也不是单位, 且元只有平凡因子, 则这样的元称为素元. 现在我们来看看有关素元的相关结论：结论1 在整环中, 设为单位, 为素元, 则也是一个素元. 结论2 设为整环中中不为零的元, 则元有真因子的充要条件是, 和都不是单位.结论3 整环中一个不为零的元有真因子: , 则也是的真因子.现在我们有了素元的定义以及相关的结论, 那么素数与素元有着怎样的关系呢？事实上, 整数环就是一个整环, 素数就是这个整数环中的素元. 这就是说素元在整环中的地位与素数在整数环中的地位是一样的.我们知道在整数环中, 整数有因式分解定理, 在整数环中任意一个不为0和的整数都可以唯一地分解成素数的乘积. 那么, 类似的我们可以这样猜想: 在整环中任意一个不为0和单位的元也可以唯一地分解成素元的乘积. 这个猜想是否成立呢？让我们看看下面两个例题:例1 是刚好包含所有复数的整环, 即, 讨论: 5元素是否为素元, 5元素有没有唯一分解.解 (i) 首先求出的单位, 当且仅当满足, 故只有4个单位, 那就是和.(ii) 适合条件的元一定是素元. 由于, 又由I知, 不是单位. 假设是的因子, 有 , , 那么 . 若是, 由I知，是单位; 若, 则. 又由(i)知是单位, 因而,故是的相伴元, 于是只有平凡因子, 是素元.(iii) 显然5不是的素元, 设5在中任意一个素元分解式为 (1.1)因为5不是素元, 所以, 另一方面,由于不是单位, 即是不等于1的正整数, 所以，5的分解式(1.1)必是的形式, 而且满足. 由(ii)知和一定是素元, 又由于的整数解对有,由此可见, 5只能有四种素元分解, 它们的分解如下: 由于和都是的单位, 因此5有唯一分解.例2 整环, 讨论4 元素有没有唯一分解.解 (i) 环的单位满足, 由于和都是整数, 故,因此是的单位.(ii) 适合条件的元一定是素元.(iii) 我们现在来看看4的素元分解情况. 因为,由II可以知道, 都是的素元, 所以4在里有两种分解, 如下:,显然和都不是2的相伴元, 按照定义, 以上两种分解不同, 故4在整环里有两种不同分解, 不能唯一分解.通过上面的两个例题, 我们可以知道, 在一个整环里唯一分解定理不一定成立. 但是我们可以找到能满足唯一分解定理的整环, 比如整数环. 当我们引进唯一分解环定义之后, 就会问到底整环满足什么样的条件时, 它才能满足唯一分解定理. 下面我将其归纳如下:定理1 设为唯一分解环里的一个素元, 如果, 那么或.定理2 若一个整环满足以下两个条件:(1) 中任一个既不是零也不是单位的元都有一个这样的分解,其中是环的素元； (2) 为唯一分解环里的一个素元, 如果, 那么或. 则整环一定为一个唯一分解环.定理3 一个主理想环必为唯一分解环.定理4 任何一个欧氏环必是唯一分解环.定理5 如果是唯一分解环，那么和也是.最后我们讨论素数在有理系数多项式的因式分解中的应用. 著名的艾森斯坦定理可以判断多项式是否可约, 在高等代数中只对整数域和有理数域给出了此定理, 现在可以给出更一般的形式.定理6 (艾森斯坦定理) 设是唯一分解整环, 且 为中任一本原多项式, 的次数大于等于1. 如果中的素元满足:(1);(2)整除; (3).则在中不可约, 也在中不可约, 其中是的分式域.证明：用反证法. 假设在中可约, 则设, ,则和都是本原多项式, 而且其系数有如下关系:,.由和知, 素数必整除和其中一个, 不妨设. 又由(1)知, . 故存在, 满足, 使得.另一方面, 对于系数有,由条件(2)中知, 这与且相矛盾. 故在中不可约, 也在中不可约.例3 设为素数, 判断在上是否可约.解 由的表达式可知, 那么,由于且, 故由艾森斯坦定理可知在上不可约.2 素数在阶中的应用我们先来回顾一下相关概念, 在一个群中, 为群中的一个元素, 那么能使成立的最小正整数, 称为元素的阶; 有限群所包含的元素个数称为的阶, 我们常常用和来表示元素的阶和群的阶. 那么当有限群的阶与素数相关时, 该群中的元素的阶会有什么不同呢？下面一起来看看素数在其阶中的应用. 例4 设是一个群, 且. 证明: 若群中除单位元外其余元素的阶都相同,则这个相同的阶为无限或是一个素数. 证明 若此群为无限群, 显然结论成立. 若此群为有限群, 设为中任意不为单位元的元素, 且, 假设不是素数,那么存在, 有,于是.故, 这与中除单位元外其余元素的阶都为矛盾, 因此必为素数. 例5 设是一个阶群, 其中,是两个素数, 且. 证明:(1) 阶群最多有一个阶子群;(2) 的子群是的正规子群.证明 (1) 设,是群的两个不同的阶子群, 由于, 所以或.若, 由于, 而且 . 故必有,这与矛盾. 故只有. 于是.从而由知,这是不可能的, 故最多有一个阶子群. (2) 设是的一个阶子群, 那么对, 也是的一个阶子群. 由(1)知, 最多有一个阶子群, 故必有, 所以是的正规子群, 即的子群是的正规子群.例6 设是一个阶有限非交换群, 其中是素数. 则(1) 必有一个阶子群;(2) 的元素可写成的形式.证明 (1) 设 , 在中取一元素, 且. 这样的元素是存在的, 若其余元素的阶均为2时, 任意, 有,故为交换群, 矛盾.由于, 又, 否则为循环群, 这与为非交换群矛盾. 故必有, 即为的阶元.从而得证.(2) 由(1)知存在由生成的阶子群. 设 . 于是由Lagrange定理知,故有陪集分解.又由于, 因此群可以写成如下形式:. 例7 设是一个阶群, 其中是素数, , 又是的一个阶子群, 是的一个阶子群, 且, . 证明: 不是的子群.证明 由题意可知 ,又由于,可知 (2.1)故必为的方幂,设 (2.2)若， 则由Lagrange定理知， 即，又，所以由(2.2)知,. 于是由(2.1)和(2.2)可知,由此又知, 即, 故, . 又, 所以,即.这与题中矛盾, 故不是的子群.3 素数在几类特殊的群和子群中的应用 这节主要探讨素数在几类特殊的群和子群中的应用. 当对称群中与素数相关时, 该群中的元和子群都有着特殊的性质; 还有一些特殊的与素数相关的群, 如群和子群, 下面让我们一起来看看素数在这些特殊群中的应用.3.1 素数在置换群和变换群中的应用 例8 设是任一素数. 证明:(1) 次对称群恰含有个阶元;(2) 恰含有个阶子群. 证明 (1) 由于的一切循环皆为阶元, 每一个循环都可表示成的形式, 其中为的任意排列, 这样的排列共有个, 故共有个循环.设, 且可以表示成个不相连循环的乘积, 那么每个循环因子的阶一定小于, 但是这些因子阶的最小公倍数, 故. 这表明在中只有循环才为阶元, 因而恰含有个阶元. (2) 由于为素数, 所以中的阶子群均为循环群, 且除单位元外所有元素均为阶元. 这就是说, 的每个阶子群都含个阶元, 都是生成元. 从而的不同阶子群的交只有单位元. 又的每个阶元都属于阶子群, 于是的个的阶元决定了的所有阶子群. 其个数为.例9 设, 其中是互异素数, . 证明: 次对称群中有阶置换当且仅当. 证明 (1) 设, 且, 将表示成不相连的循环之积的形式:,其中, 故.从而,由数论可知.又由于, 所以. (2) 若成立, 则可从个文字中任选个文字,并将其分成个组,那么其次置换的阶为.3.2 素数在群中的应用 设为素数, 若在群中任意都有, 其中为正整数, 则称这样的群是一个群.例10 设是群, 是的不变子群. 证明: 是一个群的充要条件是和都是群.证明 必要性: 设是群, 即中的任意元素的阶都是的方幂, 显然和中的元素的阶也都为的方幂, 那么和都是群.充分性: 设和都是群, 任意, 则. 设, 则.又是群, 可设, 则.这表明中每个元素的阶都是的方幂, 故是群. 例11 设为任意的一个素数, 是任意的正整数. 证明: 阶群必有阶元,从而有阶子群.证明 设是一个阶群. 由于, 故存在阶为的元素. 先任取一个元素且令, 则必有. 又由于为任意的一个素数, 故.即. 于是有.即, 这就是说, 是的一个阶元, 进而由它所生成的子群就是的一个阶子群. 命题得证. 例12 设有限群满足. 证明: 的中心的阶大于1. 证明 设. 将群分解未共轭元素类的并：,其中. 由于, , 则是1或者是的倍数, 但,且, 所以至少还有一个使. 于是只含有一个元素, 且. 故.3.3 素数在子群中的应用 设群的阶满足, 其中是素数, 且, 则称的阶子群为的一个子群.第一定理 设是有限群, , 是素数, 且, 则有阶子群, 特别地, 有子群.证明 我们对应用数学归纳法. 当, , 这是有阶子群,显然结论成立. 现在假设对于阶小于的群结论也成立, 下面证明对阶群也成立.用表示群的中心, 下面分两种情况来进行讨论: (1) 如果, 那么中一定有一个阶元, 故是群的阶正规子群, 且.由归纳假设, 有阶子群, 因此,就是群的阶子群.(2) 如果, 考虑的共轭类元素. 设的非中心元素分成类, 记为,其中, , 又由, 可知, 至少有一不能被整除, 不妨设, 则由定理知，,而大于1且整除, 故.由归纳假设, 的子群有阶子群, 这个子群当然也是的阶子群.第二定理 设是有限群, 的子群都是共轭的. 的子群的个数为, 则,. 证明 设是的全部子群. 由于子群的共轭子群一定也是子群, 故对于的任一个元素, 可以定义一个元置换令, 则是的同态象, 因此也是一个群.如果在下不变, 那么对于任一的元素, 都有， 因此是群的一个子群. 又, 都是子群, 故一定有, 这是不可能的. 因此是的唯一不动点. 其它个分别属于的一些传递集, 每个传递集中子群的个数都是的因数, 而且不等于1. 因为是的方幂, 所以是的倍数, 的子群的个数可以表示成, 即. 设与共轭的子群共有个, 同理可得. 如果还有另一个共轭子群类, 其中包含个子群, 那么这个子群可以分成的一些传递集, 因此, 但和一样, . 这是相矛盾的. 故只能有一个共轭子群类, 即的子群都是共轭的.由于所有子群组成一个共轭类, 故它们的总数一定是的阶的因数, 即 成立.第三定理 设是有限群, 的任一个子群都包含在一个子群中.证明 设表示第二定理证明中所定义的. 令, 那么的子群, 分成的一些传递集, 这些传递集中包含的子群的个数是1或者是的一个不等于1的方幂. 但是因为, 所以至少有一个传递集只包含一个子群, 设为. 于是对于中任一个元素,都有这样是一个子群, 比较和的阶, 即得, 故, 即的任一个子群都包含在一个子群中.4 素数在特殊环和域中的相关结论 上一节我们探讨了素数在群中的应用. 在这一节我们探讨素数在环和域中的相关结论和应用. 这一节的主要内容是讨论了素数在剩余类环、素理想以及极大理想中的相关结论和应用.4.1素数在剩余类环中的应用设是一个正整数, 令为由以为模的个同余类作成的集合, 在该集合中对于如下加法和乘法:,作成一个环, 称为以为模的剩余类环. 简称模剩余类环. 在环中有单位元, 而且是可交换环. 在这一小节我们主要讨论模剩余类环,其中为素数. 下面我们来看看相关结论.结论4 一个模的剩余类环, 环无零因子当且仅当为素数.证明 (1) 对于环中任意不为零的两个元, 由于是一个素数, 则于是. 换句话说, 其逆否命题也成立, 即若, 则或, 故环无零因子. (2) 若模为剩余类环无零因子, 假设不是素数, 设 ,那么对于的一个不为零的元来说, 有, 而,这与环无零因子矛盾, 假设不成立, 故无零因子的剩余类环的模必为素数. 结论5 若无零因子环的特征是有限整数, 则必是一个素数.证明 假设不是素数, 设,那么对于的一个不为零的元来说, 有, 而,这与环无零因子相矛盾, 假设不成立, 原命题成立. 结论6 一个模为素数的剩余类环是一个域.证明 首先, 我们来证明的不等于零的元作成一个乘群. 由于是素数, 任意, , , 则. 故. 因此, 当时, , 即对于乘法封闭. 乘法适合结合律;. 任意, 若, 则.由于, 故. 从而. 同理可以得出, 若, 则. 这样, 就是一个乘群, 所以是一个除环.然后, 我们来证明是一个交换环. 任意, 有,故是一个交换环.综上所述, 一个模为素数的剩余类环是一个域.例13 设是模剩余类域上任一多项式, 其中为素数. 证明：.证明 设. 由于和的特征均为, 那么对于任意, , 都有, , 故即.结论7 对于整数环, 是由素数所生成的主理想, 则是一个域.4.2 素数在素理想与极大理想中的应用 设是环的一个理想, 如果出了和外, 中没有包含的理想，则称为的一个极大理想. 设,都是环的理想, 且. 若或，则称是的素理想. 结论8 对于整数环, 由一个素数所生成的主理想是极大的理想.证明 假设是一个比大的理想, 即. 由于整数环既是交换环又有单位元, 故的元的形式可写成. 那么存在整数, 使得, 这时素数必与整数互素, 于是我们可以找到整数和,使得成立. 但, 且是理想, 所以, . 因此主理想是极大的理想.例14 证明:(1) 设是一个正整数, 则是整数环的素理想的充要条件是是一个素数;(2) 设是数域上次数大于0的多项式, 则是的素理想的充要条件是在上不可约.证明 (1) 必要性: 设是整数环的素理想,则, 故. 假设不是素数, 则存在正整数, 有,故. 由于是素理想, 所以或. 即或. 这是不可能的, 假设不成立, 故一定是素数.充分性: 设是素数, , 则, 由是素数可知或, 即或, 故是整数环的素理想.(2) 必要性: 设是的素理想, 假设在上可约, 则存在多项式, 有,故, 由于是素理想, 所以或. 即或. 这是不可能的, 假设不成立,故在上一定不可约. 充分性: 设在上不可约, , 则, 由上不可约可知或, 即或, 故是的素理想.例